Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundbegriffe © Markus Dobernig, Senand Ristic

Klassische Definition Pierre-Simon Laplace Anzahl d. günstigen Fälle Anzahl d. möglichen Fälle Beispiel: fairer Würfel wird geworfen: jede Zahl hat gleiche Chancen und wird daher bei jedem Versuch mit der Wahrscheinlichkeit 1/6 gewürfelt. P (gerade Zahl) = 3 günstige [2, 4, 6] / 6 mögliche P (ungerade Zahl) = 3 günstige [1, 3, 5] / 6 mögliche P(E) =

Statistische Definition AHA Jakob Bernoulli Gesetz der großen Zahl P (E) ~ lim hn (relative Häufigkeit) Das bedeutet: Wenn man einen Versuch (z.B.: Würfel) unendlich oft durchführt, so wird die relative Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit. Bsp.: Münze wird 1000 mal geworfen Kopf … 490 mal  hK = 490/1000 = 0,49 Zahl … 510 mal  hz = 510/1000 = 0,51 Wenn man unendlich oft würfelt, so wird man in 50% der Fälle Kopf und in 50% der Fälle Zahl werfen! ~ n∞

Axiomatische Definition Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow 1. 0 ≤ P (E) ≤ 1, d.h. die Wahrscheinlichkeit ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1. 2. P (E) = 0… E ist nicht möglich P (E) = 1… E ist sicher 3. P (E1 ˅ E2) = P (E1) + P (E2) Additionssatz für unabhängige Ereignisse. Ich liebe die Mathematik

Wie kann man die Wahrscheinlichkeit veranschaulichen Wie kann man die Wahrscheinlichkeit veranschaulichen?  Entscheidungsbaum Geordnete Darstellung Baumdiagramm Grafik hierarchischer und aufeinanderfolgender Entscheidungen Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen ohne Zurücklegen

Entscheidungsbaum für Ziehen ohne Zurücklegen 1. Ziehung 2. Ziehung 3. Ziehung

2 Fragestellungen: Bestimmte Reihenfolge Unbestimmte Reihenfolge Es gibt nur einen Ast Dieser zieht sich durch den Baum durch Berechnung: P(2r und 1g) =P(r) * P(r/r) * P(g/r ^ r) =(3/10)*(2/9)*(7/8) = 7/120 Es gibt verschiedene Äste Sie werden addiert Berechnung: P(2r und 1g) =P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)= = (3/10)*(2/9)*(7/8) + + (3/10)*(7/9)*(2/8)+ + (7/10)*(3/9)*(2/8) = = 3*(7/120) = 7/40 Legende: r = Rote Kugel g = Grüne Kugel

Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet? Multiplikationssatz P(E1 und E2) = P(E1 ^ E2) =P(E1) * P(E2 / E1) bei Abhängigkeit Es gilt auch: P(E oder nichtE) = 1 (Es ist sicher, dass A eintritt oder nicht) P(E) + P(nichtE) = 1 P(E) = 1- P(nichtE) E ist das Gegenereignis von nichtE

Wie sieht der Entscheidungsbaum aus, wenn man die Kugeln wieder zurücklegt? Bsp.: 10 Kugeln – 3 rote und 7 grüne Kugeln es wird drei Mal gezogen mit Zurücklegen

Entscheidungsbaum für Ziehen mit Zurücklegen

2 Fragestellungen: Bestimmte Reihenfolge Unbestimmte Reihenfolge Es gibt nur einen Ast Dieser zieht sich durch den Baum durch Berechnung: P(2r und 1g)= = P(r)*P(r)*P(g) = = (3/10)²*(7/10) = 63/1000 Es gibt verschiedene Äste Sie werden addiert Berechnung: P(2r und 1g) =P(r^r^g) + P(r^g^r) + P(g^r^r)= 3*(3/10)²*(7/10) = 189/1000 Legende: r = Rote Kugel g = Grüne Kugel

Welche Regeln wurden beim Entscheidungsbaum angewendet? Multiplikationssatz P(E1 und E2) = P(E1 ^ E2) =P(E1) * P(E2) bei Unabhängigkeit

Und nun geht es weiter!