Discrete-Time Random Walk Vortrag : wir Betreuer : Datum:heute

Inhalt Was ist ein Random-Walk Was ist ein Random-Walk Klassisch QM Klassisch QM Realisierung durch coin- & shift-Operator Realisierung durch coin- & shift-Operator Realisierung des Quanten-Random-Walks Realisierung des Quanten-Random-Walks Die Rettung des Lemmings Die Rettung des Lemmings Ausblick Ausblick

Was ist ein (1-D) Random-Walk ? Fairer Frosch auf dem Zollstock Fairer Frosch auf dem Zollstock Galtons Brett Galtons Brett Gaußverteilung Gaußverteilung Klassisch: Messung nach jedem Schritt Klassisch: Messung nach jedem Schritt Jeder Ort wird irgendwann erreicht Jeder Ort wird irgendwann erreicht

Was ist ein Random-Walk ? Für QM : Hilbertraum Für QM : Hilbertraum Orts- und Spin-Freiheitsgrade Orts- und Spin-Freiheitsgrade Zustände: Zustände: Schritte durch Operatoren Schritte durch Operatoren Münzwurf und Bewegung Münzwurf und Bewegung (coin- & shift) (coin- & shift)

Was ist ein Random-Walk ? Coin-Operator C entscheidet Richtung des Walks Coin-Operator C entscheidet Richtung des Walks z.B. Hadamard-Operator (wirkt auf Spin) z.B. Hadamard-Operator (wirkt auf Spin) Angewandt auf Zustand: Angewandt auf Zustand: Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced coin) Wahrscheinlichkeiten sind gleich (balanced coin)

Coin- & Shift-Operator Anwenden des shift-operators S : Anwenden des shift-operators S : Bewirkt Verschiebung um 1 nach links/rechts Bewirkt Verschiebung um 1 nach links/rechts (abhängig vom Spin) Ausführen des gesamten Schrittes durch U: Ausführen des gesamten Schrittes durch U:

Coin- & Shift-Operator Anwenden auf Zustand Anwenden auf Zustand Orts-Wahrscheinlichkeiten symmetrisch Orts-Wahrscheinlichkeiten symmetrisch => Werfen->Messen->Ausführen->Werfen->usw. führt auf klassischen Random-Walk => Werfen->Messen->Ausführen->Werfen->usw. führt auf klassischen Random-Walk

Symmetrische Verteilung

Coin- & Shift-Operator 3-maliges Anwenden auf Zustand 3-maliges Anwenden auf Zustand ergibt Asymmetrien ergibt Asymmetrien

Asymmetrische Verteilung

Coin- & Shift-Operator Wiederherstellung der Symmetrie: Wiederherstellung der Symmetrie: Wähle anderen Operator, z.B: Wähle anderen Operator, z.B: Wähle anderen Anfangszustand: Wähle anderen Anfangszustand:

Verteilung mit sym. Anfangsbed.

Klassisch - QM Klassisch Klassisch Jedesmal anwenden und direkt messen, daraus Wahrscheinlichkeiten ermitteln Jedesmal anwenden und direkt messen, daraus Wahrscheinlichkeiten ermitteln QM QM Operator n Schritte anwenden, Messung erst am Ende Operator n Schritte anwenden, Messung erst am Ende Inter-/Kohä-/Differenz Inter-/Kohä-/Differenz

discrete – time ? Man geht wirklich schrittweise vor Man geht wirklich schrittweise vor Operatoren wirken diskret Operatoren wirken diskret Keine kontinuierlichen Übergangswahrscheinlichkeiten/-raten Keine kontinuierlichen Übergangswahrscheinlichkeiten/-raten

Experiment Optisches Gitter realisiert Shift-Operation Optisches Gitter realisiert Shift-Operation Gegenläufige Laser – linear polarisiert Gegenläufige Laser – linear polarisiert E-Felder um Winkel θ verdreht E-Felder um Winkel θ verdreht Stehende Welle Stehende Welle Links- und rechtszirkular polarisierte Anteile Links- und rechtszirkular polarisierte Anteile

Experiment Erhalte Potential Erhalte Potential Energieniveaus : Energieniveaus : Shift entspricht Drehung von Theta 0..Pi/2 Shift entspricht Drehung von Theta 0..Pi/2

Experiment Hadamard-Walk realisiert durch Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v (d:Lattice Spacing) Hadamard-Walk realisiert durch Laser-Pulse zu den Zeiten t=nd/v (d:Lattice Spacing) ?????????????????????????????????????????????? ?????????????????????????????????????????????? Fluoreszens Messung Fluoreszens Messung Wiederholung ergibt Wahrscheinlichkeitsverteilung Wiederholung ergibt Wahrscheinlichkeitsverteilung

Lemming Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0 Habe absorbierende Wand / Klippe bei 0 Lemming steht 1 vor Klippe bei 1 Lemming steht 1 vor Klippe bei 1

Lemming Gesetz der großen zahlen: Gesetz der großen zahlen: Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8 Klassischer Lemming erreicht klippe für t->8 Also fallwahrscheinlichkeit p=1 Also fallwahrscheinlichkeit p=1

Lemming-QM-Mathe Lemming-operator W(UnitäresU) Lemming-operator W(UnitäresU) Mit abbruchbedingung bei klippe Mit abbruchbedingung bei klippe Abbruch durch PI-funktion Abbruch durch PI-funktion

Lemming-Mathe Erzeugende Funktion(en) f (und g) Erzeugende Funktion(en) f (und g) (diskrete) fouriertrafo (diskrete) fouriertrafo Blabla Blabla Es gilt intuitiv offensichtlich p_1=summe der koeff Es gilt intuitiv offensichtlich p_1=summe der koeff

Lemming-Mathe Hadamard-Produkt Hadamard-Produkt Einführen Einführen Ausrechnen für f,fquer Ausrechnen für f,fquer

Lemming-Mathe Argumentatives ermitteln von f und g Argumentatives ermitteln von f und g Ausrechnen Ausrechnen Minus wechmachen Minus wechmachen Integral ausrechnen Integral ausrechnen Erstaunt tun Erstaunt tun

Lemming-Mathe Grenzwerte für weiter wegge klippe machen Grenzwerte für weiter wegge klippe machen

Ausblick Quanten-computers Quanten-computers WWF(lemming-rettung) WWF(lemming-rettung) Kubus Kubus Sat2/3/1 Sat2/3/1