Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung) Das statische System ENDE

Berechnen von Momenten und Querkräften (Voraussetzung: Auflagerkraftberechnung) Touch me! Die Belastung ENDE

F = 20kN FST = 2kN/m ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften F FST Gegeben ist ein statisches System mit den Auflagerkräften: FAH, FAV und FB Das System wird mit einer Kraft F von oben und einer Streckenlast von FST belastet. FAH FAV FB a b a/2 c Folgende Kräfte sind bekannt: F = 20kN FST = 2kN/m ENDE

MA = 0 V = 0 FST · a ist die gesamte FG · a/2 + F · b - FB · a= 0 Berechnen von Momenten und Querkräften FST · a ist die gesamte Streckenlast, FG FG F Sie greift in der Mitte an. F FST FAH FAV FB Unter der Annahme, daß die Summe der Momente um einen Drehpunkt null ergibt, kann man folgende Formel aufstellen: A B MA = 0 FG · a/2 + F · b - FB · a= 0 Jetzt kann man über die Summe der vertikalen Lasten die Auflagerkraft FAV berechnen: a b a/2 c V = 0 FG + F - FB - FAV = 0 FAH = 0, da keine weiteren Horizontalkräfte vorhanden sind. ENDE

FST · a = FG 2kN/m · 7,00m = 14kN ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften F = 20kN FST = 2kN/m FG F =20kN F FST FAV FB A B =2kN/m =20kN 14kN= Die Brücke ist 7,00m lang. Die Kraft F greift im Abstand von 2,00m zu FB an. Zuerst wird FG berechnet: FST · a = FG 2kN/m · 7,00m = 14kN a b a/2 c 5,00 2,00 3,50 3,50 7,00 ENDE

MA = 0 V = 0 FG · a/2 + F · b - FB · a = 0 Berechnen von Momenten und Querkräften MA = 0 FAV FB FG F =20kN FG F =20kN 14kN= FG · a/2 + F · b - FB · a = 0 14kN · 3,50m + 20kN · 5,00m - FB · 7,00m = 0 FB = 21,89kN A B FAV FB V = 0 =12,11kN =21,89kN FB + FAV - FG- F = 0 21,89kN + FAV - 14kN - 20kN = 0 FAV = 12,11kN a b a/2 c 5,00 2,00 3,50 3,50 7,00 ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Um die Querkräfte berechnen zu können, muß man als erstes das System auf die größte Belastung hin untersuchen. FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,11kN =21,89kN F=20kN C Dies geschieht in diesem Fall im Punkt C, wo die Kraft F = 20kN angreift. C 5,00 2,00 7,00 ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Das System wird jetzt vor und hinter dem Punkt C geschnitten. C FST=2kN/m² FAV FB F=20kN =12,71kN =21,89kN FST = 2kN/m Man kann das System von FAV nach C oder von C nach FB betrachten. Hier wird das System von C nach FB untersucht. Rechts und links von Punkt C werden die Querkräfte und das Moment berechnet. 5,00 2,00 7,00 7,00 5,00 ENDE

v = 0 M = 0 FST + F - FB - Ql = 0 4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0 Berechnen von Momenten und Querkräften Zuerst wird die Schnittstelle links von C betrachtet. v = 0 5,00 2,01 7,00 FAV FB F=20kN FST=2kN/m² = 6,63kN C =21,89kN FB FST = 2kN/m F=20kN FST + F - FB - Ql = 0 4kN + 20kN - 21,89kN - Ql = 0 Ql = 2,11kN 39,78kN= M Ql =2,11kN M = 0 FST · 1,00m - FB · 2,00m - MC = 0 4kN · 1,00m - 21,89kN · 2,00m + MC = 0 MC = 39,78kNm ENDE

v = 0 FST - FB = 0 4kN - 21,89kN - Qr = 0 Qr = -17,89kN ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Jetzt wird die Schnittstelle rechts von C betrachtet. 5,00 1,99 7,00 FAV FB F=60N FST=2kN/m² = 6,63kN C F=60N v = 0 FST - FB = 0 4kN - 21,89kN - Qr = 0 Qr = -17,89kN FB FST = 2kN/m FST = 2kN/m Qr -17,89kN= =21,89kN Das Moment muß hier nicht berechnet werden, da das Ergebnis mit dem von der Vorseite übereinstimmt. ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,11kN =21,89kN Mit Hilfe der Bilanzregel kann man nun ein Querkraftdiagramm erstellen. Hier gilt die Regel:“Alles gute kommt von unten.“ Das heißt, alle Kräfte, die von unten angreifen, werden im Kräftekonto addiert und alle Kräfte, die von oben angreifen, werden subtrahiert. C ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Ql = 2,11kN Qr = -17,89kN FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,11kN =21,89kN A B C Im Auflagerpunkt A greift die Kraft FAV = 12,11kN an. Sie werden also positiv „verbucht“. Von Punkt A bis Punkt C wird das System mit einer Streckenlast belastet, die 10kN beträgt. Diese 10kN subtrahiert man jetzt von den 12,11kN, weil die Last von oben angreift und sich negativ auf das System auswirkt. Das Ergebnis ist 2,11kN, siehe Ql. 0kN 2,11kN +12,11 -10kN 12,11kN ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Ql = 2,11kN Qr = -17,89kN FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,71kN =21,89kN Da im Punkt C die Kraft F = 20kN von oben angreift, muß sie von Ql = 2,11kN subtrahiert werden. Als Ergebnis erhält man -17,89kN, siehe Qr. A B C Das System wird wieder von einer Streckenlast, 4kN. Man subtrahiert die 4kN von dem vorherigen Ergebnis, -17,89kN, und erhält -21,89kN. -4kN -21,89kN -17,89kN +21,89kN -20kN 0kN 0kN Nun addiert man die Auflagerkraft FB = 21,89kN zu diesem Ergebnis, -21,89kN, hinzu und erhäft wieder 0kN. 2,11kN 12,11kN ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften Ql = 2,11kN Qr = -17,89kN FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,71kN =21,89kN A B C -21,89kN -17,89kN Es kommt dieses Querkraftdiagramm zustande. 0kN 0kN 2,11kN 12,11kN ENDE

ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften M = 39,78kNm FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,71kN =21,89kN M = 39,78kNm A B Im Punkt C ist das Moment M = 39,78kNm, am größten, weil in diesem Punkt ein Vorzeichenwechsel bei den Querkräften stattfindet. In den Punkten A und B ist das Moment M = 0kNm C Es ergibt sich folgendes Diagramm, wenn man noch an anderen Stellen des Systems noch die Momente berechnet. 0kNm 0kNm 39,78kNm ENDE

FAV = 12,11kN FB = 21,89kN Ql = 2,11kN Qr = -17,89kN M = 39,78kNm ENDE Berechnen von Momenten und Querkräften FAV FB F=20kN FST=2kN/m² =12,11kN =21,89kN C A B Die Ergebnisse noch einmal zusammengefaßt. FAV = 12,11kN FB = 21,89kN 12,11kN 2,11kN -17,89kN -21,89kN 0kN Ql = 2,11kN Qr = -17,89kN 0kNm 39,78kNm M = 39,78kNm ENDE