Folie 1 § 29 Determinanten: Eigenschaften und Berechnung (29.1) Definition: Eine Determinantenfunktion auf K nxn ist eine Abbildung (im Falle char(K) ungleich Zwei) die bezüglich der Spalten der (n.n)-Matrizen n-linear und alternierend ist. Also gilt nach 28.5 für jede Determinantenfunktion (29.2) Definition: Die Determinantenfunktion Δ mit Δ(E) = 1 heißt die Determinante und wird mit det bezeichnet.

Folie 2 Kapitel V, § 29 Berechnung mit dieser Definition? Es gilt: (29.3) Satz: Für (n,n)-Matrizen A und B gilt stets 1 o det(A) = det(A T ). 2 o det(AB) = det(A)det(B). 4 o Und speziell. 3o3o Mehr zur Berechnung von Determinanten: (29.4) Definition: Eine obere Dreiecksmatrix ist eine (n,n)-Matrix A mit. Entsprechend: Untere Dreiecksmatrix. Und diese Formel nehmen wir als Definition im Falle char(K) = 2. Bezeichnung: Die Formel ist als die Leibnizformel bekannt.

Folie 3 Kapitel V, § 29 (29.5) Satz: Für eine obere Dreiecksmatrix A ist (29.6) Verfahren: Eine vorgegebene (n,n)-Matrix A bringe man durch Spaltenvertauschungen und durch Addition von geeigneten Vielfachheiten von Spalten auf die Form einer oberen Dreiecksmatrix B. Dann gilt: det(A) = (–1) –k det(B). Beispiel! mit einer (p,p)-Matrix B und einer (q,q)-Matrix D (n = p + q). (29.7) Satz: Für eine (n,n)-Matrix A der Form Analog für Zeilenoperationen

Folie 4 Kapitel V, § 29 Dann gilt det(A) = det(B)det(D). Entsprechend ergibt sich ein zu 29.6 analoges Verfahren., die aus A durch Streichen der μ–ten Zeile und der ν–ten Spalte entsteht. Zur Darstellung einer weiteren Berechnungsformel brauchen wir zu einer (n,n)-Matrix A und zu (μ,ν) aus n 2 die (n-1,n-1)-Matrix (29.8) Entwicklungssatz von Laplace: Für eine (n,n)-Matrix A und Analog ist für : (Entwicklung nach Zeile m.) (Entwicklung nach Spalte k.)

Folie 5 Kapitel V, § 29 Zum Beispiel die Entwicklung der Determinante einer (3,3)-Matrix nach Zeile 1: Beweis zum Entwicklungssatz 29.8: Zunächst gilt wegen für den Zeilenvektor A m und wegen der Multilinearität von det:

Folie 6 Kapitel V, § 29 Ferner ist Dabei entsteht die letzte Matrix aus der mittleren durch Verschieben der ersten Spalte um ν – 1 Positionen und durch Verschieben der ersten Zeile um m – 1 Positionen. Es folgt (Addition von geeigneten Vielfachen der m-ten Zeile zu den anderen Zeilen):

Folie 7 Kapitel V, § 29 Also und damit die Leibnizformel durch Einsetzen in die Beginn bewiesene Gleichung:

Folie 8 Kapitel V, § 29 Die komplementäre Matrix ist die Matrix (29.9) Satz: Mit den Koeffizienten (Kofaktoren genannt) der komplementären Matrix gilt daher: (29.10) Korollar: Für invertierbare A : 29.9 enthält den Entwicklungssatz 29.8.