Modellieren und offene Aufgaben Eine lohnende (aber schwierige) Öffnung für den Mathematikunterricht Matthias Ludwig PH Weingarten 17.11.2008 Waldfischbach

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Struktur Kurze theoretische Einführung Fermiaufgaben Kleine Modellierungsaufgaben Forschung zu den Modellierungsaufgaben Weitere Vorschläge Zusammenfassung Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997) „Unsere mathematischen Begriffe, Strukturen und Vorstellungen sind erfunden worden als Werkzeuge, um die Phänomene der natürlichen, sozialen und geistigen Welt zu ordnen.“ (Freudenthal 1983) Erzeugen einer a-didaktischen Situation (Brousseau1997) Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Grundbildung nach PISA Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur „technische“ Fertigkeiten und Kenntnisse. Zur Lösung einer typischen (hochbepunkteten) PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Mathematisches Modellieren im Sinne von: Beschreibung realer funktionaler Zusammenhänge (Flugbahn) Nachbauen, bzw. Nachbilden Finden einer Erklärung Vorhersagen treffen (Wetter/ Fußballergebnisse, Sonnenfinsternisse) Vorschreiben (Tarife) Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Modellieren aus dem Blickwinkel von Lehrenden und Lernenden: Rechnen mit dem was man weiß und kann. Sich irgendwie durchschlängeln. Ob´s richtig ist ,weiß der Lehrer ja auch nicht immer. Das ist alles so diffus. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Fermiaufgaben Klavierstimmer Tankstellen Friseure Todesfälle pro Tag (Anzahl der Bestatter) Infos: www.welt-in-zahlen.de Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Der Elfmeter Kann man mathematisch die Verwandlungshäufigkeit abschätzen? Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Der Elfmeter Mathematische Modellbildung für Verwandlungshäufigkeit Genial einfache Idee: Das Tor hat vier Ecken (und eine Mitte) Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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Der Elfmeter Die Flächenidee Tor 8Yard x 8Fuß= 7,32m x 2,44m =ca. 18m2 Torwart 1,6m x1,9m+ 0.5x 0.95m2 x =4,45m2 75% der Torfläche sind nicht abgedeckt . Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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Elfmeter Bayern München 190:245 =>77,5% Frankfurt 143:196 =>73% Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Der Elfmeter Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Theoriebasis Basis ist der klassische idealisierte Modellierungskreislauf (z.B. Blum et al.) Verstehen Vereinfachen Strukturieren Mathematisieren Rechnen Interpretieren Validieren Vermitteln/Erklären Stufe 1 Stufe 2 RM MM Stufe 0 SM RS Stufe 5 ME RE Stufe 3 Stufe 4 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Gedanken zum Ball: Wie lange braucht man um einen Fußball zu nähen? Wie viele Stiche braucht man für einen Fußball? Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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90 Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich 90 Kanten 10 Stiche für jede Kante. 10 Sekunden für jeden Stich. 9000 Sekunden 2,5 Stunden Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt. Stufe 0: Die Realsituation wurde nicht erfasst. Es fällt schwer die Aufgabenzeichnungen der SchülerInnen mit der Aufgabenstellung in Verbindung zu bringen. Die SchülerInnen haben also nicht den Einstieg in den Modellierungskreislauf gefunden. Bsp: Die SchülerInnen haben einfach nur geschätzt, wie lange es dauert um einen Fußball zu nähen, ohne genauere Angaben zu machen, wie sie zu dieser Schätzung gekommen sind. Sie schreiben Zusammenhangloses auf ihr Arbeitsblatt. Sie geben ein unbeschriftetes Arbeitsblatt ab. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen. Stufe 1: Die SchülerInnen haben die reale Situation erkannt und versuchen diese zu strukturieren um ein mathematisches Modell zu finden, letztendlich mündet dies aber in keiner weiterführenden Idee. Bsp: Sie versuchen, die einzelnen Panels zu zählen, erkennen aber nicht, dass der Ball aus 5- und 6-Ecken besteht. Sie versuchen einen Fußball aufzuzeichnen. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Stufe 2: Die SchülerInnen äußern eine sinnvolle Vermutung und sind in der Lage ein mathematisches Modell vorzuschlagen, aber dieses Modell wurde nicht konsequent mathematisiert. Bsp: Sie zählen die 5- und 6-Ecke des Balls. Anschließend versuchen sie die Anzahl der Kanten herauszubekommen, erkennen aber nicht, dass eine Nahtstelle aus zwei Kanten besteht. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Ergebnisse Signifikante Unterschiede zwischen den Jahrgangstufen 5, 6/7 und 8 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Ergebnisse Keine signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Ergebnisse Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Die Ananasaufgabe Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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Film Film Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Eine Lösungsmöglichkeit Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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Stoff der Klasse 9 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Konsekutive Stufen Durchlauf nicht immer konsekutiv .(Boromeo Ferri) Jede Stufe stellt aber eine kognitive Hürde dar (Blum/ Leiß). Je weiter im Kreislauf desto mehr Stufen musste man (kognitiv) überwinden. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Forschungsfragen Ergeben sich bei der Lösung der Modellierungsaufgabe Unterschiede bzgl. der Jahrgangstufe, der Kulturen und des Geschlechts? Welches Niveau wird erreicht? Welche Hürden bilden besondere Schwierigkeiten? Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Stufe 0 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Stufe 4 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Stufe 5 Stufe 5 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

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Ergebnisse Insgesamt geringes Niveau. Kaum Unterschiede zwischen den Kulturen in der Gesamtperformance. Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen (Performance & Level) . Nach jeder Jahrgangstufe (hoch-) signifikante Leistungsunterschiede. Verschiedene Barrierestufen. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Ergebnisse Kl. 9 Kl. 10 Kl. 11 N  SD C (676) 206 1,41 1,25 249 1,67 1,12 221 2,18 1,40 D (428). 145 1,59 147 1,43 136 2,16 1,38 Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

„Entwicklung“ der Jungs und Mädchen Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Differentielle Analyse Deutsche Mädchen: keine signifikanten Unterschiede zwischen den Jahrgangsstufen Deutsche Jungs. hochsignifikante Zuwächse 11 gegen 10 und 9 (p<.005) Effektstärke (0,49) Keine statistisch signifikanten Unterschiede zwischen Jungs und Mädchen in Klasse11. In den Kl. 9 und 10 sind diese Unterschiede größer aber auch nicht signifikant. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Unterschiede Auffallend: Level 5 wird nur von Jungs erreicht. Level 4 scheint für Mädchen eine Barriere zu sein. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Probleme beim Modellieren (Blum et al.) Alle Schritte des Kreislaufes sind potentielle kognitive Hürden Schüler benutzen keine bewussten Lösungsstrategien Schüler dürfen nicht alleine arbeiten Lehrende geben zu viele Inhaltliche Hilfen. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Ideales Stundenskript Vorstellung der Aufgabe im Plenum Zunächst Einzelarbeit Gruppenarbeit Individuelles Aufschreiben der Lösungen Präsentation von Lösungen im Plenum Vergleich der Lösungen und reflektierender Rückblick Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008

Weitere Beispiele Das Schullotto Entwerft ein geeignetes Lotto für ein Schulfest. Matthias Ludwig Pirmasens 17.11.2008