Kreiselgleichungen Annette Eicker 12. Januar 2012 27.03.2017
Wiederholung: Transformation 1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichförmig: Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenüber der Galileo-Transformation: Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichförmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme. 27.03.2017
Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem x Ableitungsoperator r R Bewegung im Inertialsystem Rotation des Bezugssystems Bewegung im rotierenden System Rotationsvektor (enthält die Winkelgeschwindigkeiten) Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators 27.03.2017
Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem Ableitungsoperator Beschleunigung im bewegten System Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators 27.03.2017
Bewegungsgleichung im bewegtem System Inertialsystem Bewegtes System x Zentrifugalkraft Kreiselkraft Corioliskraft r R 27.03.2017
Kreiselgleichungen 27.03.2017
Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls: (Linearer) Impuls Drehmoment: K Änderung des Impulses benötigt eine Kraft Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment r 27.03.2017
Drehimpulsbilanz Teilchensystem Gesamtdrehmoment: Gesamtdrehimpuls: Änderung des Drehimpulses benötigt ein Drehmoment Teilchensystem Annahme: starres Teilchensystem: Abstände zwischen Teilchen bleiben gleich keine „inneren Drehmomente“: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B 27.03.2017
Drehimpuls Gesamtdrehimpuls: Änderung der Ortsvektoren der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit) 27.03.2017
Drehimpuls Graßman-Identität: Zerlegung der Vektoren bzgl. Dreibein von B nach ganz viel Umsortieren… Trägheitstensor 27.03.2017
Starres Teilchensystem Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls: Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Starres Teilchensystem 27.03.2017
Drehimpulsbilanz Starrer Körper Gesamtdrehimpuls: Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Starrer Körper 27.03.2017
Lineare Bewegung <-> Rotation Impulsänderung benötigt Kraft: Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Impuls: Drehimpuls: Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Träge Masse Trägheitstensor Trägheitstensor: definiert die Trägheit des Körpers gegenüber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu 27.03.2017
Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: z y x 27.03.2017
Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: z Drehung um die z-Achse: Das Trägheitsmoment C ist groß y x 27.03.2017
Trägheitstensor Drehimpuls Der Trägkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: z Drehung um die y-Achse: Das Trägheitsmoment B klein y x 27.03.2017
Einschub: Trägheitsmomente Trägheitsmoment für jede beliebige Achse kann aus Trägheitstensor berechnet werden Trägheitsmoment: Gibt den Widerstand eines starren Körpers gegenüber einer Änderung seiner Rotationsbewegung an. (äquivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung) Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trägheitsmoment das zugehörige Diagonalelement des Tensors hängt ab von: Form des Körpers Massenverteilung des Körper Drehachse vollständigen Beschreibung des Trägheitsverhaltens eines starren Körpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus Trägheitstensor (als Verallgemeinerung des Trägheitsmoments) 27.03.2017
Drehung des Koordinatensystems Gesamtdrehimpuls: Starrer Körper Drehmatrix Neues Koordinatensystem: mit den Transformationen Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trägheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Eigenwert Eigenvektor => Eigenwertzerlegung 27.03.2017
Lineare Bewegung <-> Rotation Impulsänderung benötigt Kraft: Drehimpulsänderung benötigt ein Drehmoment: Impuls: Drehimpuls: Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Träge Masse Trägheitstensor Dies führt auf die Bewegungsgleichung (DGL): Dies führt auf die Eulerschen Kreiselgleichungen (DGL): Dies wird auf den nächsten Folien gezeigt! 27.03.2017
Kreiselgleichungen Bilanzgleichung Ableitungsoperator Im rotierenden System Drehimpuls Drehimpuls im Hauptachsensystem Eulersche Kreiselgleichungen Beschreiben die Rotation eines starren Körpers im Hauptachsensystem 27.03.2017
Trägheitsbewegung Eulersche Kreiselgleichungen Einfacher Fall: - Drehmomentfrei (Trägheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Kreiselgleichungen 27.03.2017
Trägheitsbewegung Abgeplattete Erde k ist eine beliebige Konstante! Kreiselgleichungen Abgeplattete Erde Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelöst werden. Aus 3. Gleichung folgt Abkürzung Allgemeine Lösung k ist eine beliebige Konstante! 27.03.2017
=> Vektoren liegen in einer Ebene Trägheitsbewegung Alles im körperfesten System B: Drehvektor Drehimpuls Skalarprodukte Betrag => Konstante Zwischenwinkel Spatprodukt => Vektoren liegen in einer Ebene 27.03.2017
Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse Drehimpulsvektor ist raumfest 27.03.2017
Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse 27.03.2017
Trägheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse 27.03.2017
Trägheitsbewegung Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse körperfestes Koordinatensystem B 27.03.2017
Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde Frequenz Eigenschaften der Erde Masse M 5,97371024 kg Äquatorradius a 6378136,6 m Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2 Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2 Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2 tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen 27.03.2017
Bewegung der Drehachse im erdfesten System Rotation der Erde ~305 Tage Bewegung der Drehachse im erdfesten System Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse 27.03.2017
Wie kommt dieser Unterschied zustande? Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde Masse M 5,97371024 kg Äquatorradius a 6378136,6 m Trägheitsmoment A 0,3296108 Ma2 Trägheitsmoment B 0,3296181 Ma2 Trägheitsmoment C 0,3307007 Ma2 tägliche Drehung 7,29211510-5 rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Wie kommt dieser Unterschied zustande? Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage 27.03.2017