VU 325. 006, SS 2009 Grundlagen der Regelungstechnik 6 VU 325.006, SS 2009 Grundlagen der Regelungstechnik 6. Übungseinheit: Stabilität – Hurwitz- & Nyquist-Kriterium

Überblick Organisatorisches Zusammenfassung der relevanten Inhalte Definition Stabilität Hurwitz-Kriterium Allgemeines Nyquist-Kriterium Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Rechenaufgaben aus UE 6 A1: Hurwitz-Kriterium A2: Allgemeines Nyquist-Kriterium A3: Vereinfachtes Nyquist-Kriterium

Organisatorisches Nächste Woche 7. Übung 4.Hausübung Ersatztest Ab heute online Abgabe bis spätestens DI, 09.05.2009, 23:55 Ersatztest Nachholen eines versäumten Tests Wiederholung eines negativen Tests Termin 3 Vorschläge (Do 9.7., Mo 13.7., Mi 15.7.) Abstimmung im TUWEL bis 16.06. möglich 3 3

Stabilität Eine Übertragungsfunktion G(s) ist.. Asymptotisch stabil, wenn Alle Pole in der linken s-Halbebene sind  Re(pi) < 0 Grenzstabil, wenn Alle Pole in linker s-Halbebene + max. 1einfacher reeller Pol oder 1 konjugiert komplexes Polpaar auf Imaginärachse Instabil, wenn Mind. 1 Pol in rechter s-Halbebene oder mehrere reelle Pole bzw. konjugiert komplexe Polpaare auf Imaginärachse

Geschlossener Regelkreis Allgemeiner Eingrößenregelkreis: Führungsverhalten (Z=0): Störverhalten (W=0):

Geschlossener Regelkreis Standardform mit Einheitsrückführung: Führungsverhalten (Z=0): Störverhalten (W=0): Charakteristisches Polynom:

Stabilitäts-Kriterien Stabilitätsnachweis für geschlossenen Regelkreis (RK) Betrachtung des offenen RK Charakteristisches Polynom: Charakteristische Gleichung: Nullstellen von P(s)  Pole des geschlossenen RK!

Hurwitz-Kriterium Basiert auf charakteristischer Gleichung: Notwendige Bedingung für asymptotische Stabilität: Hinreichende Bedingung für asymptotische Stabilität: Mit der Hurwitz-Matrix: H1 H2 H3

Aufgabe 1: Hurwitz-Kriterium Geg: Aufgabe: Ermittlung des stabilen Bereichs für K mithilfe des Hurwitz-Kriteriums 9

Aufgabe 1 - Zusammenfassung Stabilitätsnachweis mithilfe des Hurwitz-Kriteriums Berechnung des charakteristischen Polynoms P(s) Ordnen nach Potenzen von s Überprüfen der Notwendigen Bedingung Aufstellen der Hurwitz-Matrix Berechnen der Hurwitz-Determinanten H2-Hn-1 Angabe des stabilen Bereichs 10

Allgemeines Nyquist-Kriterium Satz von Cauchy Abbildung einer Kontur in s-Ebene in die F(s)-Ebene Kontur in s-Ebene Umschließt P Pole & N Nullstellen von F(s), im Uhrzeigersinn durchlaufen Kontur in F(s)-Ebene Umkreisung des Ursprungs U=N-P mal im Uhrzeigersinn Nyquist Kontur: positive s-Halbebene Abbildungsfunktion: Pole von F(s): Pole von Go (bekannt) Nullstellen von F(s): Pole des geschlossenen RK! Für Stabilität: N=U+P=0

Allgemeines Nyquist-Kriterium Wahl einer geeigneten Kontur in s-Ebene Abbildung der positiven Halbebene Keine Pole oder Nullstellen dürfen durchlaufen werden

Allgemeines Nyquist-Kriterium Abbilden der Kontur in die Nyquist-Ebene Alternative Abbildungsfunktion Positive Imaginärachse: G(s = jw)  Ortskurve Negative Imaginärachse: G(s = -jw)  Ortskurve um reelle Achse gespiegelt Kreis mit r  ∞ bei n>m Kreis im Ursprung mit e  0 weil nur bei Integrator nötig! Betrachtung der Umkreisungen von -1+0j !!

Aufgabe 2: Allgemeines Nyquist-Kriterium Geg: Aufgabe: Geeignete Kontur in s-Ebene wählen Ortskurve zeichnen, (Endwerte & Schnittpunkte) Nyquist-Kontur zeichnen, Kkrit bestimmen 14

Aufgabe 2 - Zusammenfassung Anwendung des allgemeinen Nyquist-Kriteriums Pole & Nullstellen von Go berechnen Geeignete Kontur in s-Ebene wählen Berechnen von Re & Im von Go Berechnen der Anfangs- & Endwerte von Re & Im Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0  wkrit Re(wkrit) Zeichnen der OK Vervollständigen der Nyquist-Kontur Bestimmen des stabilen Bereichs Fallunterscheidung für Kkrit Zählen der Umrundungen für jeden Abschnitt 15

Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Vorraussetzungen für die Anwendbarkeit Go hat nur Pole in der linken Halbebene + max. 1 Pol im Ursprung Nennergrad n > Zählergrad m (von Go) Ortskurve endet im Ursprung! Wenn diese Bedingungen erfüllt  P = 0 Stabilität durch zeichnen der OK überprüfbar! 16

Aufgabe 3: Vereinfachtes Nyquist-Kriterium Geg: Aufgaben: Bedingungen für vereinfachten Nyquist Stabilen Bereich für K mit vereinfachtem Nyquist Amplituden & Phasenreserve für K=1 & K=Kkrit 17

Aufgabe 3 - Zusammenfassung Anwendung des vereinfachten Nyquist-Kriteriums Überprüfung der Voraussetzungen Berechnen von Re & Im von Go Berechnen der Schnittpunkte der OK mit Re-Achse Im = 0  wkrit Auswerten des Stabilitätskriteriums Re(wkrit) > -1  Kkrit Bestimmen des stabilen Bereichs 18

Amplituden- & Phasenreserve Amplitudenreserve Phasenreserve 19

Nächste Übung: Mi, 03.06.2009