Grundbegriffe der Schulgeometrie Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Grundbegriffe der Schulgeometrie SS 2008 Teil 1 (M. Hartmann)

Organisatorisches Vorlesung (Hartmann) 11.30 – 13.00 Uhr Mittwoch: Immer Montag: Zweistündig im Wechsel Übungen (Hartmann) Dienstag 9.45 – 11.15 Uhr Wöchentliche Übungsaufgaben www.didmath.ewf.uni-erlangen.de / Material zu den Veranstaltungen Login: student Password: ewf Abgabe zu Beginn der jeweiligen Übungsgruppe Rückgabe und exemplarische Besprechung eine Woche später in den Übungen Bewertung +, o, - Teilweise auch Präsenzübungen Schein Bei Bestehen der Klausur am Ende des Semesters Voraussetzung zur Klausurteilnahme: Etwa 75% der Übungsaufgaben mit mindestens o bewertet! Werkzeug: Geodreieck, Zirkel, TR, Schere, Kleber

Virtuelle Hochschule Bayern Wer hier teilnehmen will, wird dringend gebeten, sich zusätzlich kostenfrei bei der vhb für den Kurs „Grundbegriffe der Schulgeometrie“ einschreiben! Wer nach dem neuem Modus Mathe als Didaktikfach studiert, muss an diesem Kurs teilgenommen haben Schreiben Sie sich heute noch ein!! Frage: Wie geht das? Antwort: Steht auf unserer Homepage Vorbesprechung für vhb-Kurse

Was soll die Vorlesung leisten? Vorbereitung auf das Unterrichten von Geometrie in der zweiten Phase Didaktische Grundideen des Geometrieunterrichts Ziele des Geometrieunterrichts aufzeigen Wege zum Erreichen dieser Ziele vermitteln Exemplarisch Schulmathematisches Wissen Auffrischen Elaborierte Sichtweise Teilweise fachmathematische Hintergründe Inhaltliche Vorbereitung fürs Examen

Was kann die Vorlesung nicht leisten? Allgemeine Methodik des Unterrichtens Stoffverteilungsplan Komplette Stundenbilder Vollständige Behandlung der Schulgeometrie Mathematisch Didaktisch Strategische Vorbereitung fürs Examen → Seminar zur Examensvorbereitung

I. Ziele und Eigenheiten des Geometrieunterrichts der HS

Ziele des Geometrieunterrichts der HS Erwerb elaborierten Wissens über Figuren, Körper, geometrische Operationen sowie deren Beziehungen handwerklicher und formaler Techniken (Konstruieren, Zeichnen, Messen, Berechnen,…) Befähigung zur Anwendung dieses Wissens Alltag, Beruf und weiterführende Schulen Erziehung zu konzentriertem sauberen Arbeiten Zeichnen, Basteln, Lösen einer Berechnungsaufgabe Förderung von Problemlösetechniken speziell auf die Geometrie bezogen aber auch allgemein Sprachschulung Beschreiben, kohärentes Argumentieren, Fachsprache nutzen,… Förderung kreativen Verhaltens Freude am Schaffen und Entdecken Kreativitätsroutinen Schaffung eines kulturhistorischen Bewusstseins

Verschiedene Bilder von HS-Mathematik Defizitärer Ansatz Hauptschüler sind minderbegabt, deshalb können und müssen sie Inhalte nicht wirklich verstehen sollten sie ohne lange Ableitungen schnell einfache Regeln an die Hand bekommen und diese dafür intensiver trainieren sollte auf Themen, die der eh schon überfüllte Lehrplan nicht einfordert, unbedingt verzichtet werden benötigt der Lehrer kein weitergehendes fachliches Hintergrundwissen, sondern vor allem methodisches und pädagogisches Geschick

Konstruktivistischer Ansatz Verschiedene Bilder von HS-Mathematik Konstruktivistischer Ansatz Die Schüler müssen das Wissen eigenständig konstruieren, deshalb sollten die Schüler das Unterrichtsziel mithilfe stummer Impulse selbst entdecken müssen sie die Inhalte selbst erarbeiten dürfen Inhalte nicht vom Lehrer fertig angeboten werden sollten die Schüler Ergebnisse möglichst immer selbst darstellen ist ein Lehrervortrag zum Erklären von Sachverhalten nicht mehr notwendig sollte der Lehrer sich weitgehend zurücknehmen muss der Lehrer eher Moderationskompetenz als Fachwissen besitzen

Fachorientierter Ansatz Verschiedene Bilder von HS-Mathematik Fachorientierter Ansatz Fachwissen ist die unabdingbare Voraussetzung für die Vermittlung fachlichen Wissens, deshalb benötigt der Lehrer anstelle von fachdidaktischem und methodischem Schnickschnack vor allem fundiertes fachliches Wissen sollte der Lehrer möglichst auch Fachmathematik studiert haben sollte anstelle eines umständlichen Erarbeitens der Inhalt übersichtlich, fachlich korrekt und dadurch auch gut verständlich dargeboten werden

Umwelt- und alltagsweltorientierter Ansatz Verschiedene Bilder von HS-Mathematik Umwelt- und alltagsweltorientierter Ansatz Abstrakte Mathematik ist nichts für Hauptschüler. Im HS-Mathematikunterricht muss der Einstieg in ein neues Thema aus Alltag und Umwelt motiviert werden müssen Aufgaben möglichst Umweltbezug haben sollte auf Fachsprache zugunsten einer leichter verständlichen Alltagssprache verzichtet werden

Kritik des defizitären Ansatzes Falsch! Die Aufteilung nach Fähigkeit auf die Schularten gelingt nur sehr unzureichend Hauptschüler sind minderbegabt, deshalb können und müssen sie Inhalte nicht wirklich verstehen sollten sie ohne lange Ableitungen schnell einfache Regeln an die Hand bekommen und diese dafür intensiver trainieren sollte auf Themen, die der eh schon überfüllte Lehrplan nicht einfordert, unbedingt verzichtet werden benötigt der Lehrer kein weitergehendes fachliches Hintergrundwissen, sondern vor allem methodisches und pädagogisches Geschick Mathematik ohne Verständnis ist Quälerei ohne Effekt Studien belegen die Unwirksamkeit dieser Methode Der LP ist nicht überfüllt! Oft bedeutet mehr Inhalt kaum mehr Aufwand! Oft wird im Unterricht Zeit vergeudet Ohne fundiertes fachliches Wissen gibt es keinen sinnvollen Methodeneinsatz

Kritik des konstruktivistischen Ansatzes Die Schüler müssen das Wissen eigenständig konstruieren, deshalb sollten die Schüler das Unterrichtsziel mithilfe stummer Impulse selbst entdecken müssen sie die Inhalte selbst erarbeiten dürfen Inhalte nicht vom Lehrer fertig angeboten werden sollten die Schüler Ergebnisse möglichst immer selbst darstellen ist ein Lehrervortrag zum Erklären von Sachverhalten nicht mehr notwendig sollte der Lehrer sich weitgehend zurücknehmen muss der Lehrer eher Moderationskompetenz als Fachwissen besitzen Das ist nur an wenigen Stellen möglich! Dort muss es dann wirklich geschult werden! Oft unfruchtbare Zeitvergeudung! Wichtiger ist, dass die Problemstellung jedem klar ist! Ist aber aus ökonomische Gründen in manchen Fällen unabdingbar Präsentieren ist zwar eigenes Ziel, darf aber nicht einer guten Reflexion geopfert werden Der Lehrervortrag ist fundamentaler Bestandteil zur Sicherung von Verständnis und zur Spracherziehung Das ist kein Freibrief, um alles laufenzulassen Fundiertes fachliches Wissen ist Voraussetzung, um sinnvoll zu Eigenkonstruktionen anzuleiten

Kritik des fachorientierten Ansatzes Fachwissen ist die unabdingbare Voraussetzung für die Vermittlung fachlichen Wissens, deshalb benötigt der Lehrer anstelle von fachdidaktischem und methodischem Schnickschnack vor allem fundiertes fachliches Wissen sollte der Lehrer möglichst auch Fachmathematik studiert haben sollte anstelle eines umständlichen Erarbeitens der Inhalt übersichtlich, fachlich korrekt und dadurch auch gut verständlich dargeboten werden Die fachorientierte Darstellung ist meist das konzentrierte Resultat eine langen Erkenntnisprozesses und beinhaltet nicht für den Verstehensprozess wesentliche Aspekte Hochschulmathematik ist zusätzliches Wissen aber meist kein Hintergrundwissen der Schulmathematik Fachlich korrekte Darstellung allein ist weder motivierend noch führt sie zu zu einem wirklichen Verständnis des Inhalts

Kritik des alltagsweltorientierten Ansatzes Abstrakte Mathematik ist nichts für Hauptschüler. Im HS-Mathematikunterricht muss der Einstieg in ein neues Thema aus Alltag und Umwelt motiviert werden müssen Aufgaben möglichst Umweltbezug haben sollte auf Fachsprache zugunsten einer leichter verständlichen Alltagssprache verzichtet werden Innermathematische Motivation ist auch für Hauptschüler zugänglich, kann sehr faszinierend sein und ist oft angemessener. Mathematik soll auch als gedankliches Spiel erfahren werden, das als solches Spaß macht! Umweltbezüge als Einkleidungen werden auch von Schülern nicht ernst genommen. Lieber seltener dafür gut ausgearbeitet und dann wirklich alltagstauglich! Der Verzicht auf die Fachsprache führt oft zu mehr Verständnisproblemen als deren korrekter Gebrauch! Verwendung von Fachsprache ist Unterrichtsziel!

Forderungen aus dem Mathematik-Fachprofil (LP) Beim Lösen … geometrischer Aufgaben sollen die Schüler … Flexibilität und problemlösendes Denken entwickeln … Der Unterricht soll zur Selbstständigkeit ermuntern, den Einfallsreichtum fördern und Freude am mathematischen Tun wecken …gestalterischer Umgang mit geometrischen Formen können dazu beitragen, dass die Schüler Freude an mathematischem Tun gewinnen. Versuche, … Lösungswege zu variieren, sollen den Schülern das Durchdringen und selbstständige Bearbeiten von Aufgaben erleichtern. …räumt der Unterricht auch der Entwicklung von Lösungsideen Platz ein. Zunehmend verwenden die Schüler gängige Begriffe der mathematischen Fachsprache. Es ist aber darauf zu achten, dass sie mathematische Bezeichnungen und Symbole mit inhaltlichen Vorstellungen und Wissen verbinden. Kenntnisse über geometrische Figuren und das Wissen um geometrische Beziehungen können aus der Arbeit mit konkreten Modellen sowie dem zeichnerischen Darstellen erwachsen. Durch häufige und vielfältige kopfgeometrische Aufgaben wird intensiv das räumliche Denken und Vorstellungsvermögen geschult. Berechnungsformeln dürfen nicht zu früh eingeführt, sie müssen schrittweise aus der Anschauung entwickelt werden. Eine wiederholte Rückbesinnung auf ihre Gewinnung erleichtert den Schülern eine flexible Anwendung.

II. Bildung geometrischer Begriffe

Lebensweltlicher Aspekt Eigenschaften entdecken Ungenauigkeit Modell Handeln/Werken Anwendung Bild Zeichnen Vorkommen Funktion Naive Vorstellung Text Verbalisieren Lebensweltlicher Aspekt Alltag/Beruf Unterrichtliche Repräsentation Schüleraktivität Alltags- sprache Eigenschaften entdecken Geometrischer Begriff Mentaler Begriff Mentales Modell/Proposition Fachsprache Operativ vorgehen Fachsprache Fachmathematischer Aspekt Analysieren Begriffsumfeld Vernetzen Kreatives Arbeiten Eigenschaften Ordnen Definitionen Modularisieren Variieren Anknüpfen an propädeutische Erfahrungen Beziehungen Analogisieren

Sprech- und Schreibweisen Man fasst in der Geometrie Figuren bzw. Körper als Teilmengen und Punkte als Elemente der Ebene bzw. des Raumes auf Damit sind spezielle Sprech- bzw. Schreibweisen aus der Mengenlehre verbunden Die Ebene (bzw. der Raum) kann mittels eines Koordinatensystems beschrieben werden (Man spricht dann vom IR² bzw. IR³) Es muss generell zwischen Figur bzw. dem Körper und dem zugeordneten Maß unterschieden werden! 1. Insbesondere sind dann Punkte auch die Elemente der Figuren 2. A aus g, g Teilmenge E, Im Raum z.B. Ebene E1 schnitt Würfel ABCDEFGH= Viereck IJKL ist Teilmenge von E1 und Teilmenge von Würfel Sonderfall Schnitt einelementig: g schnitt h = A statt {A} (eigentlich inkorrekt aber üblich) Beschreibende Beschreibung k(M;r) 3. R²={(a,b)|a aus R und b aus R}

Empfohlene Schreibweisen (LP) A, B, C... Punkte P (x | y) Punkt im Koordinatensystem mit den Koordinaten x und y AB Gerade durch A und B [AB] Strecke von A nach B Länge der Strecke AB g, h, k... Geraden g || h g ist parallel zu h g h g ist senkrecht zu h (ABC) Winkel mit Scheitelpunkt B α, β, γ, δ... Winkelmaß

Verwendung von Relations- und Operationszeichen Relationen drücken Beziehungen zwischen Objekten aus, z.B. Operationszeichen erzeugen aus Objekten wieder Objekte, z.B. 2 < 5 2 + 5 Der Implikationspfeil drückt Beziehungen zwischen Aussagen aus, z.B. Dabei entstehen Aussagen, die wahr oder falsch sein können! Dabei entstehen keine Aussagen!

Relationszeichen: Zwischen Zahlen oder zwischen Größen (Längen, Flächen, Gewichte etc) Zwischen Mengen Zwischen Elementen und Mengen

Operationszeichen: + - · : Zwischen Zahlen oder zwischen Größen (Längen, Flächen, Gewichte etc) Zwischen Mengen + - · : Zwischen Elementen und Mengen ist keine Operation möglich

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Was ist typisch für naive Vorstellungen? Fixierung auf Sachsituation (Bsp. Pyramide Cheops) Einschränkung der Begriffe auf Prototypen Sonderformen (Bsp. nur Rechteck für Viereck, nur gleichseitiges Dreieck für Dreieck, nur gerader Kreiszylinder für Zylinder, reguläre quadratische Pyramide für Pyramide) Standardproportionen (Draht ein Zylinder?, Blatt Papier ein Quader?) Beschränkung auf Normallagen (Bsp. Quadrat auf Ecke wird zu Raute? Steht das Prisma auf der Grundfläche?) Unschärfe (Achsensymmetrie …zwei gleiche Teile) Eigenschaftsarmut (Parallelogramm nur Parallelität)

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Cheopspyramide

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Prisma Klassisches Dreiecksprisma in Optik und Mathematik Prisma als Fachbegriff in Optik muss mathematisch kein Prisma sein! Klassisches Dreiecksprisma in Umwelt der Schüler

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Katastrophale Begriffsbildung als Realität der Hauptschule Aus einer Untersuchung mit 118 Schülern der Klassen 7 - 9 einer Hauptschule 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% richtig falsch unsicher nichts Prototyp typ. Lage Prototyp untyp. Lage typ. Form untyp. Lage untyp. Form typ. Lage Sonderfall Gegenbeispiel

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Welche Probleme entstehen, wenn unzureichende Begriffsbildung im Unterricht nicht bekämpft wird? Banaler Unterricht ohne Herausforderungen → Demotivierung Reibungsverlusten in späteren Jgst. durch unnötige Umlernprozesse Unfähigkeit realistische Sachproblemen zu lösen Eingeschränkte Problemlösefähigkeit Einschränkung sprachlicher Möglichkeiten

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Auf was muss im Unterricht geachtet werden? Fachliche Begriffe müssen explizit mit vorgeprägten naiven Begriffen kontrastiert werden An naive Begriffe sollte im Unterricht angeknüpft werden, um sie in fachlicher Hinsicht zu präzisieren Naive Begriffe können als Merkhilfe für Bezeichnungen genutzt werden (Mentale Prototypen haben auch bei Profis Charakteristika naiver Vorstellungen. Diese können aber den elaborierten Begriff problemlos assoziieren)

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Trapez (gleichschenkliges)

Unzureichende Begriffsbildung / Naive Vorstellungen Zylinder (gerader Kreis-) Vierzylinder

Historische Anmerkungen Fachmathematischer Aspekt Historische Anmerkungen Leitfaden S.64ff Elementarmathematik S.9ff Elemente von Euklid (4.Jh vor Chr.) Geometrie: Band 1-6 und 11-13 Definitionen, Postulate, Axiome Zweitausend Jahre der Inbegriff eines strengen deduktiven Aufbaus einer Wissenschaft Problematisch: „Definition“ von Grundbegriffen „Ein Punkt ist, was keine Teile hat“ „Eine gerade Linie ist eine solche, die zu den Punkten auf ihr gleichmäßig liegt.“ Mängel wurden erst in den „Grundlagen der Geometrie“ (1899) von Hilbert behoben In der Geometrie Hilberts basiert auf nicht weiter definierten Grundbegriffen deren Relationen durch Axiome bestimmt werden. Damit ist keinerlei Bezug zur Anschauung mehr nötig!

Klassisches Axiomensystem der Geometrie Fachmathematischer Aspekt Klassisches Axiomensystem der Geometrie Axiome der Verknüpfung Bsp.: „Zu zwei Punkten A,B gibt es stets eine Gerade a, die mit diesen verknüpft ist.“ Axiome der Anordnung Bsp.: „Zu zwei Punkten A und C gibt es stets wenigstens einen Punkt B auf AC, so dass C zwischen A und B liegt.“ Axiome der Kongruenz Bsp.: „Wenn zwei Strecken einer dritten kongruent sind, dann sind sie auch untereinander kongruent.“ Parallelenaxiom „Zu jedem Punkt P außerhalb einer beliebigen Geraden g existiert höchstens eine Parallele zu g durch P.“ Fordert man anstelle der Eindeutigkeit z.B. mehr als eine bzw. keine Parallele, so erhält man die so genannte „hyperbolische“ bzw. „elliptische“ Geometrie“ (nichteuklidische Geometrien) Axiome der Stetigkeit Voraussetzung für reelle Maßzahlen

Fachmathematischer Aspekt Die Großkreise haben hier die Funktion der Geraden. Da sich zwei Großkreise stets in mindesten zwei Punkten schneiden, gibt es hier nie eine Parallele zu einer Geraden durch einen Punkt außerhalb der Geraden.

Abbildungsgeometrie (Felix Klein: Erlanger Programm) Fachmathematischer Aspekt Abbildungsgeometrie (Felix Klein: Erlanger Programm) Abbildungen werden anstelle der Kongruenz zu einem zentralen Grundbegriff Begriffe wie z.B. Streckenlänge werden als Invarianten unter bestimmten Abbildungen eingeführt

Bedeutung bzw. Grenzen der Axiomatik für den Hauptschulunterricht Grundbegriffe werden aus der Anschauung heraus gewonnen Punkt, Gerade, senkrecht … Thematisierung der Idealisierung notwendig Im Unterricht wird auf einen rein deduktiven Aufbau zugunsten eines lokalen Begründens verzichtet Die Begründungen nehmen Bezug teils auf Argumente der klassischen Geometrie (z.B. Kongruenzsätze) nutzen aber auch abbildungsgeometrische Argumentationen

Fachmathematischer Aspekt Definitionen Begriffe, die keine Grundbegriffe sind, werden definiert, d.h. so knapp wie möglich eindeutig beschrieben und mit einem Namen bezeichnet Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung bereits definierter Begriffe mithilfe von Grundbegriffen bzw. bereits definierter Begriffe mittels eines Abstraktionsprozesses durch Äquivalenzklassenbildung (→ z.B. Flächeninhalt) konstruktiv „Definierende“ Forderungen müssen unabhängig sein Meist existiert eine Vielzahl möglicher äquivalenter Definitionen Gerade scheinbar einfache Begriffe sind fachmathematisch oft schwer zu definieren (Beispiel: Vieleck, Kurve, Fläche …) „nennt man“ betont besser Akt der Namensgebung als „ist“ ; Name schließlich eigentlich willkürlich Vielecksdefinition fachmathematisch Bsp. Parallelogramm „Ein Viereck nennt man Parallelogramm, wenn es (mindestens) zwei Paare paralleler Seiten hat“ Oder „…gegenüberliegende Seiten parallel sind“ Nicht zusätzlich „…Paare gleichlanger paralleler Seiten…“ ! Recht

Versuch der Definition eines allgemeinen n-Ecks: Fachmathematischer Aspekt Versuch der Definition eines allgemeinen n-Ecks: Vorüberlegung: Vielecke Keine Vielecke überschlagen Dreieck, nicht Viereck! offen „nennt man“ betont besser Akt der Namensgebung als „ist“ ; Name schließlich eigentlich willkürlich Vielecksdefinition fachmathematisch Dann als Abschluss „Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung…“ Einschub „In Schule zu kompliziert…“ Bsp. Parallelogramm „Ein Viereck nennt man Parallelogramm, wenn es (mindestens) zwei Paare paralleler Seiten hat“ Oder „…gegenüberliegende Seiten parallel sind“ Nicht zusätzlich „…Paare gleichlanger paralleler Seiten…“ ! Recht

Bedeutung des Definierens für den HS-Unterricht Für den Unterricht sind strenge Definitionen manchmal zu kompliziert. Dennoch müssen auch dort „Definitionen“ klar und eindeutig sein! Ausgangsbegriff oder einschränkende Eigenschaften können im Unterricht vorher definiert, aus Alltag bekannt und eindeutig verwendet oder an Beispielen und Gegenbeispielen geklärt werden. Bsp. für eine schulgerechte „Definition“ von Vieleck: Beispiele und Gegenbeispiele, sowie Text: „Ein Vieleck ist ein ebener, nicht überschlagener, geschlossener Streckenzug“ Definitionen können „statisch“ oder „dynamisch“ erfolgen Bsp. Kegel, Parallelogramm, Kreis, Zylinder…

Bsp. Definition Prisma in der Schule 1. Definition statisch über Begrenzungsflächen Ein Körper, der von zwei parallelen kongruenten Vielecken (den so genannten Grundflächen) und ansonsten nur von Parallelogrammen (den so genannten Seitenflächen) begrenzt wird, heißt Prisma. Sind die Seitenflächen Rechtecke nennt man das Prisma gerade. Anmerkung: Im HS-LP werden zur Zeit nur gerade Prismen gefordert

Bsp. Definition Prisma in der Schule 2. Definition dynamisch über Verschiebung Verschiebt man ein Vieleck (nicht parallel zu sich), so entsteht ein Prisma. Die Vielecksflächen am Anfang und Ende der Verschiebung heißen Grundflächen, die anderen Begrenzungsflächen nennt man Seitenflächen. Erfolgt die Verschiebung senkrecht zur Vielecksfläche, so entsteht ein gerades Prisma. Verschiebt man eine Strecke entlang eines Vielecks (Strecke zu Vieleck nicht parallel!), so entsteht ein Prisma. Sehr relevant Weniger relevant

Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Fachmathematischer Aspekt Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Eigenschaften von Figuren können sich z.B. beziehen auf Seiten (Längen, Lage), Winkel Besondere Linien, Diagonalen (Längen, Lage) Symmetrien (Achsen-, Punkt-, Drehsymmetrie) Umfang, Flächeninhalt Inkreis, Umkreis, Ankreis Besondere Punkte Parkettierungsmöglichkeit … „nennt man“ betont besser Akt der Namensgebung als „ist“ ; Name schließlich eigentlich willkürlich Vielecksdefinition fachmathematisch Dann als Abschluss „Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung…“ Einschub „In Schule zu kompliziert…“ Bsp. Parallelogramm „Ein Viereck nennt man Parallelogramm, wenn es (mindestens) zwei Paare paralleler Seiten hat“ Oder „…gegenüberliegende Seiten parallel sind“ Nicht zusätzlich „…Paare gleichlanger paralleler Seiten…“ ! Recht

Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Fachmathematischer Aspekt Begriffe beinhalten meist eine Vielzahl von Eigenschaften Bsp. Kreis Kreis ist der Ort aller Punkte gleichen Abstands von einem Zentrum Kreis ist Figur minimalen Umfangs bei maximalem Flächeninhalt Kreis ist Figur maximaler Symmetrie Kreis ist Rotationsfigur Kreis ist Figur konstanter Krümmung „nennt man“ betont besser Akt der Namensgebung als „ist“ ; Name schließlich eigentlich willkürlich Vielecksdefinition fachmathematisch Dann als Abschluss „Definitionen erfolgen oft durch Einschränkung…“ Einschub „In Schule zu kompliziert…“ Bsp. Parallelogramm „Ein Viereck nennt man Parallelogramm, wenn es (mindestens) zwei Paare paralleler Seiten hat“ Oder „…gegenüberliegende Seiten parallel sind“ Nicht zusätzlich „…Paare gleichlanger paralleler Seiten…“ ! Recht

Fachmathematischer Aspekt Die Eigenschaften eines Begriffs stehen meist in engen Beziehungen zueinander z.B. Aus Längengleichheit der Gegenseiten folgt im Viereck Maßgleichheit der Gegenwinkel Begriffe stehen in Bezug zu anderen Begriffen und sind in ein Begriffsnetz eingebunden Gemeinsames Auftreten (z.B. Kreise, gleichschenklige Dreiecke) Analoge Begriffe in anderen Dimensionen (z.B. Strecke, Quadrat, Würfel, …) Hierarchische Begriffsbeziehungen Unter-, Ober-, bzw. Nachbarbegriff Kreatives Ordnen (z.B. Siehe Übungen: Beim Aufbau des „Hauses“ wurden Vierecke erzeugt) Ordnen bekannter Begriffe

Vorgehen beim kreativen Ordnen Fachmathematischer Aspekt Vorgehen beim kreativen Ordnen Begriffe werden beim Ordnen erarbeitet! Wähle einen Satz ordnender Eigenschaften (z.B. Achsensymmetrie, Punktsymmetrie) Prüfe, welche Vierecksformen dabei entstehen: Achsensymmetrie bzgl. Diagonalen (Drachen) bzgl. Mittelsenkrechte (Trapez) Punktsymmetrie (Parallelogramm) Kombiniere die ordnenden Eigenschaften Z.B. Achsensymmetrie bzgl. zweier Diagonalen dreier Mittelsenkrechter einer Diagonalen und Punktsymmetrie… Prüfe insbesondere Existenz und Abhängigkeiten Nichtexistenz sowie (andere) Abhängigkeiten verringern die Zahl der zu ordnenden Vierecke Z.B. ist ein Viereck, welches zwei verschiedene Symmetrieachsen besitzt bereits auch punktsymmetrisch oder aus der Symmetrie bzgl. einer Diagonalen und einer Mittelsenkrechten folgt die Symmetrie bzgl. der anderen Diagonalen und Mittelsenkrechten In einem Viereck können sich Symmetrieachsen nur in den Winkeln 45° oder 90° schneiden Ordnung ergibt sich aus Kombination der geforderten Eigenschaften

Vorgehen beim Ordnen bekannter Begriffe Fachmathematischer Aspekt Vorgehen beim Ordnen bekannter Begriffe Begriffe sind bereits erarbeitet, d.h. in all ihren Eigenschaften bekannt! Wähle definierende Eigenschaften für einen Viereckstyp A (z.B. Punktsymmetrie für Parallelogramm) Prüfe, ob diese Eigenschaft auch anderen Typen B zueigen ist: Wenn ja, dann ist Typ B Unterbegriff von A (z.B. Rechteck, Raute oder Quadrat) Wenn nein, dann ist Typ B Nachbarbegriff zu A(z.B. Drache, gleichschenkliges Trapez) oder Oberbegriff zu A (z.B. Trapez, allgemeines Viereck); in diesem Fall muss eine definierende Eigenschaft von Typ B stets auch Typ A zueigen sein

Begründung des Ordnens im Unterricht Notwendige Fähigkeit im Alltag (z.B. Ordnerstruktur im Computer) Propädeutik allgemeinen systematischen wissenschaftlichen Ordnens (z.B. zoologische Systematik) Lernerfolgssicherung der Einzelinhalte durch Wiederholung Vernetzung Reduktion des Lernstoffes (Vererbung der Eigenschaften) Klärung korrekter Sprechweisen (z.B. „Das Parallelogramm ist ein Trapez“) Einsicht in die Bedeutung solcher hierarchischer Begriffssysteme für die Formulierung mathematischer Sätze (Sätze für Oberbegriffe gelten insbesondere auch für entsprechende Unterbegriffe und müssen dort nicht neu bewiesen werden) Beim kreativen Ordnen Innermathematische Hinführung auf neue Begriffe Schüler erfahren die Schlagkraft kreativer Techniken Mathematik als eine Wissenschaft des Forschens