Das BMBF-Vorhaben Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen Skalenanalyse in der Hydrologie – warum? Von Peter Braun, ehemals Bayerisches Landesamt für Wasserwirtschaft Norwegisches Waldforschungsinstitut

Ausgangspunkt skaleninvariant, d.h., sie zeigen fraktales Verhalten. Empirischen Daten in der Hydrologie werden in einer bestimmten Auflösung (Skala) gemessen Wichtige statistische Kennzahlen bzw. Charakteristika hängen (in oftmals unbekannter Weise) von diesen Skalen ab. Im Rahmen von KLIWA wurde erkannt, dass es dringend notwendig ist, diese Skalenabhängigkeit zu klären Zunächst wurde versucht, den Einfluss räumlicher Skalen zu untersuchen (z.B. Einfluss der Rastermaschenweite auf den dynamischen Output von ASGII (WH – Modell)) Zahlreiche rasterbasierte Parameterfelder (z.B. der BEVEN – Index) für das Modell waren skaleninvariant, d.h., sie zeigen fraktales Verhalten. 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Skaleninvarianz, Potenzgesetze Für die Hydrologie besonders wichtig ist die Erkenntnis, dass nicht nur geometrische bzw. räumliche Objekte skaleninvariant sein können, sondern auch statistische Eigenschaften von Zeitreihen skaleninvariantes Verhalten aufweisen können. Statistische Charakteristika können bei Skalenwechsel durch einfache Transformationen (Potenzgesetze) ineinander umgerechnet werden Diese Potenzgesetze gewinnt man empirisch aus der Bestimmung interessierender Eigenschaften bei unterschiedlichen Auflösungen (Skalen) 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Gründung des Verbundprojektes Durch Hinweise aus der Literatur und eigener Analysen kamen wir zu dem Schluss, dass der Befund der Langzeitkorrelation weitreichende Konsequenzen für die Bewertung gängiger hydrologischer Auswerteverfahren haben würde. Es war notwendig, externe Expertise zu akquirieren Das BMBF und der Freistaat Bayern konnten für die Finanzierung des Projektes gewonnen werden. 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Langzeitkorrelationen Skaleninvariante Prozesse zeigen das Phänomen der Langzeitkorrelation (Persistenz): Bestimmte statistische Eigenschaften kehren auf längeren Zeitskalen wieder (bzw. unterscheiden sich nur durch Faktoren, die man gut bestimmen kann) Es gibt zwei prinzipiell verschiedene Gründe für Persistenz: Solche, die in der Dynamik der Prozesse begründet sind und solche, die durch skaleninvariante Verteilungsfunktionen induziert werden. HURST war der Erste, der am Beispiel des Nils zeigte, dass es Langzeitkorrelationen geben müsse. In der Literatur waren diese Befunde heftig umstritten. Ein wesentlicher Grund für die Missverständnisse war aus unserer heutigen Sicht die Tatsache, dass man Trends und Langzeitkorrelationen zur damaligen Zeit nicht trennen konnte 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Befunde in KLIWA mittels Spektren (problematisch wg. möglicher Trends) Die in KLIWA untersuchten Zeitreihen zeigten das typische Potenzverhalten skaleninvarianter Prozesse. Die Intensität der Langzeitkorrelation misst der Skalenexponent ß 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

„Trends“ und Langzeitkorrelationen – ein Beispiel 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Hydrologische Methoden, die durch Langzeitkorrelationen beeinflußt werden: Identifikation von Trends bei gleichzeitigem Vorliegen von Langzeitkorrelationen Extremwertstatistik: Sind Reihen langzeitkorreliert, dann sind es auch die seltenen Ereignisse – selbst wenn die Korrelationen nur noch schwach ausgeprägt sind. Bez. der Wiederkehrintervalle gelten die einfachen Beziehungen zwischen der (unbedingten) Eintrittswahrscheinlichkeit und dem Wiederkehrintervall nicht mehr! Simulation langer Reihen mittels ARMA – Prozessen ist problematisch, da das Langzeitverhalten falsch beschrieben wird Besser: Simulation langzeitkorrelierter Reihen mittels spezieller Generatoren, die das fraktale Verhalten nachbilden. Der Skalenexponent erweist sich als Schlüssel – Parameter für den Einfluss der Langzeitkorrelation 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Typisches Beispiel für Langzeitkorrelationen an der Weser mit der DFA: Detrended Fluctuation Analysis. Es werden polynomiale Trends n-ter Ordnung eliminiert Mischen: Zerstörung der zeitlichen Ordnung der Meßpunkte 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Stand Durch umfangreiche Tests an vielen heimischen und internationalen Flüssen wurde nachgewiesen, dass wir in weiten Skalenbereichen skaleninvariantes Verhalten finden. Es konnte nachgewiesen werden, dass die Durchflussreihen ein multifraktales Verhalten zeigen (ist im Moment nicht von großer Relevanz, da sich wichtige Eigenschaften auch ohne dieses spezielle Merkmal erklären lassen) Es konnte gezeigt werden, dass bei Existenz von Langzeitkorrelationen die Extremwertstastik stark beeinflusst wird (ist noch in Arbeit) 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Stand Es wurden gängige Trend – Tests überprüft (z.B. PETTITT). Ergebnis: Bei simultanem Vorliegen von Langzeitkorrelationen sind diese Tests wenig aussagekräftig Die fraktale Signatur ist ein zusätzliches Gütekriterium zur Bewertung von WH – Modellen (Beispiel ASGII) Empirische Verteilungsfunktionen wurden auf Stationarität überprüft (incl. mögliche räumliche Muster) Es wurde die Wirkung von Kurzzeitkorrelationen auf das Langzeitverhalten untersucht Es wurde mittels SSA nach quasizyklischen langwelligen Komponenten in den Reihen gesucht und deren regionale Ausprägung erforscht 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen

Ausblick Absicherung der statistischen Befunde zur Skaleninvarianz durch Vergleich mit geeigneten Proxy – Variablen bzw. Ausdehnung des Skalenbereiches durch geeignete Reihen Suche nach operationellen Verfahren für die Bestimmung von Extremwertverteilungen bei langzeitkorrelierten Reihen Konstruktives Verfahren zur Rekonstruktion von Trends bei langzeitkorrelierten Reihen Stochastische Simulation langer Reihen, die u.a. Langzeitkorrelationen explizit berücksichtigen Untersuchung der höheren Momente von Verteilungen, weil sie wichtige Prozeßinformationen beinhalten 21. 10. 2004 München Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen