Das Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Kapitelüberblick 1 Einzelne Wertpapiere 2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz 3 Rendite und Risiko von Portfolios 4 Die effiziente Menge für zwei Wertpapiere 5 Die effiziente Menge für viele Wertpapiere 6 Diversifikation: Ein Beispiel 7 Risikolose Kapitalaufnahme und -anlage 8 Marktgleichgewicht 9 Beziehung zwischen Risiko und erwarteter Rendite (CAPM) 10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen

1 Einzelne Wertpapiere Die relevanten Characteristica einzelner Wertpapiere sind die: Erwartete Rendite Varianz und Standardabweichung Kovarianz und Korrelation

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz Betrachten Sie die folgende Welt mit zwei riskanten Wertpapieren: Aktienfonds und Rentenfonds bei drei Zuständen der Welt mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz % 11 ) ( %) 28 3 1 12 7 = ´ + - S r E

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz % 7 ) ( %) 3 1 17 = - ´ + B r E

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz % 24 . 3 %) 7 11 ( 2 = -

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz % 01 . %) 12 11 ( 2 = -

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz % 89 . 2 %) 28 11 ( = -

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz %) 89 . 2 % 01 24 3 ( 1 05 + =

2 Erwartete Rendite, Varianz und Kovarianz 0205 . % 3 14 =

3 Rendite und Risiko von Portfolios Man bemerke, dass Aktien eine höhere erwartete Rendite als Renten, aber auch höheres Risiko haben. Wenden wir uns nun der Risiko-Rendite-Beziehung eines Portfolios zu, das zu 50% in Renten und zu 50% in Aktien investiert ist.

3 Rendite und Risiko von Portfolios Die Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio: S B P r w + =

3 Rendite und Risiko von Portfolios Die Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio: S B P r w + = %) 7 ( % 50 12 5 . 9 ´ + =

3 Rendite und Risiko von Portfolios Die Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio: S B P r w + = %) 3 ( % 50 28 5 . 12 - ´ + =

3 Rendite und Risiko von Portfolios Die erwartete Rendite des Portfolios ist der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen auf Aktien und Renten im Portfolio: ) ( S B P r E w + = %) 7 ( % 50 11 9 ´ + =

3 Rendite und Risiko von Portfolios Die Varianz der Rendite des 2-Wertpapier-Portfolios ist BS S B 2 P ) ρ σ )(w 2(w (w + = wobei BS der Korrelationskoeffizient zwischen den Renditen der einzelnen Wertpapiere ist.

3 Rendite und Risiko von Portfolios

3 Rendite und Risiko von Portfolios Beachten Sie die Senkung des Risikos durch Diversifikation. Ein gleichgewichtetes Portfolio (50% in Aktien und 50% in Renten) ist weniger riskant als nur Aktien oder nur Renten.

4 Die effiziente Menge bei zwei Wertpapieren 100% Aktien 100% Renten Man kann Aktien und Renten natürlich in anderen Verhält-nissen als 50-50 kombinieren ...

4 Die effiziente Menge bei zwei Wertpapieren 100% Aktien 100% Bonds Hier andere Kombinationen als 50% Aktien und 50% Anleihen …

4 Die effiziente Menge bei zwei Wertpapieren

4 Die effiziente Menge bei zwei Wertpapieren 100% stocks 100% bonds Einige Portfolios sind “besser” als andere: Sie haben höhere Renditen bei demselben oder niedrigerem Risikoniveau. Diese bilden den effizienten Rand.

Zwei-Wertpapier-Portfolios bei verschiedenen Korrelationen Rendite 100% Aktien  = -1.0  = 1.0  = 0.2 100% Renten  Beziehung hängt von der Korrelation ab -1.0 < r < +1.0 Bei r = +1.0 ist keine Risikoreduktion möglich Bei r = –1.0 ist vollständige Risikoreduktion möglich

Portfoliorisiko als Funktion der Anzahl der Aktien im Portfolio In einem großen Portfolio werden die Varianzterme wegdiversifiziert, aber die Kovarianzterme nicht.  Diversifizierbares Risiko; Unsystematisches Risiko; Firmenspezifisches Risiko; Einzigartiges Risiko Portfoliorisiko Nichtdiversifizierbares Risiko; Systematisches Risiko; Markt Risiko n Folglich kann Diversifikation etwas davon, aber nicht das ganze Risiko individueller Wertpapiere eliminieren.

5 Die effiziente Menge bei vielen Wertpapieren In einer Welt mit vielen riskanten Wertpapieren können wir genauso die Opportunitätsmenge der Risiko-Rendite-Kombinationen verschiedener Portfolios identifizieren. Rendite Individuelle Wertpapiere P

5 Die effiziente Menge bei vielen Wertpapieren Bei gegebener Opportunitätsmenge können wir das Varianz-minimale Portfolio identifizieren. Rendite Varianz-minimales Portfolio Individuelle Wertpapiere P

5 Die effiziente Menge bei vielen Wertpapieren Der Abschnitt der Opportunitätsmenge oberhalb des Varianz-minimalen Portfolios ist der effiziente Rand. Rendite effizienter Rand Varianz-minimales portfolio Individuelle Wertpapiere P

6 Optimales Riskantes Portfolio mit einer risikofreien Anlage Neben Aktien und Renten beziehen wir nun eine risikofreie Anlage wie Schatzwechsel ein. Rendite 100% Aktien rf 100% Renten 

7 Risikolose Aufnahme und Anlage Jetzt können Investoren ihre Investition auf Schatzwechsel und einen ausgewogenen Fonds verteilen Rendite CML 100% Aktien Ausgewoge-ner Fonds rf 100% Renten 

7 Risikolose Aufnahme und Anlage Ist eine risikofreie Anlage verfügbar und der effiziente Rand bekannt, kann man die Kapitalallokationslinie mit dem steilsten Anstieg wählen. CML return effizienter Rand rf P

8 Marktgleichgewicht Rendite CML M rf P Ist die Kapitalmarktlinie identifiziert, wählen alle Investoren einen Punkt auf dieser Linee—irgendeine Kombination der risikofreien Anlage und des Marktportfolios M. In einer Welt mit homogenen Erwartungen ist M identisch für alle Investoren. Rendite CML effizienter Rand M rf P

Die Separationseigenschaft Die Separationseigenschaft besteht darin, dass das Marktportfolio M dasselbe für alle investoren ist—sie können ihre Risikoaversion von ihrer Wahl des Marktportfolios trennen, separieren. Rendite CML effizienter Rand M rf P

Die Separationseigenschaft Die Risikoaversion eines Investors spiegelt sich in der Wahl des Punktes auf der Kapitalmarktlinie,—nicht in der Wahl der Linie. Rendite CML effizienter Rand M rf P

Marktgleichgewicht Rendite CML Wo auf der Wertpapierlinie der Investor sich zu positionieren entscheidet, hängt von seiner Risikotoleranz ab. Bedeutsam ist, dass alle Investoren dieselbe Wertpapierlinie haben. Rendite CML 100% Aktien Separations-fonds rf 100% Anleihen 

Marktgleichgewicht Alle Investoren haben dieselbe CML, weil sie alle dasselbe optimale riskante Portfolio realisieren. Rendite CML 100% Aktien Optimales riskantes Portfolio rf 100% Anleihen 

Die Separationseigenschaft Die Separationseigenschaft besagt, dass die Portfoliowahl in zwei Schritten entschiedne werden kann: (1) Bestimme das optimale riskante Portfolio und (2) wähle einen Punkt auf der CML. Rendite CML 100% Aktien Optimales riskantes Portfolio rf 100% Anleihen 

Optimales riskantes Portfolio bei einer risikofreien Anlage Übrigens, das optimale riskante Portfolio hängt sowohl vom risikofreien Zins als auch von den riskanten Wertpapieren ab. CML1 CML0 Rendite 100% Aktien Zweites Optimales riskantes Portfolio Erstes Optimales riskantes Portfolio 100% Anleihen 

Risikodefinition, wenn Investoren das Marktportfolio halten Es lässt sich theoretisch zeigen, dass das geeignete Risikomaß für ein Wertpapier in einem großen Portfolio das sogenannte Beta (b) des Wertpapiers ist. Das Beta misst die Reaktion eines Wertpapiers auf Veränderungen im Marktportfolio.

Schätzung von b mit der Regression Regressionsgerade WP-Renditen Steigung = bi Rendite des Marktportfolios % Ri = a i + biRm + ei

Schätzung von b für ausgewählte Aktien Beta Bank of America 1.55 Borland International 2.35 Travelers, Inc. 1.65 Du Pont 1.00 Kimberly-Clark Corp. 0.90 Microsoft 1.05 Green Mountain Power 0.55 Homestake Mining 0.20 Oracle, Inc. 0.49

Schätzung von b für ausgewählte Aktien

Die Formel für Beta Natürlich hängt die Beta-Schätzung vom gewählten Surrogat für ein Marktportfolio ab.

9 Beziehung zwischen Risiko und erwarteter Rendite (CAPM) Erwartete Rendite des Marktes: Erwartete Rendite eines einzelnen WP: Markt-Risiko-Prämie Anwendbar auf einzelne WP im Kontext eines wohl-diversifizierten Portfolios.

Erwartete Rendite eines einzelnen WP Diese Formel konstituiert das Capital Asset Pricing Model (CAPM) Bei bi = 0 ist die erwartete Rendite gleich RF. Bei bi = 1 ist die erwartete Rendite gleich RM.

Beziehung zwischen Risiko & erwarteter Rendite ) ( β F M i R - ´ + = Erwartete Rendite M R F R b 1.0

Beziehung zwischen Risiko & erwarteter Rendite Erwartete Rendite % 5 . 13 % 3 b 1.5 % 3 = F R % 10 = M R

10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Dieses Kapitel hat die Grundlagen der modernen Portfoliotheorie verdeutlicht. Erwartete Rendite und Varianz eines Portfolios von zwei Wertpapieren A und B sind wie folgt gegeben: Variiert man wA, kann man die effiziente Menge der Portfolios darstellen. Das haben wir im Zwei-Wertpapier-Fall graphisch getan, wobei sich in der Kurvengestalt der Diversifikationseffekt spiegelte: Je niedriger die Korrelation zwischen den beiden WP, desto größer die Diversifikation. Das kann auf den Fall vieler Wertpapiere entsprechend übertragen werden. ) ( B A P r E w + = AB A B 2 P ) ρ σ )(w 2(w (w + =

10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Die effiziente Menge riskanter WP kann kombiniert werden mit risikofreier Anlage und Aufnahme. Dann wird ein rationaler Investor immer das Portfolio riskanter WP halten, das durch das Marktportfolio gegeben ist. Rendite CML effizienter Rand Dann wählt der Investor einen Punkt auf der CML. M rf P

10 Zusammenfassung und Schlussfolgerungen Der Beitrag eines WP zum Risiko eines wohldiversifizierten Portfolios ist proportional zur Kovarianz der Wertpapierrendite mit der Marktrendite. Dieser Beitrag heißt das Beta. Das CAPM besagt, dass die erwartete Rendite eines WP in positiv linearer Beziehung zum Beta des WP steht: