Klausurbesprechung Referent: Dipl.-Kfm. René Herrmann Raum 221 Tel.: 03834/86 - 2456 Fax: 03834/86 - 2475 Email: rene.herrmann@uni-greifswald.de

Aufgabe 1 Eine Berufungskommission besteht aus 8 Mitgliedern. Fünf Kandidaten stehen zur Auswahl. In einem ersten Schritt hat jedes Kommissionsmitglied die Kandidaten in eine Reihenfolge (bester Kandidat: 1, schlechter: 5) gebracht. Nun soll der für die ganze Gruppe beste Kandidat mit Hilfe von Abstimmungs-regeln ermittelt werden.

Aufgabe 1 Kandidat 1 Kandidat 2 Kandidat 3 Kandidat 4 Kandidat 5 Mitglied 1 1 2 3 4 5 Mitglied 2 Mitglied 3 Mitglied 4 Mitglied 5 Mitglied 6 Mitglied 7 Mitglied 8

Aufgabe 1 Welcher Kandidat ist „der Beste“, falls folgende Abstimmungsregeln angewendet werden (Rechen- und Entscheidungsgang muss erkenntlich sein) Regel der einfachen Mehrheit Regel der absoluten Mehrheit Borda-Regel Hinweis: Falls Sie aus den Daten keine eindeutige Aussage treffen können, so beschreiben Sie weitere notwendigen Schritte, um zu einem eindeutigen Abstimmungsergebnis zu kommen.

Lösung Aufgabe 1 a) Regel der einfachen Mehrheit: Die einfache Mehrheit ist dann erreicht wenn ein Kandidat mehr Stimmen der Stimmberechtigten auf sich vereinigen kann als ein der anderer Kandidat. Single-Vote-Kriterium (Laux, S. 423 f) Hier: Pro vergebenem 1. Platz gibt es einen Punkt. Reihenfolge: Kandidat 1 vor Kandidat 3 vor Kandidaten 2 und 5 vor Kandidat 4

Lösung Aufgabe 1 b) Regel der absoluten Mehrheit: Die absolute Mehrheit ist dann erreicht wenn ein Kandidat mehr als 50% der Stimmen der Stimmberechtigten auf sich vereinigen kann. Die absolute Mehrheit würde aus 5 oder mehr Stimmen bei 8 Stimmberechtigten bestehen. Dies erreicht aber keiner der Kandidaten. Dementsprechend muss nun eine andere Art der Lösung gefunden werden. Möglichkeiten: Hare-Regel, Würfeln, Losen, etc.

Lösung Aufgabe 1 b) Hare-Regel: Jedes Mitglied votiert mit einer Stimme. Der Kandidat mit der absoluten Mehrheit erhält den Zuschlag. Gibt es keine absolute Mehrheit wird der Kandidat mit der geringsten Stimmenanzahl eliminiert. Die Entscheidung ist dann getroffen, wenn erstmals ein Kandidat die absolute Mehrheit erhält. (Vgl. Laux S.425 f)

Lösung Aufgabe 1 c) Borda-Regel: Jedes Mitglied gibt seine Präferenzordnung ab. Die beste Bewertung erhält dann die höchste Punktzahl und die zweit beste die zweit höchste usw. Die schlechteste Alternative erhält einen Punkt. Daraus folgt, dass der Kandidat mit der insgesamt höchsten Punktzahl den Zuschlag erhält. Die Borda-Regel nimmt damit auch Rücksicht auf die Präferenzordnung der einzelnen Stimmberechtigten.

Lösung Aufgabe 1 c) Borda-Regel: Kandidat 1: 5 + 1 + 5 + 5 + 4 + 4 + 3 + 5 = 32 Kandidat 2: 4 + 4 + 4 + 4 + 1 + 5 + 1 + 2 = 25 Kandidat 3: 3 + 5 + 2 + 1 + 3 + 2 + 5 + 3 = 24 Kandidat 4: 2 + 2 + 3 + 2 + 2 + 1 + 5 + 5 = 22 Kandidat 5: 1 + 3 + 1 + 3 + 5 + 1 + 2 + 1 = 17 Kandidat 1 ist die beste Alternative!

Aufgabe 2 Gegeben ist folgende Ergebnismatrix (erwartete Gewinne) für fünf Alternativen und vier Umweltzustände: Eliminieren Sie die (alle) dominierte Alternative(n) Ermitteln Sie die zu präferierende Alternative bei Anwendung der µ-Regel Stellen Sie die Vorgehensweise bei Verwendung der µ-σ-Regel dar und berechnen Sie die entsprechenden Werte Welche Regeln kennen Sie, wenn keine Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? (Nennung, nicht Diskussion!)

Aufgabe 2 p=0,1 p=0,3 p=0,5 S1 S2 S3 S4 A1 200 300 400 500 A2 A3 A4 A5 700 100

Lösung Aufgabe 2 a) Eliminieren Sie die (alle) dominierte Alternative(n) Eine Alternative dominiert dann eine andere, wenn sie im Vergleich zu dieser zweiten Alternative in keinem Zustand ein schlechteres Ergebnis, jedoch in mindestens einem Zustand ein besseres Ergebnis bietet. (Vgl. Laux, S. 105) Für die Aufgabe gilt: Suche die Alternative, die dominiert wird und eliminiere Sie!

Lösung Aufgabe 2 p=0,1 p=0,3 p=0,5 S1 S2 S3 S4 A1 200 300 400 500 A2 700 100 A1 = A4 A1 = A4 A1 = A4 A1 > A4 Alternative A 4 wird von A1 dominiert und eliminiert !

Lösung Aufgabe 2 p=0,1 p=0,3 p=0,5 S1 S2 S3 S4 A1 200 300 400 500 A2 700 100

Lösung Aufgabe 2 b) Ermitteln Sie die zu präferierende Alternative bei Anwendung der µ-Regel n µ-Regel: Σ p(Si) * Aj (Vgl. Laux S.146f) i,j=1 µ1 = 0,1 * 200 + 0,3 * 300 + 0,1 * 400 + 0,5 * 500 = 400 µ2 = 0,1 * 500 + 0,3 * 400 + 0,1 * 200 + 0,5 * 200 = 290 µ3 = 0,1 * 300 + 0,3 * 300 + 0,1 * 300 + 0,5 * 300 = 300 µ5 = 0,1 * 700 + 0,3 * 400 + 0,1 * 100 + 0,5 * 200 = 300

Lösung Aufgabe 2 c) Stellen Sie die Vorgehensweise bei Verwendung der µ-σ-Regel dar und berechnen Sie die entsprechen-den Werte n 0,5 µ-σ-Regel: Φ(µ, σ)= Σ pj * (µ - eij)2 i,j=1 (Vgl. Laux, S. 155 ff)

Lösung Aufgabe 2 Φ(µ1, σ1)= [0,1 * (400 – 200) + 0,3 * (400 – 300) 2 2 Φ(µ1, σ1)= [0,1 * (400 – 200) + 0,3 * (400 – 300) 2 2 0,5 + 0,1 * (400 – 400) + 0,5 * (400 – 500) ] Φ(µ1, σ1)= 109,54 Φ(µ2, σ2)= [0,1 * (290 – 500) + 0,3 * (290 – 400) + 0,1 * (290 – 200) + 0,5 * (290 – 200) ] Φ(µ2, σ2)= 113,58

Lösung Aufgabe 2 Φ(µ3, σ3)= [0,1 * (300 – 300) + 0,3 * (300 – 300) 2 2 Φ(µ3, σ3)= [0,1 * (300 – 300) + 0,3 * (300 – 300) 2 2 0,5 + 0,1 * (300 – 300) + 0,5 * (300 – 300) ] Φ(µ3, σ3)= 0 Φ(µ5, σ5)= [0,1 * (300 – 700) + 0,3 * (300 – 400) + 0,1 * (300 – 100) + 0,5 * (300 – 200) ] Φ(µ5, σ5)= 167,33

Lösung Aufgabe 2 d) Welche Regeln kennen Sie, wenn keine Wahrscheinlichkeiten bekannt sind? (Nennung, nicht Diskussion!) Maximin (Minimax-)-Regel (Vgl. Laux, S.107 f) Maximax-Regel (Vgl. Laux, S. 108 f) Hurwicz-Prinzip (Vgl. Laux, S. 110 ff) Laplace-Regel (Vgl. Laux, S.115 ff) Niehans-Savage-Regel (Vgl. Laux, S. 112 ff)

Aufgabe 3 Definieren Sie die folgenden Begriffe, die Sie als Axiome des Bernoulli-Prinzips kennen gelernt haben: Ordinales Prinzip Stetigkeitsprinzip Substitutionsprinzip

Lösung Aufgabe 3 a) Ordinales Prinzip (Vgl. Laux, S. 172) - Vollständigkeit: Der Entscheidungsträger kann sämtliche Ergebnisse in eine Rangordnung bringen. Im paarweisen Vergleich gilt stets: ej < ek oder ej > ek oder ej ~ ek - Transitivität: Die Präferenzordnung des Entscheidungsträgers über die Ergebnisse ist transitiv. Somit gilt: ej > ek und ek > ei ej > ei

Lösung Aufgabe 3 b) Stetigkeitsprinzip: (Vgl. Laux, S. 172 f) - Existenz einer Indifferenzwahrscheinlichkeit w*, bei welcher der Entscheidungsträger zwischen den beiden Randergebnissen eo und e+, mit eo<e<e+ genauso gut schätzt wie das sichere Ergebnis e. [eo, w*, e+] ~ e - Bestimmung der Indifferenzwahrscheinlichkeit w*: Der Entscheidungsträger ist in der Lage, w* zu benennen.

Lösung Aufgabe 3 - Argumentation: Wenn w sehr nahe bei 1 liegt, wird der Entscheidungsträger logischerweise die Lotterie vor- ziehen. Wenn nun w sukzessive reduziert wird (gegen Null), wird sich irgendwann der Übergang von der Höherschätzung zur Gleichschätzung vollziehen und sich bei weiter fallendem w in eine Geringschätzung umkehren. Gleichschätzung ist bei w* erreicht. - Das Stetigkeitsprinzip besagt jedoch nicht, dass die auf der Basis der Indifferenzwahrscheinlichkeiten ermittelte Nutzenfunktion stetig verläuft.

Lösung Aufgabe 3 c) Substitutionsprinzip: (Vgl. Laux, S. 173) - Wird in der Wahrscheinlichkeitsverteilung ein Ergebnis e durch die äquivalente Lotterie [eo, w*, e+] ersetzt, so ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, die der ursprünglichen Verteilung gleichwertig ist. - Beispiel: Der Entscheidungsträger sei indifferent zwischen dem sicheren Ergebnis von 2.000 und der Lotterie, bei der mit 25%iger Wahrscheinlichkeit ein Gewinn von 10.000 und mit 75%iger Wahrscheinlich- keit ein Verlust von 1.000 entsteht.

Lösung Aufgabe 3 1/4 10.000 1/4 2.000 1/2 3.000 1/4 10.000 1/4 10.000 1/4 1/2 3.000 3/4 -1.000 ¼ ¼ ½ S1 S2 S3 A1 10.000 2.000 3.000

Lösung Aufgabe 3 Hierbei liegt folgende Überlegung zugrunde. Ist der Entscheider zwischen einem Ergebnis e und einer Lotterie indifferent, erzielt er weder einen Vorteil noch einen Nachteil, wenn er dieses Ergebnis gegen die Lotterie tauscht. Der Entscheider muss sich nicht erst dann zum Tausch entschließen, wenn das Ergebnis e tatsächlich eingetreten ist. Er kann schon vorher die be- dingte Entscheidung treffen, den Tausch vorzunehmen, falls das Ergebnis e tatsächlich eintritt. Auch in diesem Fall entsteht für ihn weder ein Nachteil noch ein Vorteil.

Aufgabe 4 Was versteht man unter dem St. Petersburg- Spiel? Welche Bedeutung hat es für die Entwicklung der Nutzentheorie? (Vgl. Laux, S. 154 f)

Lösung Aufgabe 4 Antwort: Eine Münze wird so lange geworfen, bis erstmalig „Zahl“ erscheint. Der Spieler erhält eine Auszahlung, die abhängig davon ist, bei welchem Wurf dies der Fall ist: Die Auszahlung beträgt 2n wobei n misst, bei welchem Wurf „Zahl“ geworfen wird. Die Frage die sich bei diesem Spiel stellt, ist die nach der Zahlungsbereitschaft des Spielers für eine Teilnahme. Für eine Antwort muss man sich hierbei den Erwartungswert ansehen.

Lösung Aufgabe 4 ∞ … K ½ Z 16 ½ K ½ Z 8 K ½ Z 4 ½ Z 2 1 1 2 1 2 2 1 3 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2 21 * + 22 * + 23 * + 24 * + … = ∞

Lösung Aufgabe 4 Schlussfolgerung: Aus dieser Abbildung ergibt sich, dass jeder Spieler bereit wäre sein ganzes Vermögen einzusetzen, um am Spiel teilnehmen zu können. Dies stellt jedoch einen Widerspruch zur Realität da und zeigt dabei, dass es Probleme gibt an hand der μ-Regel allgemeine Verhaltensnormen aufzuzeigen. Die μ-Regel hat für die Beschreibung und Erklärung der tatsächlichen Ent- scheidung von Individuen, aufgrund der hier gezeigten Beobachtungen, nur eine geringe Bedeutung.