§10 Vektorraum. Definition und Beispiele Der Begriff des Vektorraumes wurde in den letzten Paragrafen entwickelt. Wir wiederholen (vgl. auch 2.3) : (10.1) Definition: Ein Vektorraum über dem Körper K ist eine additive abelsche Gruppe V, also für alle x,y,z aus V : 1o (x + y) + z = x + (y + z) 2o Es gibt 0 (Nullvektor) mit: x + 0 = x = 0 + x . 3o Zu jedem x aus V existiert -x aus V mit x+(-x) = 0. 4o x + y = y + x , zusammen mit einer Skalarmultiplikation so dass für alle x,y aus V und alle r,s aus K : 5o 1x = x . 6o r(x + y) = rx + ry . 7o (r + s)x = rx + sx . 8o (rs)x = r(sx) .

Kapitel II, §10 (10.2) Bemerkungen: Sei V eine Vektorraum über K. (V wird auch kurz K-Vektorraum genannt.) Dann gilt für all x aus V und all r aus K: 1o r(0) = 0 (0 ist der Nullvektor.) 2o 0x = 0 (Linke Seite: 0 ist die Null im Körper K; rechte Seite: 0 ist der Nullvektor.) 3o (-1)x = -x . 4o (-1)(-1) = 1 und 0r = 0 im Körper K. (10.3) Definition: Sei V eine Vektorraum über K. Ein Untervektor-raum ist eine Menge U in V, die bezüglich der auf V gegebenen Addition und Skalarmultiplikation ein Vektorraum über K ist. Wie für Untergruppen (vgl. 8.11) haben wir den Satz: (10.4) Satz: Sei V eine Vektorraum über K. Eine nichtleere Menge U in V ist genau dann ein Untervektorraum, wenn für alle x,y in U und alle r aus K gilt: x+y, -y und rx liegen in U .

Kapitel II, §10 (10.5) Beispiele: Sei V eine Vektorraum über K. 1o {0} und V sind Untervektorräume von V. 2o Sei v aus V\{0} . Dann ist die Menge Kv := {rv : r aus K} ein Untervektorraum von V . 3o {(r,s,0) : r,s aus K} ist ein Untervektorraum von K3 . 4o Sind U und W Untervektorräume von V, so ist auch der Durchschnitt eine Untervektorraum. 5o Für die Vereinigung gilt das in der Regel nicht. Weitere Beispiele von Vektorräumen: (10.6) Folgenräume: Es geht zunächst um Folgen in der Analysis. Sei F die Menge aller Folgen x = (x0, x1, x2, ... ) reeller Zahlen xk . 1o F ist ein Vektorraum über R bezüglich der komponentenweise Addition und Multiplikation. 2o Fb := {x aus F: x ist beschränkt} ist ein Untervektorraum von F.

Kapitel II, §10 3o Fk := {x aus F: x ist konvergent} ist ein Untervektorraum von Fb. 4o F0 := {x aus F: x ist Nullfolge} ist Untervektorraum von Fk. F0 wird meistens mit c0 bezeichnet. 5o Fhp := {x aus F: x hat einen Häufungspunkt in R} ist kein Untervektorraum von F. 6o Fe := {x aus F: {xk : k aus N} ist endlich} ist ein Untervektorraum von Fk. 7o Fc := {x aus F: x ist konstant ab einem Index m} ist ein Untervektorraum von Fk und Fe , und zwar der Durchschnitt dieser beiden Untervektorräume. 8o Definition: Eine Folge x = (xk) aus F heißt absolut summier- bar, wenn die Reihe mit dem allgemeinen Glied |xk| konvergiert. := {x aus F: x ist absolut summierbar} ist ein Untervektorraum von c0 .

Kapitel II, §10 9o Definition: Eine Folge x = (xk) aus F heißt quadratsummier- bar, wenn die Reihe mit dem allgemeinen Glied |xk|2 konvergiert. := {x aus F: x ist quadratsummierbar} ist ein Untervektorraum von c0 . (10.7) Räume komplexer Zahlenfolgen: Entsprechend hat man den Raum aller komplexen Zahlenfolgen und die zu 10.6 analogen Untervektorräume: Zu 2o benötigt man den Betrag in C , gegeben als |z| := für z = x + iy , x,y aus R . Zu 3o und 4o: Eine komplexe Zahlenfolge zk = xk + iyk ist genau dann konvergent mit Grenzwert z = x + iy , wenn (xk) gegen x und (yk) gegen y konvergieren, dh. wenn |zk - z| gegen 0 konvergiert. Zu 5o, 8o und 9o: Analog überträgt man die Definition von Häufungspunkt, absolut summierbar und quadratsummierbar auf komplexe Zahlenfolgen zk = xk + iyk .

Kapitel II, §10 (10.8) Räume von Abbildungen: Sei K ein Körper und M eine Menge. Die Menge der Abbildungen Abb(M,K) = KM ist in natürlicher Weise ein K-Vektorraum bezüglich: (f+g)(m) := f(m) + g(m) , (rf)(m) := rf(m) für f,g aus KM , Für alle m aus M und r aus K . Bemerkungen: 1o Der in 10.6 (bzw. in 10.7) beschriebene Folgenraum ist RN (bzw. CN). Allgemeinere Folgenräume (Folgen von Körperele-menten aus K) sind die KN. 2o Auch der Standardraum Kn ist als Abbildungsraum aufzufassen, es handelt sich um KM für M = {1,2, ... ,n} . 3o Für einen Vektorraum V über K ist auch VN , der Raum der Folgen in V, ein Vektorraum von Abbildungen.

Kapitel II, §10 4o Für einen Vektorraum V über K ist ganz allgemein VM ein K-Vektorraum. 5o Die meisten Vektorräume von Bedeutung in der Analysis sind Untervektorräume von KM für K = R oder K = C . (10.9) Räume von Abbildungen mit endlichem Träger: Der Träger einer Abbildung x aus Abb(M,K) = KM ist nach Definition die Menge T = T(x) := {m aus M : x(m) ist nicht Null} . KM hat als Untervektorraum den Raum K(M) := {x : x aus Abb(M,K) mit endlichem Träger} . Sei für a aus M die Abbildung durch Bemerkung: Offensichtlich ist ein Element von K(M) . Es gilt: Jedes Element x aus K(M) hat eine eindeutige Darstellung als endliche Summe der Form:

Kapitel II, §10 mit geeigneten von Null verschiedenen xk aus K und ak aus M . (10.10) Polynome: Die Folgen mit endlichem Träger in einem Körper, also die Vektoren aus K(N) , lassen sich auch als Polynome mit Koeffizienten aus K auffassen: Die für n aus N schreibe man als Tn , dann hat nach dem Vorangehenden ein Element p aus K(N) stets die Form: mit den Koeffizienten pk aus K (hier dürfen einige der pk Null sein). Den K-Vektorraum der Polynome mit Koeffizienten schreibt man auch als K[T] . Ein Polynom p der Form bestimmt eine Abbildung von K nach K, die zugehörige Polynomabbildung, die folgendermaßen definiert ist:

Kapitel II, §10 In diesem Sinne ist K[T] ein Untervektorraum von KK . (10.11) Stetige und differenzierbare Abbildungen: I sei ein Intervall in R . Dann ist C(I) := {f : f ist aus RI und f ist stetig} ein Untervektorraum von RI . Ferner ist Ck(I) := {f : f ist aus RI und f ist k-mal stetig differenzierbar} ein Untervektorraum von Ck-1(I) . R[T] als Raum von Polynomabbildungen von R nach R lässt sich als Untervektorraum von Ck(I) auffassen. Zurück zu den affinen Räumen, mit denen wir den Begriff des Vektorraumes motiviert haben: Es sei V ein Vektorraum über K . Setze A = A(V) := V , T = T(V) := V und t(P,Q) := Q – P für P,Q aus A . Dann ist (A(V), T(V), t) ein affiner Raum !