Bildtransformationen 4 Bildtransformationen “New worlds, new opportunities, new challenges.”
Bildtransformation Transformation der Bildinformation in eine neue Darstellung Ausnutzen bestimmter Eigenschaften der Darstellung zur Bildverarbeitung oder -analyse Rücktransformation der Darstellung in den Bildbereich
Bildtransformation Unitäre Bildtransformationen Fourier Transformation Cosinus Transformation Walsh-Hadamard Transformation Haar Transformation ... Parametrische Bildtransformationen Hough Transformation Radon Transformation
Wichtige Anwendungsgebiete Allgemein Dimensionsreduktion Dekorrelation Speziell Bildfilterung Filterung im Frequenzraum Bildkompression JPEG, etc Bildmerkmale für Mustererkennung & Klassifikation z.B. Objekterkennung, Gesichtserkennung
Fourier-Reihen Erstpublikation 1807, Buch 1822 Übersetzung auf Englisch in 1878 Darstellung von (praktisch) jeder periodischen Funktion mit Periode T als eine (ggf. unendliche) Summen-Reihe von gewichteten Sinus und Cosinus Wellen Verlustfreie, invertierbare Transformation
Fourier-Reihe
Fourier-Reihe für 0 < t < T für n ≥ 1 Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen an und bn einbezogen Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER sin & cos Wellen
Fourier-Reihe
Beispiel Rechteck-Signal
Beispiel Sägezahn-Signal
Fourier-Reihe
Fourier Transformation ALLE Werte der Funktion f(x) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen
Fourier Transformation Fourier Transformierte ist komplex Aufspaltung in Betrag und Phase “Spektrum” “Phase”
Fourier Transformation Beispiel
Impuls & sinc
2D Fourier Transformation
Abtastung Abtastungsgröße
Diskrete Fourier Transformation
Diskrete 2D Fourier Transformation
“Amplituden Spektrum” Fourier Spektrum Eine diskrete 2D Matrix mit M x N Werte (= digitales Bild) wird in eine M x N Matrix mit komplexen Fourier-Koeffizienten transformiert Jeder dieser komplexen Fourier Koeffizienten läßt sich in Polarkoordinaten ausdrücken: “Amplituden Spektrum” “Phasen Spektrum”
Fourier Spektrum N x M Pixel N x M Frequenzen real komplex Bild Spektrum Jeder Eintrag in dem Spektrum definiert eine Cosinus-Welle Amplitude = Höhe einer Welle (=„Wichtigkeit“) Phase = Verschiebung der Welle zum Ursprung Abstand zum Mittelpunkt = Frequenz der Welle Ausbreitung = Verbindungsgerade zum Mittelpunkt
Fourier Wellen Fourier-Bereich: ALLE Werte der Funktion f(t) werden bei der Berechnung von dem jeweiligen F(w) einbezogen! ALLE Funktionswerte werden bei der Berechnung JEDER Welle berücksichtigt Ortsbereich: An jeder Stelle ergibt sich der Funktionswert durch die Überlagerung ALLER Wellen! JEDE Welle ist ÜBERALL im Bild aktiv
Fourier Wellen
Fourier Wellen
Fourier-Wellen
Fourier-Wellen
Fourier-Wellen
2D Fourier Transformation
Spektrum-Abtastdichte Relation
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Eigenschaften Translation
Eigenschaften Rotation
die DFT eines Bildes ist symmetrisch Eigenschaften Periodizität die DFT eines Bildes ist periodisch Symmetrie die DFT eines Bildes ist symmetrisch
Eigenschaften Separierbarkeit Transformation Transformation der Zeilen der Spalten
Eigenschaften F(0,0) beinhaltet den MxN skalierten Mittelwert des Bildes (i.d.R. ziemlich großer Wert) Linearität:
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Fourier Spektra
Translation & Rotation: Power
Translation & Rotation: Phase
Manipulation des Fourier Spektrums Amplitude Amplitude Phase
Manipulation des Fourier Spektrums Amp = 1 Phase = Frau Phase Amp = Frau Phase = 0 Amp = Rechteck Phase = Frau Amp = Frau Phase = Rechteck
Bildtransformation Fourier Transformation Transformierte repräsentiert Bildfrequenzen (Manipulation) Transformierte komplex (Spektrum & Phase) Fließkomma Koeffizienten Transformierte redundant (Symmetrie) Suche nach anderen Transformationen zur geeigneten Informationsdarstellung
Parametrische Transformation Darstellung der Bildinformation anhand von veränderten Ortsraumparametern, z.B. Transformation ist nicht zwingend orthogonal (in der Regel nicht invertierbar) Bestimmte Informationen sind in der transformierten Darstellung einfacher abzulesen
Radon Transformation Orthogonale Projektion des Bildes bezüglich des Bildmittelpunktes in Abhängigkeit des Winkels
Radon Transformation
Radon Transformation
Radon Transformation
Radon Transformation
Radon Transformation
Unitäre Bildtransformation Definition einer separablen & symmetrischen Transformation Bild Spaltentransformation Zeilentransformation Transformiertes Bild Orthonormalität
Unitäre Bildtransformation Basisbilder (2D Basisvektoren) Ein Bild läßt sich als Linearkombination der mit den Transformationskoeffizienten gewichteten Basisbilder darstellen
Beispiel: Basisbilder des 8x8 Bildraums , = Lege jede Maske über das Bild Multipliziere Maske & Pixel paarweise Addiere alle Teilergebnisse zu einer Zahl Trage diese an der Masken-Position im transformierten Bild => ALLE Pixel des Originals tragen an JEDER Stelle des transformierten Bildes bei!
Walsh-Hadamard Transformation Reelle Transformation Schnell (Addition/Subtraktion) Implementierung mit ganzzahligen Koeffizienten möglich Befriedigende Datendekorrelation
Walsh-Hadamard Transformation
Haar Transformation Reelle Transformation Schnell Ortsinformation bleibt teilweise erhalten Mäßige Datendekorrelation
Haar Transformation
Cosinus Transformation Reelle Transformation Pseudofrequenzdarstellung (DCT ist nicht der Realteil der DFT!) Exzellente Datendekorrelation Effiziente SW, beschleunigte HW
Cosinus Transformation