Seminarvortrag: Flächenfraktale Brunnthaler Katrin Pfurner Martin

Motivation: Suche Modelle zur mathematischen Beschreibung von Lunge, Niere,… Die menschliche Lunge enthält etwa 300.106 Lungenbläschen, ist also irgendwie fraktal Annäherung durch sogenannte physiologische Flächen

Physiologische Flächen Oberfläche des Fraktals („Fu“) soll unendlich groß sein Fläche soll in eine andere, aber geschlossene, endliche Fläche eingebettet sein („Grenzfläche“) Fläche soll den Grenzraum vollständig ausfüllen Fläche soll fraktal sein Grenzfläche: Lunge – Lungenflügel Niere – Nierenkapsel Grenzfläche und Fraktal haben das gleiche Volumen!

Beispiele für Flächenfraktale: Würfel–Fraktal („W-Fraktal“) Tetraeder-Fraktal („T-Fraktal“) Oktaeder-Fraktal („O-Fraktal“) Weiteres Würfel-Fraktal St. George-Fraktal („SG-Fraktal“)

W-Fraktal Würfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Über dem mittleren Quadrat wird ein Würfel mit Kantenlänge a/3 errichtet Berührflächen werden herausgenommen

Generation = 1. Iterationsschritt i. Generation = i. Iterationsschritt

Eigenschaften: Zwei Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt oder haben genau eine Kante gemeinsam Fu = unendlich Vu = 10/7.a3 (Volumen des Fraktals) Die Fraktale Dimension beträgt ln13/ln3 ~2.3347

Grenzkörper Die Ecken des Startwürfels bestimmen mit den Spitzen der auf die Seitenflächen aufgesetzten Pyramiden mit Höhe a/2 einen Rhombendodekaeder. Vg=2.a3 (Volumen des Grenzkörpers) Vg ist ungleich Vu => keine physiologische Fläche

Das W-Fraktal ist in das Rhombendodekaeder eingebettet.

T-Fraktal Reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente Dreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Tetraeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Berührflächen werden herausgenommen

Eigenschaften Zwei Tetraeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt oder genau 1 Gerade gemeinsam Fu = unendlich Vu = ¼.a3sqrt(2) Die Fraktale Dimension beträgt beträgt ln6/ln2 ~2.5849

Grenzkörper Die Ecken des Starttetraeders bestimmen mit den Spitzen der vier Tetraeder der ersten Generation einen Würfel mit Kantenlänge a/2.sqrt(2) Vg = a3/4.sqrt(2) Vg = Vu

Das T-Fraktal verläßt den Grenzwürfel nicht Das T-Fraktal ist also eine physiolog. Fläche

O-Fraktal Reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 4 kongruente gleichseitige Dreiecke geteilt Über dem mittleren Dreieck wird ein reguläres Oktaeder mit Kantenlänge a/2 errichtet Berührflächen werden herausgenommen

Eigenschaften Zwei Oktaeder derselben Generation sind entweder disjunkt, haben genau 1 Punkt gemeinsam oder fallen zusammen Die fraktale Dimension des O-Fraktals beträgt ln6/ln2 (muss anders berechnet werden, da es nicht selbstähnlich ist) Flächeninhalt bzw. Volumen des O-Fraktales sind nicht mehr so einfach zu ermitteln. Dazu benötigen wir die folgenden Dreieckskonfigurationen:

A(n), B(n), C(n) und D(n) geben die Anzahl der unterschiedlichen Dreieckskonfigurationen (Single, Falte, Höhle, Kaverne) in der n-ten Generation an. Volumen: Vu = 2.a3.sqrt(2) (V(n) = A(n-1)+B(n-1)+C(n-1)+D(n-1) … Anzahl der in der Generation n neu hinzukommenden Oktaeder V(n) = 2.6n-4n)

Fläche: Fu = unendlich (F(n) = 1. A(n)+2. B(n)+3. C(n)+4 Fläche: Fu = unendlich (F(n) = 1.A(n)+2.B(n)+3.C(n)+4.D(n) … Anzahl aller Dreiecke des O-Fraktals in der n-ten Generation F(n) = 4.(6n+1- 4n+1))

Grenzkörper Das O-Fraktal ist in einen Würfel mit Kantenlänge a.sqrt(2) eingebettet. Vg = 2.a3.sqrt(2) Vg = Vu

Wird einem Tetraeder der Kantenlänge 2a ein Oktaeder der Kantenlänge a eingeschrieben, so stimmen die Grenzwürfel der zugehörigen T- und O-Fraktale überein.

Ein weiteres Würfelfraktal Würfel mit Kantenlänge a Jede Fläche wird in 25 kongruente Quadrate geteilt Über den mittleren 9 Quadraten werden jeweils Würfel mit Kantenlänge a/5 errichtet Berührflächen werden herausgenommen

Eigenschaften Zwei Würfel derselben (und auch aus verschiedenen) Generation sind disjunkt oder sie haben genau 1 Kante oder 1 Seitenfläche gemeinsam. Dies gilt auch für Würfel verschiedener Generationen. Fu = unendlich Vu = 71/44.a3 Die fraktale Dimension dieses W-Fraktals beträgt ln37/ln5 ~ 2.243

Grenzkörper Auf die Seitenflächen des Ausgangswürfel werden Pyramidenstümpfe einer Pyramide mit Höhe a/2 aufgesetzt. Die Höhe beträgt a/4 => gestutztes Rhombendodekaeder Vg = 15/8.a3 Vg ungleich Vu => keine physiologische Fläche

SG-Fraktal Würfel der Kantenlänge a Jede Fläche wird in 9 kongruente Quadrate geteilt Auf die Quadrate des Kreuzes werden Würfel der Kantenlänge a/3 aufgesetzt, auf das mittlere Quadrat sogar 2 Berührflächen werden herausgenommen

Eigenschaften Würfel derselben Generation sind entweder disjunkt, oder sie schneiden sich längs einer Würfelkante bzw. einer Würfelfläche, oder aber sie fallen zusammen. Würfel verschiedener Generationen sind entweder disjunkt oder sie schneiden sich längs einer Seitenfläche.

Volumen bzw. Flächeninhalt werden auf analoge Weise wie jene des O-Fraktals berechnet. Fu = unendlich Vu = 585/134.a3 Die fraktale Dimension beträgt: ln0.5.(13+sqrt(73))/ln3 ~ 2.16359

Grenzkörper Über jeder Seitenfläche des Würfels entsteht bei der Iteration ein Turm mit einer Spitze. Die Höhe dieses Turmes beträgt a. Die 6 Turmspitzen spannen ein Oktaeder mit Kantenlänge 3/2.a.sqrt(2) auf. Das SG-Fraktal ist in das Oktaeder eingebettet. Vg = 9/2.a3 Vg ungleich Vu => keine physiologische Fläche