PowerPoint-Folien zur 4. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“ Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 4. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“ Auf dem Weg zu einer nichtlinearen Theorie Korridormodell, Kugelmodell und die 1/5 - Erfolgsregel Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

Suchstrategie: Konstruktion einer additiven Einbahnstraße zum Optimum

10 klassische Optimierungsstrategien 1. Gauß-Seidel-Strategie 2. Strategie von Hooke und Jeeves 3. Rosenbrock-Strategie 4. Strategie von Davis, Swann und Campey (DSC) 5. Simplex-Strategie von Nelder/Mead 6. Complex-Strategie von Box 7. Powell-Strategie 8. Newton-Strategie 9. Strategie von Steward 10. Strategie von Davidon, Fletcher und Powell (DFP) Aktuell: SQP-Verfahren (Sequential Quadradic Approximation)

Elementare Gradientenstrategie … Nach dem Arbeitschritt wird durch Testmessungen erneut die Richtung des steilsten Anstiegs ermittelt. In diese Richtung wird wie-derum mit der Arbeitsschritt-weite vorangegangen. Elementare Gradientenstrategie

Extrapolierende Gradientenstrategie Nachdem die Richtung steils-ten Anstiegs ermittelt wurde wird solange mit der Arbeits-schrittweite in diese Richtung vorangeschritten, bis die Qualität sich verschlechtert. Dort wird erneut die Richtung des steilsten Anstiegs durch Testsmessungen ermittelt. Extrapolierende Gradientenstrategie

Gauß-Seidel- oder Koordinatenstrategie Es wird in die 1. Koordina-tenrichtung solange mit der Arbeitsschrittweite fortge-schritten, bis sich die Qua-lität verschlechtert. Dann wird die Prozedur in der 2. Koordinatenrichtung fortge-setzt usw. Gauß-Seidel- oder Koordinatenstrategie

Simplex-Strategie von Nelder/Mead 3 6 4 7 Konstruktion eines gleich-seitigen Tetraeders im Variablenraum. Der Punkt niedrigster Qualität wird gestrichen. An der verblei-benden Grundfläche wird die Spitze eines neuen Tetraeders gespiegelt. 2 1 5 Simplex-Strategie von Nelder/Mead

Vernünftige Strategien folgen Wegen zum Optimum Folgen eines zum Gipfel ausgerollten Ariadnefadens Text

9 Gewinn 100 Lose auf den Feldern der Ebene ausgelegt Lotterielose Gewinn 100 Lose auf den Feldern der Ebene ausgelegt 9 Es gibt keinen Weg zum Gewinn, dem man folgen kann !!!

j j = zurückgelegter Weg Zahl der Mutationen

Algorithmus der (1 + 1) - ES

Suche nach dem maximalen Fortschritt Wo ist das Optimum ??? Suche nach dem maximalen Fortschritt

Nichtlineare Modelle Kreiskuppe Nahe am Optimum Parabelgrat Einkreisen des Optimums Parabelgrat Weitab vom Optimum Voranschreiten zum Optimum

Modellfunktion Rechteckgrat (Korridormodell) Q steigt longitudinal monoton an 2-dimensional 3-dimensional

Modellfunktion Kreiskuppe (Kugelmodell) Q steigt radial monoton an 2-dimensional 3-dimensional

Zur Trefferwahrscheinlichkeitsdichte P P P P ′ P Ursprung der z-Koordinaten P P P P Gauss- oder Normalverteilung s = Maß für die Länge der Mutationsschritte Zur Trefferwahrscheinlichkeitsdichte Text

w Wendepunkt der Kurve 2s + zi Normalverteilte Zufallszahlen zi für die Mutation der Variablen xi

P 6 Lokaler Fortschritt der (1 + 1)-ES am Korridormodell Text

6 … Lange elementare Zwischenrechnung Text

Der örtliche Fortschritt im Korridor ist von der Lage des Punktes P ′ abhängig. Im Zentrum ist der Fortschritt groß, in den Ecken dagegen sehr klein. Wir müssen den Fortschritt über den Korridorquerschnitt mitteln: Die lineare Mittelung ist erlaubt, weil - während des evolutiven Fortschreitens im Korridor - jede Position im Korridorquerschnitt (in der Mitte, am Rand und in der Ecke) die gleiche Aufenthaltshäufigkeit besitzt (Simulation oder lange Rechnung).

j j

Mit für u >>1 folgt Dies gilt für n >> 1, wie sich später zeigen wird Mit für u >>1 folgt

! für n >> 1 Wir suchen das Maximum von j durch Nullsetzen der 1. Ableitung: !

j = We = Wir erinnern uns: zurückgelegter Weg Zahl der Mutationen Wir konstruieren ein zweites Konvergenzmaß erfolgreiche Mutationen We = Gesamtzahl der Mutationen We nennen wir die Erfolgswahrscheinlichkeit

Es galt: … Wir setzen die Fortschrittsbewertung = 1 …

für s / b << 1 ( = 1 : 5,4 ) für n >> 1 Lange elementare Zwischenrechnung Bekannter Grenzwert für s / b << 1 opt ( = 1 : 5,4 ) für n >> 1 opt

! { d vergrößern für We > 1 / 2e d verkleinern für We < 1 / 2e Algorithmus der (1 + 1) – ES mit Erfolgsregel { d vergrößern für We > 1 / 2e ! d verkleinern für We < 1 / 2e

Korridormodell und optimale Mutationsschrittweite

Modellfunktion Kreiskuppe (Kugelmodell) Q steigt monoton an 2-dimensional 3-dimensional

j Kugel = Fortschrittsbewertung am Kugelmodell P P P zurückgelegter Weg als Radiendifferenz j Kugel = Zahl der Mutationen

zurückgelegter Weg als Radiendifferenz j Kugel = Zahl der Mutationen …

Korridor Kugel Ergebnisse der nichtlinearen Theorie

(1 + 1) - Evolutionsstrategie: 1 / 5 - Erfolgsregel 1/6 1/5 1/4 (1 + 1) - Evolutionsstrategie: 1 / 5 - Erfolgsregel

{ d vergrößern für We > 1 / 5 d verkleinern für We < 1 / 5 Algorithmus der (1 + 1) – ES mit 1/5-Erfolgsregel { d vergrößern für We > 1 / 5 d verkleinern für We < 1 / 5

Zur 1/5-Erfolgsregel Der Futurologe Stanislaw Lem schrieb in einem Essay im Spiegel: Die Menschheit hat bis jetzt 10 hoch 15 Bits an Information gespeichert. Bis zum Jahr 2000 wird sich die Menge etwa verdoppeln. Dabei gilt für die Infosintflut Folgendes: Etwa drei Fünftel sind Unsinn und vermischter Unsinn; den ich „Trübkunde“ nenne; ein Fünftel ist zwar sinnvoll, aber vergängliche Info, und kaum ein Fünftel besteht aus ernsten Denk-früchten. Sogar die Forschungsanstalten werden in der Flut versinken, weil sie nicht Information, sondern Selektion benötigen, um weiter agieren zu können.

Ende www.bionik.tu-berlin.de

Der Minotaurus, ein mischgestaltiges Wesen (halb Mensch, halb Stier) haust in einem Labyrinth, das Dädalus im Auftrag des kretischen Königs Minos in Knossos erbaut hat. Sieben Jungen und sieben Mädchen mussten jährlich dem Minotaurus geopfert werden. Da beschließt der athenische Held Theseus, dem Minotaurus ein Ende zu bereiten. In Knossos auf Kreta ange-kommen verliebt er sich in Ariadne, der Tochter des Königs Minos. Bevor Theseus in das Labyrinth eindringt gib Ariadne ihm auf Anraten von Dädalus ein Garnknäuel. Theseus bindet ein Ende des Fadens an das bronzene Gitter des Eingangstores. Nach langem Umherirren im Labyrinth - das Garnknäuel hinter sich abwickelnd - stößt Theseus auf den Minotaurus und erschlägt ihn in einem fürchterlichen Kampf. Mit Hilfe des ausgerollten roten Fadens der Ariadne findet Theseus problemlos den Weg in die Freiheit zurück. Auf diesen „Ariadnefaden“ geht unser Wort „Leitfaden“ zurück.

Zur Wahrscheinlichkeitsrechnung Diskrete Wahrscheinlichkeit: Die Wahrscheinlichkeit eine 4 zu würfeln ist gleich 1/6. Die Wahrscheinlichkeit eine 4 oder eine 5 zu würfeln ist gleich 1/6 1/6 = 2/6. Die Wahrscheinlichkeit eine 3 und nochmals eine 3 zu würfeln ist gleich 1/6 1/6 = 1/36. Kontinuierliche Wahrscheinlichkeit: Mit dem Befehl ran in Basic wird eine Zufallszahl zwischen 0 und 1 aufgerufen. Die Wahr-scheinlichkeit genau 0,60000… (mit unendlich vielen Nullen) aufzurufen ist = 0. Sinnvoll ist nur die Frage nach der Wahrscheinlichkeit, einen Wert zwischen 0,59000… und 0,61000… zu erwürfeln. Der Wert (hier 0,02) dividiert durch das gesamte Intervall (hier gerade = 1) ergibt die Wahrscheinlichleitsdichte. Die Wahrscheinlichkeitsdichte w ist also ein abstrakter Zahlenwert, der mit dem Linien-, Flächen- oder Volumenelement multipliziert die reale Wahrscheinlichkeit angibt, diesen Linien-, Flächen- oder Volumenbereich zu treffen.

Wir gehen alle Punkte (hier der Ebene) durch, multiplizieren den Fortschrittspfeil (falls vor-handen) mit der Trefferwahrscheinlichkeitsdichte und addieren alle positiven Pfeillängen zusammen. Da wir mit der Wahrscheinlichkeitsdichte operieren, erübrigt sich die Division durch die Zahl der aufgesuchten Punkte, die ja Unendlich wäre. Die Summation der unendlich vielen differentiellen Punktmultiplikationen führt zu einem Inte-gral, das im Fall von n Dimensionen ein n-dimensionales Raumintegral ist. Da positive Pfeile nur im Erfolgsgebiet R+ auftreten, erstrecken wir das Raumintegral nur über den R+-Bereich.

Die Funktion erf(x) heißt Fehlerfunktion (error function) Die Funktion erf(x) heißt Fehlerfunktion (error function). Erf(x) ist nicht anders zu behandeln als ein Sinus, Cosinus oder Tangenshyperbolikus. Will sagen, dass der Wert für ein gegebenes Argument x aus einer Tabelle abgelesen werden muss. Erf(x) ist definiert als das Integral und hat den grafischen Verlauf