Bayes‘sche Verfahren (Mitchell Kap. 6), Teil 1 Maschinelles Lernen Bayes‘sche Verfahren (Mitchell Kap. 6), Teil 1

Überblick Bayes‘sche Lernverfahren werden in erster Linie für Klassifikation oder Konzept-Lernen verwendet Ziel: Abschätzung der Wahrscheinlichkeit mit der ein Objekt E einer Klasse C angehört Möglichkeit der Miteinbeziehung von Vorwissen

Grundlagen Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignismenge: Ω = Menge aller möglichen (Elementar-)Ereignisse Ereignisraum: F = pot(Ω) Wahrscheinlichkeitsverteilung P: F->[0,1] P(Ω) = 1 Für disjunkte Ai  Ω: P(UAi) = ∑P(Ai) P(A) ist die Wahrscheinlichkeit von A Typischerweise: P(A) = |A|/|Ω| Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) Wahrscheinlichkeit von A, unter der Voraussetzung dass B P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

Beispiel Dreimaliges Werfen einer Münze: Ω = {kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz} A sei „genau 2 mal Kopf“ = {kkz,kzk,zkk} P(A) = ?

Beispiel Dreimaliges Werfen einer Münze: Ω = {kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz} A sei „genau 2 mal Kopf“ = {kkz,kzk,zkk} P(A) = 3/8 Sei B „1. Wurf Kopf“ = {kkk,kkz,kzk,kzz} P(A|B) = ?

Beispiel Dreimaliges Werfen einer Münze: Ω = {kkk,kkz,kzk,zkk,kzz,zkz,zzk,zzz} A sei „genau 2 mal Kopf“ = {kkz,kzk,zkk} P(A) = 3/8 Sei B „1. Wurf Kopf“ = {kkk,kkz,kzk,kzz} P(A|B) = |{kkz,kzk}|/{kkk,kkz,kzk,kzz}| = ½

Bayes‘scher Satz Nützlich, wenn P(A), P(B) und P(A|B) einfacher zu berechnen oder abzuschätzen sind als der gesuchte Wert P(B|A).

Bayes‘scher Satz und maschinelles Lernen P(h): Wahrscheinlichkeit von Hypothese h P(T): Wahrscheinlichkeit von Trainingsmenge T P(T|h): Wahrscheinlichkeit von T unter der Hypothese h P(h|T): Wahrscheinlichkeit von h unter der Voraussetzung von T D.h. gesucht diejenige Hypothese h, unter der P(h|T) maximal wird

Bayes‘sches Lernen P(h), P(T) werden auch als „a priori“ Wahrscheinlichkeiten bezeichnet P(h|T) wird als „a posteriori“ Wahrscheinlichkeit bezeichnet. Gesucht also die maximale a posteriori (MAP) Hypothese hMAP da P(T) immer konstant genügt für die Bestimmung von hMAP P(D|h)P(h):

Brute Force Lern-Algorithmus Einfacher Lern-Algorithmus: Für jede Hypothese h  H: Berechne P(T|h)P(h) Gebe hMAP = argmaxhHP(T|h)P(h) aus Problem: hoher Rechenaufwand! Wie sieht P(T|h) bzw. P(h) aus?

Beispiel Konzept-Lernen: Dann: P(h) = 1/|H| (jede Hypothese ist gleich wahrscheinlich) Sei tiT, ti = c(xi), dann: P(T|h) = 1 falls für alle ti in T: h(xi) = ti; 0 sonst Dann: P(h|T) = 0 gdw. h ist nicht konsistent mit T sonst P(h|T) = (1 * 1/|H|)/P(T) = 1/VSH,T D.h. jede mit T konsistente Hypothese ist MAP Hypothese

Optimaler Bayes Lerner Brute Force Bayes: ergibt Hypothese mit der größten Wahrscheinlichkeit gegeben eine Trainingsmenge Eigentlich gesucht: wahrscheinlichste Klassifikation für eine neue Instanz Warum ist das nicht dasselbe?

Optimaler Bayes Klassifikator Beispiel: seien h1, h2, h3 Hypothesen mit P(h1|T) = 0,4, P(h2|T) = 0,3, P(h3|T) = 0,3 h1(x) = 0, h2(x) = 1, h3(x) = 1 Dann ist h1 die MAP Hypothese Die Klassifikation von x als positive Instanz erscheint jedoch wahrscheinlicher

Optimaler Bayes Klassifikator Idee: berechne für jede Hypothese die Wahrscheinlichkeit der Klassifikation und gewichte das jeweils gemäß der Wahrscheinlichkeit der Hypothese!

Optimaler Bayes Klassifikator Seien vj  V die möglichen Werte für eine neue Instanz x Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass x den Klassifikationswert vj hat: P(vj|T) = ∑hHP(vj|h)P(h|T) Die optimale Klassifikation ist also der Wert vj für den P(vj|T) maximal ist

Optimaler Bayes Klassifikator Nachteil: sehr aufwendige Berechnung bei großer Hypothesen-Menge!

Naive Bayes Klassifikator Weitest verbreitete Klassifikationsstrategie in der Textklassifikation Geeignet für Lernprobleme mit mittleren bis großen Trainingsmengen Attributen, die (weitgehend) unabhängig voneinander sind. Idee: Wahrscheinlichkeit der Klassifikation lässt sich berechnen aufgrund der Wahrscheinlichkeiten der Attributwerte für bestimmte Klassifikation

Naive Bayes Gesucht: wahrscheinlichster Zielwert vMAP

Naive Bayes Nehme an, die Attribute a1, a2, ...,an sind voneinander unabhängig, dann: Naive Bayes Klassifikator:

Naive Bayes und Textklassifikation Betrachte als potentielle Attribute das Vokabular Treffe geeignete Auswahl, z.B. schließe die 100 frequentesten Wörter und alle Wörter mit einer Frequenz < 3 aus Wie realistisch ist die Unabhängigkeitsannahme für die Textklassifikation?

Aufgaben Diskutieren Sie die Unabhängigkeitsannahme des Naive Bayes Klassifikators im Hinblick auf die Textklassifikation Implementierung eines Naive Bayes Classifiers. Material für diese Aufgabe finden Sie finden im Internet unter http://www.cis.uni-muenchen.de/kurse/pmaier/ML_05/material/MaterialBayes.tgz . Wenn Sie diese Datei auspacken, erhalten Sei einen Ordner der Trainingstexte für verschiedene Zeitungs-Ressorts (Ordner mit entsprechenden Ressortbezeichnern) sowie testdaten (Ordner test) enthält. Extrahieren Sie für die Trainingsdaten das Vokabular (wie zuvor beschrieben: schließen Sie die 100 frequentesten Wörter und die Wörter mit einer Frequenz < 3 aus) Berechnen Sie für jedes Wort w und jede Kategorie c den Wert P(w|c) Berechnen Sie für die Testdokumente im Verzeichnis test die wahrscheinlichste Kategorie Zeit für die Bearbeitung der 2. Aufgabe: 2 Wochen