Approximation von Nullstellen: Newtonverfahren

Inhalt: Das Problem Allgemeine Iterationsverfahren Newton-Verfahren Anschauliche Deutung Konvergenz Kontraktionssatz Konvergenzgüte Quadratische Konvergenz Startwert x(0) Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Geometrische Deutung Mehrfache Nullstellen

Das Problem in einem normiertem Vektorraum (X,║∙║) eine Lösung der Operatorgleichung F(x)=0 zu finden. F Abbildung F: D →X, D  X; Nullstelle ξ von F Nur in seltensten Fällen lässt sich Lösung in endlich vielen Schritten bestimmen.

Allgemeine Iterationsverfahren Sei x  R. Für die Abbildung F: D→R betrachten wir x = F(x) zu deren Lösung der Iterationssatz x(k+1) = F(x(k)), k  N, mit vorgegebenem Anfangselement x(0) gebildet wird.

Allgemeine Iterationsverfahren Zur Betrachtung des Iterationssatzes nehmen wir die Existenz einer Lösung ξ der Gleichung x = F(x) an. Später: Frage der Existenz wird gleichzeitig mit der Frage der Konvergenz des Iterationsverfahrens beantwortet.

Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung F  C[a,b] Beispiel1: Alternierend konvergent a x(0) x(2) ξ x(3) x(1) b

Allgemeine Iterationsverfahren Anschauliche Deutung F  C[a,b] Beispiel2: Divergent a x(2) x(1) x(0) ξ b

Allgemeine Iterationsverfahren Konvergenz Iteration konvergiert gegen Lösung ξ, falls limk→∞ x(k) = ξ gilt.

Allgemeine Iterationsverfahren Hinreichende Konvergenzaussage nehmen an, dass (X,║∙║) ein Banachraum und F: X→X, und Operator F ist kontrahierend d.h. ║F(x) – F(z)║≤α║x - z║ mit α<1 für alle Elemente x,z  X.

Allgemeine Iterationsverfahren Kontraktionssatz Ist F: X→X eine kontrahierende Abbildung, so besitzt sie genau einen Fixpunkt ξ = F ξ. Die Iteration konvergiert bei beliebigem x(0) gegen diesen Fixpunkt.

Allgemeine Iterationsverfahren Lokale und globale Konvergenz Konvergiert Folge für Anfangselemente x(0) aus Umgebung U  D des Fixpunktes ξ, nennen wir die Iteration lokal konvergent. (Abbildung F nur auf U kontrahierend) Kann x(0) in gesamt D beliebig gewählt werden, heißt sie global konvergent.

Allgemeine Iterationsverfahren Konvergenzgüte Betrachten Folge (δ(k))kN der Abweichung δ(k) := x(k) – ξ Mittelwertsatz liefert δ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘(ξ + θδ(k)) δ(k) : 0 < θ < 1 Wenn δ(k)  0, dann limk→∞ δ(k+1)/δ(k) = F‘(ξ) Wenn F‘(x)  0, dann lineare Konvergenz

Allgemeine Iterationsverfahren Quadratische Konvergenz jedoch wenn F‘(x) = 0, dann Konvergenz superlinear  mindestens quadratische Konvergenz δ(k+1) = F(x(k)) – ξ = F‘‘(ξ + θδ(k))/2 * (δ(k))2 mit 0 < θ < 1 limk→∞ δ(k+1)/(δ(k))2 = F‘‘(ξ)/2

Allgemeine Iterationsverfahren Startwert x(0) F muss kontrahierend sein, um gegen Fixpunkt zu konvergieren. Also muss ||F‘‘(ξ)/2|| < 1 sein. Intervall [a,b] wird so lange verkleinert bis maxx[a,b] {||F‘‘(x)/2||} < 1 Dann kann x(0) beliebig in Intervall gewählt werden.

Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Aufgabe: Lösung der Gleichung f(x) = 0 für f  C1[a,b] berechnen.

Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren Betrachten g(x)f(x) = 0 mit g  C1[a,b] Annahme g(x) ≠ 0 für x  [a,b], dann gilt, dass g(x)f(x) gleiche Nullstelle hat wie f(x) Entsprechende Fixpunktgleichung x = x + g(x)f(x) =: F(x) müssen g so bestimmen, dass F‘(ξ)=0

Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren F‘(x) = 1 + g‘(x)f(x) + g(x)f‘(x) Da f‘(ξ) ≠ 0 und f(ξ) = 0 muss g(ξ) = -(f‘(ξ))-1, also wählen wir g(x) = -(f‘(x))-1.

x(k+1) = x(k) – (f‘(x(k))) -1f(x(k)) Newton-Verfahren Newtonsche Iterationsverfahren x(k+1) = x(k) – (f‘(x(k))) -1f(x(k)) für f  C1[a,b] superlinear konvergent in Umgebung von ξ

Newton-Verfahren Geometrische Deutung f  C1[a,b], x(k) Nährungswert für Lösung ξ der Gleichung f(x) = 0 X(k+2) X(k+1) X(k) ξ

Newton-Verfahren Geometrische Deutung Tangente an f im Punkt (x(k),f(x(k))) y = f(x(k))+f‘(x(k))(x-x(k)) Schnittstelle x(k+1) der Tangente mit Y-Achse x(k+1) := x(k) – f(x(k))/ f‘(x(k))

Newton-Verfahren Startwert x(0) X(0) X(1) X(2) ξ

 lokale lineare Konvergenz Newton-Verfahren Mehrfache Nullstellen f  Ci[a,b], i>1, ξ  [a,b] ist i-fache Nullstelle f(ξ)=f‘(ξ)=f‘‘(ξ)=…=f(i-1)(ξ)=0 und f(i)(ξ)≠0 F ist in Umgebung um ξ stetig und diffbar mit F‘(ξ) = 1-1/i Da i>1 gilt 0<F‘(ξ)<1 also  lokale lineare Konvergenz