TEILCHENPHYSIK FÜR FORTGESCHRITTENE Peter Schleper Thomas Schörner-Sadenius Universität Hamburg, IExpPh Wintersemester 2005/06
ZIEL DER VORLESUNG blablabl UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
ORGANISATION DER VORLESUNG Ablauf: 4 Stunden Vorlesung: Dienstag 12:30-14:00, Freitag 10:30-12:00 2 Stunden Übung: Freitag 12:30-14:00, Rm 9/104 Scheinerwerb 1 Klausur (mit Nachklausur für Grippeopfer etc.) Jeweils 50% der Punkte aus der Klausur und aus den Übungen Beteiligung in der Übung UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
GLIEDERUNG DER VORLESUNG, TEIL I Hinführung zur Dirac-Gleichung Schrödinger, Klein-Gordon und Dirac Feynman-Regeln und –Graphen Herleitung mit Green-Funktionen Hinschreiben eines Matrix-Elements Berechnung des Wirkungsquerschnitts ee Flussfaktor, Lorentz-Invarianter Phasenraum, Matrix-Element Crossing und weitere QED-Prozesse Lepton-Hadronen-Streuung Symmetrien und Erhaltungsgroessen Ausblick: Renormierung Theorie jeweils unterfüttert mit experimentellen Ergebnissen! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
VORLESUNG, TEIL II (P. SCHLEPER) Eichprinzip Standard-Modell Higgs-Mechanismus Jenseits des Standard-Modells Supersymmetrie “Grand Unified Theories” … UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 Vorlesung “Physik V: Kern- und Teilchenphysik” Klanner, Scobel, DiFr 10:30-12:00, HSII Vorlesung “Teilchenphysik und Kosmologie” Buchmueller, DiDo 10:15-11:45, Rm 9/103 Proseminar “Grosse Entdeckungen und Nobelpreise der Teilchenphysik” Geiser, Hagner, Klanner, Zimmermann, Di 14:15-15:45, HSIII Vorlesung “Neutrino- und Astroteilchenphysik” Hagner, Zimmermann, Fr 14:00-15:30, HS III UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
TEILCHENPHYSIK IM WS05/06 Vorlesung “QCD und Colliderphysik” Jung, Mi 11:15-12:45, DESY 2a/Sm2 Vorlesung “Evaluating Feynman Integrals” Smirnov, Fr 10:15-11:45, DESY 1a, Sm1 Vorlesung “Beschleunigerphysik II” Rossbach, Do 13:30-14:00, HSIII UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
Hinführung zur Dirac-Gleichung KAPITEL 1 Hinführung zur Dirac-Gleichung UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE SCHRÖDINGER-GLEICHUNG (SGL) Teilchen/Welle-Dualität (Planck, de Broglie) Ebene Welle als Ansatz für freies Teilchen QM: Observable Operator (Eigenwertgleichungen) Energie/Impulsoperator Kinetische Energie laut klassischer Mechanik und “Übersetzung” in QM V ist Normierungsvolumen Eigenwertgleichungen mit den moeglichen physikalischen Messwerten als Eigenwerten. UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
ZEITUNABH. SGL, KONTINUITÄTSGL. Oft ist Potential V von Zeit t unabhängig Trennung der Orts- und Zeitvariablen: Physikalische Bedeutung von : Wahrscheinlichkeits(strom)dichte Konjugiert-komplexe SGL: Kontinuitätsgleichung: Der Stern * bedeutet hier die komplexe Konjugation! Ist der Hamilton-Operator hermitesch – oder was auch immer – oder warum ist H*=H? Kontinuitaetsgleichung: Wkeit erfuellt lokalen Erhaltungssatz! Fuer ein freies Teilchen: Was heisst hier die erste Gleichung? UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
KONTINUITÄTSGL. FÜR FREIES TEILCHEN Wahrscheinlichkeitsdichte der ebenen Welle hängt nicht vom Ort ab: Wahrscheinlichkeitsstromdichte ist das Produkt der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Geschwindigkeit Der Stern * bedeutet hier die komplexe Konjugation! Kontinuitaetsgleichung: Wkeit erfuellt lokalen Erhaltungssatz! Fuer ein freies Teilchen: UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG Motivation 1: Die SGL ist keine relativistische Wellengleichung – für die Teilchenphysik wollen wir aber sicher relativistisch rechnen. Motivation 2: Man will später die Lorentz-Invarianz der relativistischen Wellengleichung erreichen – aber SGL ist offenkundig NICHT invariant: Erste Ableitung in der Zeit, aber Zweite Ableitung im Ort! SGL nicht relativistisch, weil ncht manifest kovariant? Oder warum? Und was ist der Unterschied zwischen der ersten und der zweiten Motivation? UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE KLEIN-GORDON-GLEICHUNG Idee: relativistischer Zusammenhang zwischen Energie, Impuls und (Ruhe)Masse eines Teilchens: Nach Umsortieren ergibt sich die Klein-Gordon-Gleichung (KGGL) als relativistische Verallgemeinerung der SGL (für Spin-0-Teilchen): Annahme, dass die E/p-Operatoren auch im relativistischen Fall so aussehen, wie wir das eingefuehrt haben …. Energieterm enthaelt aber auch die Ruheenergie! KG ist relativistische Verallgemeinerung der SGL. Wellengleichung fuer relativistische Spin-0-Teilchen. Genannt phi zur Unterschiedung von Spin-1/2. UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
LÖSUNG DER KLEIN-GORDON-GL. Ansatz: Wieder ebene Wellen Einsetzen in KGGL: Wir finden also Lösungen mit NEGATIVER Energie unakzeptabel! Lösung positiver Energie / negativer Energie Aber: Beide Lösungen benötigt – sonst kein vollständiges System von Eigenfunktionen! Analogie: klassische Wellengleichung: Annahme, dass die E/p-Operatoren auch im relativistischen Fall so aussehen, wie wir das eingefuehrt haben …. Energieterm enthaelt aber auch die Ruheenergie! KG ist relativistische Verallgemeinerung der SGL. Wellengleichung fuer relativistische Spin-0-Teilchen. Genannt phi zur Unterschiedung von Spin-1/2. SGL: nur Wellenfunktionen der Form exp(-wt) sind Loesungen! Doppeldeutigkeit vermieden! Falls bei klassischer Wellengleihcung nur ein Term, dann keine stehende Welle oder Welle laeuft nur in einer Richtung! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
KGGL: KONTINUITÄTSGLEICHUNG Aus der KGGL und ihrem komplex-konjugierten folgt: Mit folgender Definition der W’keitsdichte … … folgt die Kontinuitätsgleichung in der bekannten Form. Aber: Warum jetzt rho hier anders definiert? Damit Konitinuitaetsgleichung formgleich ist????? Negative W’keit Mist!!!! Ausserdem: Positive Loesung: hqueromegha/mc2 1 also rho1 fuer nicht-rel Grenzfall. Faktor beruecksichtigt die relativistiche Volumenkontraktion. Muss hier nicht noch wenigstens ein kurzes Fazit oder so hin – also warum man schliesslich doch zur DGL gegangen ist und alles mit ersten Ableitungen probiert hat? Haengt das Problem in der KGGL eigentlich mit der Verwendung der zweiten Ableitungen zusammen? UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE DIRAC-GLEICHUNG Jetzt also nur erste Ableitungen – Ansatz von Dirac: Versuche damit, Energie-Impuls-Beziehung zu erfüllen. Es muss gelten: Diese Beziehung lässt sich nur mit komplexen Matrizen erfüllen! Hamiltonian H hermitesch j, hermitesch! j2=2=I Eigenwerte ±1. Matrizen haben alle Spur 0. Spur = Summe der Eigenwerte Dimension N muss gerade sein. N=2 bereits vergeben – die drei linear unabhängigen Pauli-Matrizen. Daher: N=4! Allgemein: Wellenfjuntione mit negativer Energie folgen in KGGL, weil zweite zeitliche Ableitung gefordert. Pauli suchte daher Gleichung, in der nur erste Ableitungen vorkommen. Dirac hat auch negative Loesungen Antiteilchen. Dirac ist die Beschreibung der fundamentalen Bausteine der Materie: Quarks und Leptonen – sie enthalet natuerlicherweise die Beschreibung von Spin-1/2-Teilchen. Hier noch mehr ueber die Eigenschaften der Matrizen sagen – Schmueser p5 unten. Rechnung p6 oben unklar! Definition hermitesch! Wieso dann Eigenwerte = +-1? Zeigen, dass diese alpha und beta die Bedingungen alle erfuellen! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE MATRIZEN i UND … nehmen folgende Gestalt an (ausprobieren!) Matrizen wirken als 4-dimensionale Operatoren auf Wellenfunktionen diese müssen 4-dimensionale Spaltenvektoren sein: Dirac-Spinoren! Rechts unten ist der hermitesch-konjugierte Spinor – klaeren, was das ist!!!!! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DGL UND KONTINUITÄTSGLEICHUNG Die Gleichung für den konjugierten Spinor lautet: Multiplikation der DGL für Dirac-Spinor von links mit +, der obigen Gleichung von rechts mit und Subtraktion: Das ist identisch mit der Kontinuitätsgleichung falls: Beachte die geaenderte Reihenfolge der Matrixmultiplikationen! Warum mache ich das so? Warum ist diese Dichte immer positiv? Das gefaellt mir nicht. Sollte man nicht eher einfach rho wieder definieren, j auch (wenn auch ein wenig hingediddelt) und dann zeigen, dass das wieder die Kontinuitaetsgleichung erfeullt? Also die Kontinuitaet als das zentraelere hinstellen als die genaue Definition von rho und j, die ja von modell zu modell wechseln? Beachte, dass diese Dichte immer positiv ist! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL I Betrachte freies, ruhendes Elektron. Wellenvektor Dann lautet die DGL: Diese Gleichung hat vier unabhängige Lösungen: Jetzt nichtrelativistischer Grenzfall: Zeitabhängigkeit ändert sich kaum im wesentlichen exp(- 0t) wie beim ruhenden e– mit leichter Abhängigkeit im Spinor: UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL II Ansatz mit langsamer Zeitabhängigkeit der Spinoren: Einsetzen in Dirac-Gleichung: Weiterhin: Für die Norm von gilt: Aus diesem Grund heisst ‘kleine’ Komponente des Spinors (für nicht- relativistische Elektronen). UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
NICHTRELATIVISTISCHER GRENZFALL III Die ‘grosse’ Komponente erfüllt die SGL eines freien Elektrons: UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
Spass mit der Dirac-Gleichung KAPITEL 2 Spass mit der Dirac-Gleichung UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
LORENTZ-VEKTOREN Konvention der Teilchenphysik: Messe Geschwindigkeiten in Einheiten von c und Wirkungen in Einheiten von Plancks Wirkungsquantum: Relativitistische Behandlung Gleichbehandlung von Raum- und Zeitdimensionen Vierervektoren! Verknüpfung durch den metrischen Tensor g: UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
RELATIVISTISCHE INVARIANZ DER DGL Bla UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DIE -MATRIZEN Die Gamma-Matrizen nehmen (in jedem Bezugssystem!) die folgende Gestalt an: De facto nehmen die Matrizen in jedem System die gleiche Gestalt an – werden also in einer Lorentztrafo nicht veraendert. Statt dessen werden die Spinoren transformiert. Dagger-Symbol erwaehnen, dass Kontraktion mit Gamma-Matrizen bedeutet! Zusammengefasst zu einem Vierervektor: Damit kann man die Dirac-Gleichung vereinfacht schreiben als: UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
SÄTZE ÜBER -MATRIZEN Vertauschungsrelationen: Ausserdem: De facto nehmen die Matrizen in jedem System die gleiche Gestalt an – werden also in einer Lorentztrafo nicht veraendert. Statt dessen werden die Spinoren transformiert. Dagger-Symbol erwaehnen, dass Kontraktion mit Gamma-Matrizen bedeutet! UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
KAPITEL 3 Feynman-Graphen UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
Berechnung des Wirkungsquerschnitts ee KAPITEL 4 Berechnung des Wirkungsquerschnitts ee UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II
DER PROZESS… … der uns einige Zeit beschäftigen wird: e–+e–+ e–(p1) (q) UHH, WS05/06 TSS, Teilchenphysik II