Didaktik der Geometrie (8) Vorlesung im Sommersemester 2004 Prof. Dr. Kristina Reiss Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik Universität Augsburg

Themenbereich: Ähnlichkeit

Ähnlichkeitsabbildungen Definition Eine Abbildung der Ebene auf sich heißt Dilatation genau dann, wenn sie jede Gerade auf eine zu ihr parallele Gerade abbildet. Satz Falls eine Dilatation einen Fixpunkt hat, ist jede Gerade durch einen Fixpunkt eine Fixgerade. Eine von der Identität verschiedene Dilatation hat höchstens einen Fixpunkt.

Definition Eine Dilatation mit genau einem Fixpunkt heißt zentrische Streckung. Der Fixpunkt wird als Zentrum der Streckung bezeichnet.

Satz Bei einer zentrischen Streckung mit Zentrum S liegen ein beliebiger Punkt P≠S und sein Bild P‘ auf einer Geraden durch den Fixpunkt S. Bei einer zentrischen Streckung, die nicht die Identität ist, wird jede Gerade g, die nicht durch das Zentrum S geht, auf eine von g verschiedene Parallele zu g abgebildet.

Satz Eine zentrische Streckung ist durch den Fixpunkt S sowie durch einen Punkt A≠S und sein Bild A‘ eindeutig bestimmt. Zu einer zentrischen Streckung mit Zentrum S gibt es eine reelle Zahl k≠0, sodass für jeden Punkt A und sein Bild A‘ gilt: |SA‘| = k•|SA|.

Satz (1. Strahlensatz) Werden zwei von einem Punkt ausgehende Strahlen (oder deren entgegengesetzte Strahlen) von parallelen Geraden geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf dem einen Strahl wie die Längen der entsprechenden Abschnitte auf dem anderen Strahl.

Satz (2. Strahlensatz) Werden zwei von einem Punkt S ausgehende Strahlen von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Längen der Abschnitte auf den Parallelen wie die der zugehörigen Scheitelabschnitte auf einem Strahl.

Satz Eine zentrische Streckung ist teilverhältnistreu, d.h. das Längenverhältnis zweier Bildstrecken ist gleich dem Längenverhältnis ihrer Urbildstrecken.

Definition Unter einer Ähnlichkeitsabbildung versteht man die Hintereinanderausführung einer endlichen Anzahl von zentrischen Streckungen und Kongruenzabbildungen.

Satz Ähnlichkeitsabbildungen sind geradentreu, winkelmaßtreu, parallelentreu und teilverhältnistreu.

Klassifikation Ähnlichkeitsabbildungen sind die Parallelverschiebung Drehstreckung (Verknüpfung einer Drehung und einer Streckung mit identischen Zentren) Schubspiegelung Spiegelstreckung (Verknüpfung einer Achsenspiegelung und einer Streckung mit Zentrum auf der Achse)

Satz Die Ähnlichkeitsabbildungen bilden bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen eine Gruppe.

Anwendungsaufgabe In ein Dreieck ABC soll ein Quadrat so einbeschrieben werden, dass eine Seite auf der Geraden AB liegt und die beiden weiteren Eckpunkte des Quadrats auf den Dreiecksseiten [BC] bzw. [AC] liegen.

Die Strahlensätze im Schulbuch Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 126).

Die Strahlensätze im Schulbuch Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 129).

Die Strahlensätze im Schulbuch Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 130).

Die Strahlensätze im Schulbuch Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 135).

Die Strahlensätze im Schulbuch Griesel, H. & Postel, H. (1996). Elemente der Mathematik 9. Hannover: Schroedel (S. 138).

Lehrplan Realschule Kl. 9

Lehrplanentwurf Gymnasium Kl. 8

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