Mit Brüchen spielen / Kettenbrüche Referat von Saskia Ochmann, 8. Semester Veranstaltung: Fachwissenschaftliches Seminar Leitung: Prof. Dr. Hochmuth
Gliederung Einstieg Berechnung / Bildung von Kettenbrüchen Näherungsbrüche Euklidischer Algorithmus Approximierung sichtbar machen Rekursionsformel Zur Eindeutigkeit der Nähe Zusammenfassung
Aufgabe 1 5+1____ 7+1__ 2+1 3
Aufgabe 2 [3,1,2,1,2] = ? [0,5,6] = ? ___________ [0,3,1,1] = ? [1,1,1,1] = ? Wie verändert sich das Ergebnis, wenn man die Reihe um weitere Einsen ergänzt? Kann man ein Muster erkennen?
Aufgabe 3 Berechne [5,7,2,3] schrittweise: [5] = ? [5,7] = ? [5,7,2] = ? -> Näherungsbrüche
Aufgabe 4 Berechne die Differenz / Abweichung zu 267 52 1__ approximiert 267 am besten 780 52
Euklidischer Algorithmus 45 = 2 x 17 + 11 17 = 1 x 11 + 6 11 = 1 x 6 + 5 6 = 1 x 5 +1 5 = 5 x 1 + 0
Approximierung sichtbar machen 2
Rekursionsformel Bk = P k-1 x qk + P k-2 Q k-1 x qk + Q k-2
Aufgabe 5 Christian Huygen (1629-1695) hatte die Aufgabe, ein Zahnradmodell des Sonnensystems zu bauen. Dabei sollte gelten: Zahnanzahl von Zahnrad 1 = Umlaufzeit von Planet 1 Zahnanzahl von Zahnrad 2 Umlaufzeit von Planet 2 Für Saturn und Erde hat man das Verhältnis 77708431 2640858 Aus technischen Gründen sollten die Zahnräder höchstens 250 Zähne haben. Wie realisierte er das Modell?
Lösung: 77.708.431 = 29 x 2.640.858 + 1.123.549 2.640.858 = 2 x 1.123.549 + 393.760 1.123.549 = 2 x 393.760 + 336.029 393.760 = 1 x 336.029 + 27.731 336.029 = 5 x 57.731 + 47.374 57.431 = 1 x 47.374 + 10.375 usw. [29,2,2,1,5,1,...]
Zur Eindeutigkeit der Nähe Aufeinanderfolgende Kettenbrüche sind stets minimal benachbart. a – c = ad – cb = +/- 1 b d bd bd
Zusammenfassung Gilt alles für rationale Zahlen Kettenbruchentwicklung rationaler Zahlen ist endlich Was ist mit reellen Zahlen?