1.) Der erweiterte Sinussatz

Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

Beh.: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R gilt:

Zum Beweis betrachten wir zunächst dieses Dreieck ABC

Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC

Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90°

Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen.

Durch Ziehen des Durchmessers CJ erhalten wir das Dreieck JBC Nach dem Satz des Thales beträgt in diesem Dreieck der Winkel in B 90° Die Winkel in A und in J liegen auf dem selben Kreisbogen. Daher gilt:

Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.)

Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I Das Dreieck ABC kann in A einen spitzen Winkel haben (wie I.) oder einen stumpfen Winkel (wie II.) I. II.

Und dann gibt es natürlich noch rechtwinklige Dreiecke Die sind aber eher langweilig, weil hier die Behauptung sowieso gilt

Betrachten wir jetzt also den zweiten Fall II.

Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC Der Winkel in B beträgt wiederum 90° II.

Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC Der Winkel in B beträgt wiederum 90° In einem eingeschriebenen Viereck ergänzen sich die gegenüberliegenden Winkel zu 180° II.

Wie bei I. erhalten wir durch Ziehen des Durchmessers CJ ein zweites Dreieck BJC Der Winkel in B beträgt wiederum 90° Daher gilt: II.

Wir wissen also bisher:

Wir wissen also bisher: Für I.:

Wir wissen also bisher: Für I.: Für II.:

Wir wissen also bisher: Für I.: Für II.: Für I. und II.: da

Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ?

Wo finden wir in unseren Zeichnungen sinJ? Da sinJ = sinA gilt auch:

Analog zu A gilt natürlich auch:

Analog zu A gilt natürlich auch: und

Einfaches Umformen liefert aus

Einfaches Umformen liefert aus

Einfaches Umformen liefert aus

Einfaches Umformen liefert aus

Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R

Es gilt also: In einem Dreieck ABC mit dem Umkreisradius R Und das wollten wir ja beweisen.

2.) Beh.:

Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

Wir wissen, für den Flächeninhalt eines Dreieckes gilt:

Außerdem wissen wir:

Außerdem wissen wir:

Außerdem wissen wir: und setzen dies ein in

Und erhalten so

Und erhalten so Und das können wir schreiben als

Und erhalten so Und das können wir schreiben als Toll, was?

3.) Der Satz von Ceva

Der italienische Mathematiker Giovanni Ceva fand 1678 folgendes heraus: Schneiden sich drei Ecktransversalen AX, BY, CZ eines Dreiecks in einem Punkt, dann gilt:

Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe

Um dies zu beweisen, benutzen wir, dass für Dreiecke mit gleicher Höhe und damit

Betrachten wir nun folgendes Dreieck

Betrachten wir nun folgendes Dreieck Und fügen eine Ecktransversale AX ein

Dann erhalten wir: einmal das Dreieck ABX mit

Und gleichzeitig das Dreieck AXC mit

Wir wissen, dass und daher

Wir wissen, dass und daher

Wir wissen, dass und daher beziehungsweise

Fügen wir nun noch einen Punkt P ein

Fügen wir nun noch einen Punkt P ein

Dann erhalten wir

Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1

Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1 das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2

Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1 das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1

Dann erhalten wir das Dreieck BXP mit dem Flächeninhalt B1 das Dreieck XCP mit dem Flächeninhalt B2 das Dreieck ABP mit dem Flächeninhalt C1 das Dreieck APC mit dem Flächeninhalt C2

Analog zu

Analog zu gilt nun

Durch Umformungen erhalten wir

Durch Umformungen erhalten wir II.

Durch Umformungen erhalten wir II. I. – II.

Durch Umformungen erhalten wir II. I. – II.

Durch Umformungen erhalten wir II. I. – II. wobei und

Es gilt also

Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden, dann gilt für die Seiten b und c das gleiche wie für a

Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden, also

Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden, also

Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden, also

Werden noch zwei Ecktransversalen eingefügt, so dass sich alle in P schneiden, also

Zurück zur Behauptung

Zurück zur Behauptung setzen ein: , und

Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten

Zurück zur Behauptung setzen ein: , und und erhalten w.z.b.w.

Das gilt natürlich nur für Dreiecke, die die Bedingungen erfüllen

Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich

Es gilt aber auch der Umkehrschluss, nämlich: Erfüllen drei Ecktransversalen die Gleichung so schneiden sie sich in einem Punkt

Beweis:

Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden,

Beweis: Wir nehmen ein Dreieck mit zwei Ecktransversalen, die sich in P schneiden, dann gibt es nur eine Ecktransversale durch C, die ebenfalls durch P geht. Diese schneidet sich mit c in Z´

Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung

Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P.

Beweis: Damit erfüllt Z´ die Bedingungen für die Gleichung Da aber unsere Voraussetzung ist, folgt daraus, dass Z und Z´ zusammenfallen. Daher schneidet CZ die anderen Ecktransversalen in P. Fertig!!!