Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung

Präsentation zum Thema: "Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung"—  Präsentation transkript:

1 Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung
H. Schupp, Universität des Saarlandes Fakultät für Mathematik und Informatik Symmetrie- Zusammenspiel von Freiheit und Ordnung Formen, Vorkommen, Zustandekommen Begrüßung Riesiges Thema. Beschränkung auf die wichtigsten Erscheinungsformen der Symmetrie und deren Entstehung. Zuerst allerdings eine Bitte. Rufen Sie mir einige Objekte zu, die symmetrisch sind. Kommentar Vortrag in der Alten Schmelz 66, St. Ingbert am

2 Gliederung: 1 Achsen- und Ebenensymmetrie
Zunächst meine Gliederung. Ich werde Ihnen die einzelnen Symmetrieformen nennen und (fast) kommentarlos ein charakteristisches Bild dazugeben.

3 2 Drehsymmetrie Schneeflocken, alle irgendwie gleich und alle verschieden

4 3 Schubsymmetrie Escher-Bild. Mühelos auf die ganze Ebene fortsetzbar. Mit b, nicht mit zwei pp

5 4 Paddelsymmetrie Fußspuren am Strand

6 5 Strecksymmetrie Rglm. Fünfeck, Diagonalen (Drudenfuß), sie bilden wieder ein rglm. Fünfeck, wieder die Diagonalen usw. Zu beachten die benamten Punkte.

7 6 Schraubsymmetrie Wendeltreppe

8 7 Spiralsymmetrie Kuppel des Bundestages

9 8 Fraktalsymmetrie Schlechtes Sierpinski-Dreieck

10 1 Achsen- und Ebenensymmetrie
Punkte ändern sich schon, aber nicht Gesamtfigur Wohlbekannte Symmetrie, s. Zurufe Eine ebene Figur heißt achsensymmetrisch, wenn es eine Gerade gibt derart, dass die Figur bei Spiegelung an ihr auf sich übergeht.

11 Vertauschen der Hände am Doppelstrich, Vertauschen von Anfang und Ende

12 Eine räumliche Figur heißt ebenensymmetrisch, wenn es eine Ebene
gibt derart, dass die Figur auf sich übergeht, wenn sie an dieser Ebene gespiegelt wird. s. Zurufe Hinweis: In der Realität ist Symmetrie immer nur näherungsweise gegeben. Symmetrie ist ein Gedankenkonstrukt mit hoher Wirklichkeitsbedeutung. Schm1: Figur gesp. erbringt symmetrische Gesamtfigur. Schönheit ergibt sich aus dem Zusammenspiel von Vielfalt und Symmetrie. Beide Symmetrieformen sind in Natur, Technik, Kunst und Wissenschaft weitverbreitet. Schm1

13 2 Drehsymmetrie Rosette Straßburg, Drehung um 360° : 16 = 22,5°, Mitte 5 strahlig Rechts räumliche Drehung um Raumdiagonale des Würfels, m Vielfache von 120°. Definition gilt für beide Dimensionen Zu beachten: Symmetrien können auch gekoppelt auftreten. Eine Figur heißt drehsymmetrisch, wenn es eine Drehung gibt, die sie auf sich abbildet. Schm2

14 Zwischenspiel: Figurgruppe
Deckabbildungen: Spiegelung an 1 und an 2, kurz: S1, S2 Drehung mit 180° um M = Punktspiegelung an M, kurz M Identität, kurz I S1 = (AC)(BD) S2 = (AB)(CD) M = (AD)(BC) I = (A) Deckabbildung einer Figur: Abbildung, die sie in sich selbst überführt und damit Symmetrie stiftet Materielles Rechteck zeigen und Deckabbildung demonstrieren.

15 Symmetriegruppe des Rechtecks:
Verkettungen: S1 ◦ S2 = M Symmetriegruppe des Rechtecks: ◦ gelesen: „und dann“ In jeder Zeile und jeder Spalte jedes Element genau einmal. Auch eine Form von Symmetrie. ◦ I S1 S2 M

16 Deckabbildungen: Ebenenspiegelungen an den Mittenebenen E1, E2, E3. kurz S1,S2,S3 räumliche Halbdrehungen an deren Schnittgeraden d1, d2, d3, kurz h1, h2, h3 räumliche Punktspiegelung am Mittelpunkt M, kurz PM Identität I Beim Würfel noch viel reichhaltiger: 48 Deckabbildungen

17 Die Mathematik studiert die unterschiedlichen Symmetrien
◦ I S1 S2 S3 h1 h2 h3 PM Literturhinweis. Keineswegs nur l‘art pur l‘art. Kristallklassen Die Mathematik studiert die unterschiedlichen Symmetrien bzw. symmetrischen Objekte anhand der zugehörigen Gruppen. mathematische Symmetrieforschung = Gruppentheorie

18 3 Schubsymmetrie Schm3, Schm4 Verschiebung um 2π entlang x-Achse führt Sinuskurve in sich über, Kosinuskurve auch, beide zusammen auch Beide zusammen sind auch achsen- und punktsymmetrisch. Treppe steht für räumliche Verschiebung, die man sich allerdings fortgesetzt denken muss (wie bei Escher) Eine Figur heißt schubsymmetrisch, wenn es eine nichtidentische Verschiebung gibt, die die Figur auf sich abbildet.

19 Johann Wolfgang von Goethe: Natur und Kunst
 Natur und Kunst, sie scheinen sich zu fliehen a Und haben sich, eh’ man es denkt, gefunden; b  Der Widerwille ist auch mir verschwunden, b Und beide scheinen gleich mich anzuziehen a  Es gilt wohl nur ein redliches Bemühen! a  Und wenn wir erst, in abgemessnen Stunden, b  Mit Geist und Fleiß uns an die Kunst gebunden, b  Mag frei Natur im Herzen wieder glühen a  So ist’s mit aller Bildung auch beschaffen e  Vergebens werden ungebundne Geister f  Nach der Vollendung reiner Höhe streben g  Wer Großes will, muss sich zusammenraffen e  In der Beschränkung zeigt sich erst der Meister, f  Und das Gesetz nur kann uns Freiheit geben g Johann Wolfgang von Goethe: Natur und Kunst Sonnett

20 Es gibt 7 verschiedene Klassen von Bandornamenten.
Sie alle kommen in der Kunst- geschichte vor. Musikalische Beispiele für Schubsymmetrien: Kanon, Fuge 1: nur Verschiebung 2: Verschiebung und Punktspiegelung 3: Verschiebung und Querspiegelung 4: Verschiebung und Längsspiegelung 5: Verschiebung und Schubspiegelung 6: Verschiebung, Längs-, Quer- und Punktspiegelung 7: Verschiebung, Quer- und Punktspiegelung

21 4 Paddelsymmetrie Am Bild demonstrieren Eine Figur heißt paddelsymmetrisch, wenn es eine Schubspiegelung gibt, die sie auf sich abbildet.

22 Verallgemeinerung Geometrie: Eine Figur heißt symmetrisch, wenn sie (als Ganzes) invariant ist gegenüber einer nichtidentischen Abbildung. Allgemein: Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn es invariant ist gegenüber einem (tatsächlichen) Prozess. Beispiele: Ein Gegenstand ist konstant, wenn er invariant ist gegenüber der verfließenden Zeit. Naturgesetze sind invariant gegenüber Zeit- oder Raum- änderungen. s. Nachfolgendes Bild aus dem Röchlingwerk in Völklingen Oder die berühmten Schönheitspflästerchen der Damen am französischen Hof im 18. Jahrhundert In der Realität ist Symmetrie meist nur ungefähr und ansatzweise vorhanden. Nicht selten sind Symmetriebrechungen ganz bewusst beigegeben. um besondere Effekte zu erzeugen.

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24 5 Strecksymmetrie Auch hier: Fortsetzung mitdenken Parallelität beachten Eine Figur heißt strecksymmetrisch, wenn es eine nichtidentische Streckung gibt, die sie auf sich abbildet. Schm5

25 Häufiges Stilmittel in Architektur und Kunst (Zentralperspektive)
Vereinzelt auch in Literatur und Musik Beispiele: Bolero von M. Ravel Geschichtenschachtelung Entdeckung der Zentralperspektive in der Renaissance, Fluchtpunkt als Streckzentrum

26 6 Schraubsymmetrie Eine Schraubung ist eine Kombination einer Drehung und einer Verschiebung (beide ≠ I), wobei Verschiebung und Drehachse parallel sind. Ein Objekt heißt schraubsymmetrisch, wenn es eine Schraubung gibt, die es auf sich abbildet.

27 Gewindeschraube, in der Projektion eine Sinuskurve, seit Antike bekannt und benutzt
Im zweiten Bild Streck-, Schraub-, Dreh- und Ebenensymmetrie Auch de Natur kennt Schrauben: Wachsen und Festhalten kombiniert sich zur Achraube

28 Archimedische Schraube zur Hebung von Wasser durch Drehen

29 7 Spiralsymmetrie Beispiel(?): aufgerolltes Seil Berühmtes Beispiel:
Nautilus Nautilus zeigen, Nautiloiden seit 500 Millionen Jahren, ökonomisches Wachsen des Tieres und entsprechender Weiterbau Fruchtstand der Sonnenblume(?)

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31 Eine Drehstreckung setzt sich zusammen aus einer Drehung und
einer zentrischen Streckung (beide ≠ I) mit demselben Zentrum. Eine (ebene) Figur heißt spiralsymmetrisch, wenn es eine Drehstreckung gibt, die sie auf sich abbildet. Eine Spiralschraubung setzt sich zusammen aus einer Drehstreckung und einer Verschiebung (≠ I) senkrecht dazu. Eine (räumliche) Figur heißt spiralschraubsymmetrisch, wenn es eine Spiralschraubung gibt, die sie auf sich abbildet.

32 Erklären, wie diese Bilder entstanden sind, vor etwa 25 Jahren mit PASCAL auf DOS-Ebene programmiert

33 Kugelspiralen als Linien gleicher Richtung (≠ N,S oder E,W)
Was assiert, wenn sie von der alten Schmelz aus immer nach NE gehen? Kugelspiralen als Linien gleicher Richtung (≠ N,S oder E,W) auf der Kugel

34 8 Verallgemeinerung Eine (ebene) Abbildung heißt affin, wenn sie Geraden in Geraden überführt und Teilverhältnisse invariant lässt. Alle bisher betrachteten Abbildungen sind affin. Eine affine Abbildung ist durch 3 Punkte und ihre Bildpunkte bestimmt. Beispiel: Mitte bleibt Mitte, Viertelpunkt Viertelpunkt usw. Konstruktion von P‘ und Q‘.

35 Ein IFS ist eine Schar von affinen Abbildungen, die auf eine Aus-
gangsfigur und dann fortgesetzt auf alle Bildfiguren angewendet wird. Diese Abbildungen sollen Kontraktionen sein, d.h. die Figuren jeweils verkleinern. Beispiel: Erläutern

36 P(x;y) → P‘(x‘;y‘) mittels x‘ = ax + by + c y‘ = dx + ey + f
Ifsdet ifsstoch Affine Abbildung z: P(x;y) → P‘(x‘;y‘) mittels x‘ = ax + by + c y‘ = dx + ey + f Beim Farn 4 Abbildungen z1,z2,z3,z4: a b c d e f z z z z An Analytische Geomtrie erinnern

37 9 Rückblick Warum ist Symmetrie in allen Bereichen so sehr verbreitet?
Gründe bei von Menschen geschaffenen Produkten: Ökonomie, Nützlichkeit, Ästhetik, Ermöglichen bewußter Symmetriebrechung Gründe in der unbelebten und belebten Natur: Ökonomie, Nützlichkeit → Durchsetzungsfähigkeit Prinzip der optimalen Wirkung (Synergetik) aber auch hier asymmetrische Lösungen, wenn sie besser sind

38 Literatur: Genz, H.: Symmetrie – Bauplan der Natur – München Piper 1992² Du Sautoy, M.: Das Geheimnis der Symmetrie – München: DTV 2008 Hildebrandt, St.; Tromba, A.: Panoptimum – Mathematische Grund- muster des Vollkommenen – Heidelberg: Spektrum 1987 Wille, R. (Hrsg.): Symmetrie in Geistes- und Naturwissenschaft – Berlin: Springer 1988 Schupp, H. (Hrsg.): Symmetrisieren – Der Mathematikunterricht 42 (1996)

39 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!