Energieniveaus der Hüllenelektronen 2. Wellenoptik 2.1. Kohärenz Kohärenz  Interferenzfähigkeit (fast) monochromatischer Lichtwellen  Maß der Phasenkorrelation Energieniveaus der Hüllenelektronen 2.1.1. Zeitliche (bzw. longitudinale) Kohärenz E E0 Grundzustand: Lebensdauer  E1 angeregter Zustand: Lebensdauer  e atomare Übergänge  Emission von Licht-Wellenpaketen (Photonen)  E1 Photon,  = 2   Quantenmechanik  Energieunschärfe 

 Emittierter Wellenzug (fester Ort): Fourier- Transformation t0 Unschärferelation 0 unendlich scharfe Frequenzlinie  unendlich langer Wellenzug unendlich kurzer Lichtpuls  unendlich breites Frequenzspektrum

Mathematische Fassung des Kohärenzmaßes: 0 Strahl 1 Strahl 2 Korrelationsfunktion: Anschauliche Formulierung: In Kohärenzzeit  tK laufen Strahlen 1, 2 in der relativen Phase um 2  auseinander  weitgehende Phasenmischung des Wellenpakets. Die Kohärenzlänge  l ist der Gangunterschied (Abstand phasen-gleicher Punkte) zwischen Strahlen 1, 2, der in Kohärenzzeit auftritt.  Länge des kohärenten Wellenzuges

e Beispiele: Weißes Licht:   400  700 nm   550 nm Quecksilberdampflampe, grüne Spektrallinie:   546 nm    0,025 nm Laser (Light Amplification by Stimulated Emittion of Radiation) E E0 Grundzustand:    E1 metastabiler Zust.    e Spontane Emission Induzierte Emission CO2-Laser:   10,6  m,    105 nm   l  11 km

2.1.2. Räumliche (bzw. laterale) Kohärenz phasenkorreliert, longitudinal kohärent interferenzfähige Strahlen Überlagerte, verwaschene Interferenzmuster ausgedehnte Lichtquelle interferenzfähige Strahlen Kohärenzfläche  Fläche senkrecht zur Ausbreitungsrichtung mit relativen Phasenmischungen      bzgl. Interferenzpunkt. Kohärenzvolumen  Volumen mit lateraler und longitudinaler Phasenmischung      bzgl. Interferenzpunkt. Kohärenz-flächen ideale ebene Welle  ideale Kugelwelle 4  r2 reale Quelle Beispiel: Sonne Beteigeuze (Orion) Kohärenz-fläche

ausgedehnte Lichtquelle Beispiel: r Interferometer P1 A   s  l B P ausgedehnte Lichtquelle P2 Schirm Völlige Ausschmierung des Interferenzbildes in P: B:    0  maximale Helligkeit in P , wobei A:      Auslöschung in P , d.h. Kohärenzbreite: Kohärenzfläche:    Raumwinkel der Lichtquelle vom Interferometer aus gesehen

 2.1.3. Erzeugung kohärenter Wellen L1 L L2 Phasenstarre Sender: Strahlteilung: Virtuelle Mehrfachbilder einer Quelle: L L1 Inter-ferenz L2

2.2.1. Zweistrahlinterferenz Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen 2.2.1. Zweistrahlinterferenz Interferenzbild: zeitliches Mittel Tafelrechnung 

Folgerungen: Nur Anteile gleicher Polarisation interferieren; Bemerkung: Überlagerung inkohärenter Strahlen

Beispiel 1: Youngscher Doppelspalt  2 punktförmige kohärente Lichtquellen l ,  enger Spalt  Punktquelle Doppelspalt, l ≫ Spaltbreiten  2 Punktquellen Schirm x y  .     y I(y) 4 I0

Einschub x z Phasensprünge bei Reflexion   n1 n2  n1 reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z B: Brewster-Winkel  0 90 B R  E,x Einschub  0 90 B R   0 90 B R  E,z E

Einschub x z Phasensprünge bei Reflexion   n1 n2  n1 reflektierter Teilstrahl Strahlebene transmittierter Teilstrahl x z B: Brewster-Winkel C: kritischer Winkel (Totalreflexion)  0 90 B R C E,x Einschub   0 90 B R  C E,z  0 90 B R  C E

Beispiel 2: Das Michelson-Interferometer  Siehe Relativitätstheorie Beispiel 3: Der Lloyd-Spiegel I(y) Schirm l ,  y s ≫ l Spiegel Punktquelle Spiegelbild: virtuelle Punktquelle Doppelspalt Phasensprung bei Reflexion (streifender Einfall)

Einsetzen in Doppelspalt-Formel  Beispiel 4: Das Fresnelsche Biprisma I(y) y n O l d ≫ Basislänge s ≫ l  Einsetzen in Doppelspalt-Formel 

I0 I1  I2 D d n I3 A C   B Beispiel 5: Planparallele Platte Fresnel-Formeln  Intensitätsreflexionskoeffizienten oft ≪ 1  Linse I2 D d n n0 = 1 I3  A C   B zu vernachlässigen  Zweistrahlinterferenz Tafelrechnung  Gangunterschied  relativer Phasensprung der Reflexionen in A und B Maxima:  m Minima:  (2m+1) m ℤ

R d r Licht,  Beispiel 6: Newtonsche Ringe ① ② sphärische Linse, Diapositiv … R d relativer Phasensprung  d Glasscheibe r Tafelrechnung  Gangunterschied Maxima: Minima: r I Transmission  komplementäres Muster Reflexion: I2  I1 = R I0  starker Kontrast Transmission: I2  R2 I1  I1  schwacher Kontrast

Gangunterschied benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge 2.2.2. Vielstrahlinterferenz Gut reflektierende Grenzschichten  Mehrfachreflexionen relevant Beispiel 1: Planparallele Platte (verspiegelt), d.h. R nicht ≪ 1 B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3   A0 A1 A2 d n0 = 1 A4 D3 D2 D1 2.2.1. Beispiel 5  Gangunterschied benachbarter Strahlen ohne Phasensprünge Amplitudenbeträge: k  ℕ

B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3   A0 A1 A2 d A4 D3 D2 D1 Phasensprünge: A2A3A4: je zusätzlich 2 identische Reflexionen  R  0 Polarisation : A0A1: R   A0A2: R  0 Polarisation  und  B: A0A1: R  0 /  A0A2: R   / 0 Polarisation  und  B: A0A1: R   / 0 A0A2: R  0 /  Generelles Resultat: A1 A2 A3 A4 A5  R   R  0

Tafelrechung  Reflektierte Gesamtintensität: B1 B2 B3 C3 C2 C1 n A3   A0 A1 A2 d n0 = 1 A4 D3 D2 D1 Airy-Formeln mit R  0 R  1 

 Airy-Formeln R  0.1 R  0.5 R  0.9 Halbwertsbreite der Transmissionsfenster:

Variante: Fabry-Perot-Interferometer (FPI)  höchstauflösende Spektroskopie (-Messung) d Quarz Antireflex-Beschichtung (Vergütung) 50 nm Ag-Schicht (aufgedampft)  wie planparallele Platte mit n  1 („Luft-Platte“)

(freier Spektralbereich) Frequenzmessung bei punktförmiger Quelle: n d L1 L2 Quelle Detektor Transmissions-Maxima: Frequenzabstand zweier Maxima: (freier Spektralbereich) Halbwertsbreiten der Maxima: Frequenzauflösung: Finesse: Anschauliche Bedeutung: Zahl der interferierenden Teilwellen

 FPI d L1, f1 L2, f2 f1 f2 Frequenzmessung bei ausgedehnter Quelle: Detektor f1 f2 Transmissions-Maxima: konzentrische Ringe mit Radius f2 tan m (bei festem ) in Detektorebene Dm

Dm Ringnummerierung von innen: mit Exzess: 1 2 3 4 

 n1 n2 n3 Beispiel 2: Dielektrische Spiegel Metallspiegel  starke Absorption von e.m.-Wellen in Metallen typische Werte: R  0,90  0,95 Dielektrische Spiegel: R  0,99995 erreichbar (für feste )  1m Glassubstrat ≫  n3  n1 n2 1520 aufgedampfte Schichten, alternierende Brechungsindizes Schichtdicken Computer-optimiert für Wellenlänge  reflektierte Strahlen kohärent und konstruktiv interferierend (nicht absorbierend)

 Beispiel 3: Vergütung (Antireflexschicht) Ziel: Beseitigung von Reflexen bei Brillen, Objektiven, Elementen in komplexen optischen Aufbauten (Laborexperimente) Methode: „Inverser“ dielektrischer Spiegel Vielschichtvergütung  Reflexbeseitigung in breitem -Bereich (z.B. sichbares Licht) Einfachster Fall: Einschichtvergütung für feste Wellenlänge  Glas n2  n1   n1 Auslöschung Verifikation  Übung

2.3. Beugung Voraussetzung: Interferenz von Strahlen aus einem Kohärenzvolumen Skalare Theorie ohne Polarisations- effekte 2.3.1. Kirchhoffsche Beugungstheorie z x y Blende bei z  0 S P Sender Empfänger D d   Auslaufende Amplitude ( Überlagerung von Kugelwellen) (x,y)  Durchlässigkeit der Blende; oft   1 Einlaufende Amplitude für eine Punktquelle

Einfallende ebene Welle ( unendlich weit entfernte Punktquelle): z x y z  0 d   P Wellenfront Spezialfall: Senkrecht einfallende ebene Welle 

Fraunhofer-Beugung: Quelle & Empfänger im Unendlichen mathematisch präzise: D  Abstand Quelle / Blende d  Abstand Blende / Detektor   max. Blendendurchmesser   Wellenlänge des Lichts   Experimentelle Realisierung: L2 L1 Schirm / Detektor Quelle Blende Taylorentwicklung: Oft ist   0,  ≪ 1 

zP zS Fresnel-Beugung: Quelle oder Empfänger nahe an der Blende mathematisch: D  Abstand Quelle / Blende d  Abstand Blende / Detektor   max. Blendendurchmesser   Wellenlänge des Lichts experimentell erzeugbar ohne Linsen a) Nahzone Bild: ebene Welle zP Blende Schirm Beugungsbild  b) Nahzone Quelle: zS Blende Beugungsbild  im Unendlichen

keine Ablenkung in y-Richtung 2.3.2. Beugung am Spalt ( Fraunhofer-Grenzfall ) b a) unendlich ausgedehnt in y  1-dimensionales Problem b x ≪ 1 x keine Ablenkung in y-Richtung Tafelrechnung  mit I u  2  2 u Breite: b klein  breites Beugungsbild b ≫   geometr. Optik, I(u)  (u)

b) Rechteckspalt by  analoges Resultat in zwei Dimensionen bx  mit

Fraunhoferbeugung an Dreiecksblende

d) Lochblende drehsymmetrisches Beugungsbild  o.B.d.A.   y , x  0 x y R Tafelrechnung  mit Besselfunktionen: „Winkelfunktionen” (sin, cos) für Polarkoordinaten ( nℤ, uℂ\],0] ) ( nℝ\{1,2,} ) asymptotisch ( u   ):

Die ersten Besselfunktionen J0 J1 J2 J3 J4 u Die ersten Besselfunktionen

I u u1 u2 u3 I0 mit Breite des Hauptmaximums: u

2.3.3. Beugung am Gitter ( Fraunhofer-Grenzfall ) d N Spalte Tafelrechnung  b x ≪ 1 x d Beugung am Einzelspalt N-Strahl-Interferenz der N Einzelspalte (analog Fabry-Perot) mit

Ordnung der Hauptmaxima a) b  0: Reine N-Strahl-Interferenz Ordnung der Hauptmaxima N  2 Neben-maxima 2 1 1 2

Modulationsfunktion  Beugungsmuster des Einzelspalts b) b  0: Interferenz der Beugungswellen der N Spalte Modulationsfunktion  Beugungsmuster des Einzelspalts

Linientrennung (  Auflösungsvermögen für Wellenlängenmessung )  Trennung benachbarter Hauptmaxima: Breite eines Hauptmaximums:

2.3.4. Die Fresnelsche Zonenplatte Fresnelbeugung quantitativ  blinde Numerik per Computer hier: semiquantitative Betrachtung  physikalisches Verständnis z S P R r   n n n Definition: Die n-te Fresnel-Zone ist der Ring mit   n1  n  (wobei 0  0), für den die Strahlen von S gerade einen maximalen Gangunterschied von 2 besitzen. oder kurz:

konstant (  unabhängig von n ) z S P R r   n n n S1 S2 S3 S4 Fläche der n-ten Zone: konstant (  unabhängig von n )

S1 S2 S3 S4 n1 n1 n1 z S P R r  

 E1 n1 n1 n1 z S P R r   alternierende Amplituden R r    E1 alternierende Amplituden mit n langsam abnehmende Beträge

Abdeckung S1: Poisson-Fleck 2 3 4 5 6 7 8 9 Grenzwert Folgerungen: Volle Apertur: Lochblende S1: Lochblende S1  S2: Abdeckung S1: Poisson-Fleck

Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Grenzwert Fresnelsche Zonenplatte: Abdeckung von S2, S4, S6,   konstruktive Interferenz der offenen Zonen, R    Brennweite f  r wobei  Hauptbrennpunkt: Wichtige Anwendung: Röntgenlinsen

Zonenplatte aus Germanium  Röntgenlinse Randbereich äußere Ringe  30 nm breit Zentrum

2.3.5. Das Babinetsche Prinzip Blende Zwei komplementäre Blendenöffnun-gen erzeugen identische Beugungsbil-der in allen Raumbereichen, die vom einfallenden Licht bei Abwesenheit der Blenden nicht beleuchtet werden. P komplementäre Blende Lichtwelle P Beweis: Superpositionsprinzip  q.e.d.

3.3.6. Räumliches Auflösungsvermögen optisches System I g P2 Aperturblende ( Eingangspupille ) D S1 P1   G S2 2 Quellpunkte H1 H2 Bildebene Rayleigh-Kriterium: S1 und S2 heißen gerade noch auflösbar, wenn das Hauptmaximum des Beugunsscheibchens von S1 im ersten Minimum des Beugungsscheibchens von S2 liegt. I  Winkelauflösung: Ortsauflösung: Gute Auflösung erfordert kleine Wellenlänge und große Aperturöffnung

Beispiel: Das Fernrohr Stern 1  D Okularlinse Filter  Stern 2 Objektivlinse Beispiel: Das Auge Pupille: D  1  8 mm Linse: f  24 mm   0,4  0,7 m Beugungsscheibchen: ( Lichtrezeptoren (Stäbchen) haben tatsächlich etwa diesen Abstand voneinander ) Deutliche Sehweite:

 Lichtstärke des Objektivs Beispiel: Das Mikroskop S1 S2 G g  f Objektivlinse, f D Immersionsöl, n Zwischenbildebene b  t  Tubuslänge Okular (Lupe) Objektebene  0 Numerische Apertur  Lichtstärke des Objektivs Faustregel: Prinzipielle Grenze der Auflösung bei  ½ 

2.3.7. Abbesche Theorie der Abbildung Bildebene S1 S2 Doppelspalt d g Aperturblende D P2 P1 H1 H2 optisches System  0. Ordnung 1. Ordnung 1. Ordnung Wann sind die Doppelspalte noch als zwei Spalte auflösbar? 1. Fall: Aperturblende lässt nur 0. Beugungsordnung durch  heller, strukturloser Fleck  kein Interferenzmuster  d nicht messbar. 2. Fall: Aperturblende lässt mindestens auch 1. Beugungsordnung durch  charakteristisches Interferenzmuster  d messbar.

 identisch mit Rayleigh-Kriterium! Anwendung der Abbe-Theorie auf Scheibchen des Durchmessers Gmin: 1. Ordnung 0. Ordnung 1. Ordnung Gmin  identisch mit Rayleigh-Kriterium!

2.4. Instrumente und Methoden 2.4.1. Spektrographen  Messung von I() Begriffe: Interferometer: -abängige Transmission (z.B. Fabri-Perot-Interferometer) Spektrograph: räumliche Trennung verschiedener Wellenlängen z.B. Prismenspektrograph: -abhängige Brechung z.B. Gitterspektrograph: -abhängige Beugung Monochromator: Spektrograph mit Selektionsspalt  sehr viele Typen und Varianten

1 x  n b f Prinzip des Prismenspektrographen: 1 2 x Licht-quelle Spalt Basislänge des ausgeleuchteten Prismas b 1 Schirm / Detektor x Geometrische Optik VL  (symmetrischer Strahlengang)

Prinzip des Gitterspektrographen ( hier: Strichgitter ): Licht-quelle Spalt Gitter Strichabstand d f x m Hauptmaximum, m-te Beugungsordnung Schirm / Detektor 1 2 xm Kap. 2.3.3. 

Eintrittspupille (  Strahlbreite ) 2.4.2. Spektrales Auflösungsvermögen Problem: Für welches  sind die Bilder der Wellenlängen 0 und      gerade noch trennbar?  Verwende Rayleigh-Kriterium! I  Bild für 0 Beugungsbild  D Beugung an Eintrittspupille D Bild für  Der maximale optische Gang-unterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellen-länge verschoben. Eintrittspupille (  Strahlbreite ) Hauptmaximum L0 erstes Minimum L  L0   

Spektrales Auflösungsvermögen: I  Bild für 0 Der maximale optische Gangunterschied L interferierender Strahlen ist im ersten Minimum gegenüber dem Hauptmaximum um eine Einheit in der Wellenlänge verschoben Bild für  Folgerung: Beachte: Spektrales Auflösungsvermögen:

n b Spektrales Auflösungsvermögen: Beispiel: Prismenspektrograph  Strahlengang der geometrischen Optik bei Wellenlänge 0  Hauptmaximum  2 Fermatsches Prinzip  L0  L20 Wege (1,2) im Prisma nicht gemäß geometrischer Optik (Beugung) Spektrales Auflösungsvermögen des Prismenspektrographen:

. Spektrales Auflösungsvermögen: Gitter mit N Strichspalten, Strichabstand d Strahlengang der geom. Optik ( L  0 ) m-tes Beugungs-Maximum des Gitters bei 0 Nd m . L Beispiel: Gitterspektrograph Ablenkungsrichtung m fest Spektrales Auflösungsvermögen des Gitterspektrographen mit N ausge-leuchteten Spalten in Beugungsordnung m

2.4.3. Holographie Objekt (  Motiv ) Foto: Streu-/ Reflexionslicht inkohärente Lichtquelle Objektiv-Linse Fotoplatte / Film / Netzhaut in (x,y)-Ebene I(x,y)  Schwärzung des Negativs Erregung der Lichtrezeptoren Ein Foto stellt eine zweidimensionale Projektion des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist verloren. (  Auswege: Stereoskopische Fotographie; belebte Natur: Beobachtung durch mindestens zwei Augen )

Streu-/ Reflexionslicht kohärente Lichtquelle ( Laser ) Hologramm: Strahlteiler Objekt  Streu-/ Reflexionslicht kohärente Lichtquelle ( Laser ) Referenz-Welle Objektwelle ( eine harmonische Komponente ) x y z Erfassung der dritten Dimension:   relative Phase zwischen Referenz- und Objektwelle I(x,y,) Schwärzung Fotoplatte in (x,y)-Ebene Ein Hologramm stellt eine dreidimensionale abstrakte Codierung des Objekts dar. Die dreidimensionale Information ist in dem Interferenzmuster von Referenz- und Objektwelle verborgen. Das Bild ist keine optische Abbildung.

Entfernungsinformation  dritte Dimension x y z Referenz-Welle I(x,y,) Objektwelle Referenzwelle: Objektwelle: Nomenklatur: Schwärzungsgrad der Fotoplatte  Energiestromdichte I(x,y): Interferenzterm Entfernungsinformation  dritte Dimension

 I Beispiel: Hologramm eines ebenen Spiegels Spiegel Strahlteiler kohärente Lichtquelle (Laser) Referenz-Welle Objektwelle (ebene Welle) x y z Fotoplatte in (x,y)-Ebene I d Das Hologramm eines ebenen Spiegels ist ein Sinus-förmiges Beugungsgitter.  Technische Anwendung

 I Beispiel: Hologramm einer Punktquelle d ≫  Referenzstrahl Symmetrie  Interferenzbild = f()  I Referenzstrahl vom Strahlteiler Lochblende  Punktquelle transparenter Film in (x,y)-Ebene  Fresnel-Zonen Das Hologramm einer Punktquelle ist ein ,,Sinus-förmige” Fresnel-Zonenplatte.  Technische Anwendung

Bemerkungen: Jeder Punkt des Hologramms enthält Informationen von dem gesamten, von diesem Punkt sichtbaren Teil des Objekts Größere Fotoplatte  mehr ,,Rundum-Information” Größere Fotoplatte  mehr ,,Speicherfläche” pro Objektpunkt  höhere Auflösung Intensität der Objektwelle ist unkritisch: Beispiel:  Kontrast des Interferenzbildes:

 Rekonstruktion eines dreidimensionalen Bildes von einem Hologramm: Rekonstruktions-Welle  0. Beugungs-Ordnung Laser Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) Rekonstruktionswelle: Transmission: Schwärzungskoeffizient Transmission des unbelichteten Films

 1. Beugungs-Ordnung virtuelles Bild Transmissionswelle: Rekonstruktions-Welle  0. Beugungs-Ordnung -1. Beugungs-Ordnung reelles Bild Laser Hologramm in (x,y)-Ebene Transmission T(x,y) durchlaufende Referenzwelle virtuelles Bild (a) reelles Bild (b) (a)  Objektwelle in Richtung  virtuelles Bild (b)  zeitlich rückwärts laufende Objektwelle in Richtung  reelles Bild