Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester 3. Vorlesung Fourier-Transformation Impulsmessung, quantenmechanische Messung

“I remember my friend Johnny von Neumann used to say, with four parameters I can fit an elephant, and with five I can make him wiggle his trunk.” Enrico Fermi

Komplexe Ebene Periodische Funktion kann in der komplexen Ebene dargestellt werden

Komplexe Ebene : stehende Welle eikx Kreis mit Umfang L Periodische Funktion Wellenzahl

Komplexe Ebene : stehende Welle eikx Kreis mit Umfang L Wellen mit höherer Wellenzahl (n > N) können auf solche mit geringerer Wellenzahl (n) abgebildet werden

Fouriertransformation Eine beliebige periodische Funktion, die an N Stellen entlang des Kreises gegeben ist, kann man durch Überlagerung von N Wellen darstellen wobei die N Stützstellen x und die N Wellenzahlen k gegeben sind als Welche Darstellung man bevorzugt ist Geschmackssache. Beide Darstellungen beinhalten dieselbe Information.

Vollständigkeit Was ist ?

Vollständigkeit Terme heben sich paarweise auf !

(Inverse) Fouriertransformation Mit der Vollständigkeitsrelation kann man leicht zeigen, dass die x- und k-Darstellung über die Fouriertransformation bzw. die inverse Fouriertransformation miteinander verknüpft sind. Beweisen Sie die beiden Beziehungen

(Inverse) Fouriertransformation Das Konzept der Fouriertransformation lässt sich auch auf unendliche Bereiche und kontinuierliche x- und k-Werte verallgemeinern

Fouriertransformation : Gaußsche Funktion Wie sieht die Fouriertransformierte der Gaußschen Funktion aus ? Je breiter die Gaußfunktion, desto schmäler die Fouriertransformierte und umgekehrt

Wellenfunktion : Ortsmessgrößen Normierung Mittelwert Standardabweichung Gegeben sei die Wellenfunktion Bestimmen Sie: die Normierung C den Mittelwert x das Schwankungsquadrat Dx

Wie bestimmt (misst) man den Impuls eines Wellenpakets ?

Wellenfunktion : Impulsmessgrößen Impulsmessgrößen werden bestimmt, indem man zuerst die Fourier- transformierte der Wellenfunktion bestimmt Normierung Mittelwert Standardabweichung

Orts- und Impulsmessung Je breiter die Wellenfunktion im Ortsraum desto schmäler im Impulsraum, und umgekehrt

Beispiele : Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

Beispiele : Wahrscheinlichkeit klein Wahrscheinlichkeit groß

Quantenmechanische Messung In der Quantenmechanik kann ein beliebige Messung beschrieben werden durch Messgröße Messoperator Ortsmessung … Impulsmessung … Beweis

Quantenmechanische Messung Impulsmessung Kinetische Energie Kinetische Energie hängt mit mittlerer Krümmung der Wellenfunktion zusammen

Aufgabe : Ordnen Sie die Energie der Wellenfunktionen n = 1,2,3

Aufgabe : Welche Wellenfunktion hat die höhere Energie: (a) oder (b); (a) oder (c) ?