Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 4. Vorlesung Schrödingergleichung Freies Teilchen, Dispersion
Die Schrödingergleichung wurde 1926 von Erwin Schrödinger aufgestellt. Für seine Arbeiten zur Quantenmechanik erhielt er 1933 den Nobelpreis.
Schrödingergleichung Die Schrödingergleichung beschreibt die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion zeitliche Änderung Hamiltonoperator oder „Energieoperator“ Die Schrödingergleichung kann nicht hergeleitet werden (genauso wie Newtonsche Bewegungsgleichung, Maxwellgleichungen, …) Zur Lösung der Schrödingergleichung benötigt man den Anfangswert Y(x,0) Die Wellenfunktion ist eine reine Hilfsgröße Die Wellenfunktion muss interpretiert werden (Wahrscheinlichkeitsinterpretation) Die Wellenfunktion ist normiert Das Betragsquadrat der Wellenfunktion liefert die Wahrscheinlichkeitsdichte
Was ist ein „Potential“ V(x) ? Arbeit, die man verrichten muss, um eine Masse m im Schwerefeld der Erde verschieben Potentielle Energie, die bzgl. eines Referenzpunktes r0 (meist im Undendlichen) gemessen wird Kraft, die auf Teilchen wirkt, erhält man aus der Änderung von V
Potential versus potentielle Energie Bemerkung : Potential versus potentielle Energie Potential = potentielle Energie pro Einheitsmasse … Gravitation Potential = potentielle Energie pro Einheitsladung … Elektrostatik i.F. werden wir den Begriff Potential oft an Stelle von potentieller Energie verwenden !!!
Potentiale Bestimmen Sie die Potentiale für V( x, t ) Freies Teilchen Teilchen im Schwerefeld Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 Teilchen an Feder (Federkraft k) am Ruheort x0 , das mit periodischer Kraft F0 cos( w t ) angetrieben wird
Freies Teilchen Für das freie Teilchen gilt V=0, die Wellenfunktion ist gegeben durch de-Broglie Impuls Beweis (Einsetzen in Schrödingergleichung)
Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit
Zeitentwicklung einer Welle Monochromatische Welle Dispersionsrelation beschreibt Zusammenhang zwischen Frequenz und Wellenlänge Wellenpaket Zeitentwicklung wird durch Phasenentwicklung bestimmt !
Zeitentwicklung einer Lichtwelle Dispersion einer Lichtwelle in Vakuum Zeitentwicklung einer Lichtwelle in Vakuum Welle bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit c entlang der x-Richtung, ändert aber nicht ihre Form
Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
Lichtpuls in Vakuum Lichtpropagation mit v = c
Snelliussches Brechungsgesetz Unterschiedliche Phasengeschwindigkeit … Brechung Reflexions- und Brechungswinkel hängen nur von Phasengeschwindigkeit ab
Lichtdispersion v = c / n(w)
Lichtpuls in dispersivem Medium Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Lichtpuls in dispersivem Medium Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Lichtpuls in dispersivem Medium Lichtpropagation mit v = c / n( w )
Lichtpuls in dispersivem Medium Wellenpaket „läuft auseinander“ Lichtpropagation mit v = c / n( w )
LäuferInnenfeld „läuft auseinander“
Freies Teilchen Allgemeine Wellenfunktion des freien Teilchens kann man durch Fourierzerlegung gewinnen Jede Partialwelle hat eine harmonische Zeitabhängigkeit Propagation ähnlich wie elektromagnetische Welle in dispersivem Medium
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets Materiewelle
Bewegung eines Gaußschen Wellenpakets Materiewelle
Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen Materiewelle
Durchlaufen von zwei Gaußschen Wellenpaketen Materiewelle
Bose-Einstein-Kondensat Rubidium-87 Atome bei Temperaturen unterhalb von ~170 nK
Bose-Einstein-Kondensat : Interferenz Atomchip : Schmiedmayer TU Wien Atomwellenfunktion wird räumlich getrennt, danach fallen Atome im Schwerefeld nach unten