V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Teil 2: Partielle Differentialgleichungen V 5: Partielle Differentialgleichungen - Grundlagen Inhalt: Einführung in die Theorie partieller Differentialgleichungen Beispiele für partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung Musterlösungen

Das sollten Sie heute lernen Was ist eine partielle Differentialgleichung ? Wie löst man partielle Differentialgleichungen analytisch ? Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und hyperbolische Differentialgleichungen ? Geben Sie Beispiele für partielle Differentialgleichungen und ordnen Sie diese den Typen zu Was sind Charakteristiken ? Was ist ein System von partiellen Differentialgleichungen ?

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -1 Partielle Differentialgleichungen enthalten Ableitungen nach mehreren unabhängigen Variablen. Die wichtigsten Unabhängigen sind die Ortsvariablen x, y und z und die Zeit t. Die abhängigen Variablen entsprechen dem Anwendungsgebiet. Beispiele sind Masse, Energie, Impuls, Temperatur oder Druck. Im Folgenden wird die Abhängige mit  oder y bezeichnet, wenn keine physikalisch e Vorstellung mit der Gleichung verbunden werden soll. Ansonsten wird die übliche physikalische Bezeichnung verwendet (z.B. T für Temperatur). Die Dimension einer Differentialgleichung entspricht der Zahl der unabhängigen Variablen. Kommen mehrere abhängige Variablen vor, so spricht man von einem System von Differentialgleichungen. Die Ordnung n einer Differentialgleichung gibt die höchste Ableitung in der Differentialgleichung an. Eine Differentialgleichung heißt linear, wenn ihre Koeffizienten nicht von den abhängigen Variablen oder ihren Ableitungen abhängen; halb-linear, wenn in den Randbedingungen nichtlineare Funktionen der Abhängigen oder ihren Ableitungen vorkommen; quasi-linear, wenn auch in den Koeffizienten der Differentialgleichung Abhängigkeiten der Lösungen auftreten, nicht-linear, wenn die Differentialgleichung Potenzen von Ableitungen enthält.

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -2 Entsprechend heißt ein Operator linear, wenn gilt L(a u + b v) ) = a L u + b L v Eine Differentialgleichung heißt homogen, wenn ihre rechte Seite verschwindet. Differentialgleichungen, die physikalische Geschehen beschreiben sollen, sind nur sinnvoll, wenn a) eine Lösung existiert, b) genau eine Lösung existiert - dazu sind genau n Rand bzw. Anfangsbedingungen anzugeben, c) die Lösung relativ stabil ist. Jede Differentialgleichung der Ordnung n kann in ein äquivalentes System von n Differentialgleichung 1. Ordnung transformiert werden. Man erreicht das durch Transformation der Art:

Grundbegriffe aus der Theorie partieller Dglen -3 Die einfachste partielle Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung der Dimension 2. Für eine abhängige Variable und die Ordnung 2 lautet die allgemeine Form der linearen Differentialgleichung: Analog den Flächen zweiter Ordnung unterteilt man diese Differentialgleichung entsprechend den Werten, die  = B2 -4AC annimmt > 0 hyperbolisch für  = 0 ist die Dgl parabolisch < 0 elliptisch. Die drei Klassen repräsentieren verschieden physikalische Geschehen und verhalten sich numerisch sehr unterschiedlich. Zur Lösung einer Dgl sind Rand-/Anfangsbedingungen nötig. Die allgemeine Form der Randbedingung lautet:

Operatoren und Integralsätze Die erste Ableitung wird oft mit dem Operator , die zweite Ableitung mit  =  x  abgekürzt.  heißt Nabla-Operator. Er kann auch als Vektor angeschrieben werden: Der -Operator kann auf verschiede Datentypen angewandt werden: Gauß‘sche Integralsatz Setzt man statt dem Vektor das Produkt zweier Skalare u und v an, so gilt der Green‘sche Integralsatz

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen Allgemeine Form + Rand-/Anfangs-Bedingungen Alternative Form über < elliptisch (e) = 0 parabolisch (p) > hyperbolisch (h) Formale Aufteilung

Elliptische Differentialgleichungen Als Beispiel einer elliptische Differentialgleichung wird die stationären Wärmeleitgleichung (Diffusionsgleichung) mit inneren Wärmequellen betrachtet mit  = const. ergibt sich für ein 2-dimensionales Lösungsgebiet: Weitere Beispiele sind Laplace-Gleichung  u = 0 Poisson-Gleichung  u = f (x) Helmholtz-Gleichung  u =  (x) u + f (x)

Helmholtz-Gleichung - analytische Lösung Elliptische Differentialgleichungen lassen sich unter einfachen Bedingungen analytisch lösen. Ein Beispiel dafür ist die Helmholtz-Gleichung. Die Gleichung lautet:  + B2  = 0 Lösungsgebiet ist -1  x  + 1 Es gelten die Randbedingungen  (1) =  (-1) = 0 Lösung ist: n = cos (Bnx) Bn muss diskrete Werte annehmen (n = heißt Eigenwert, n ist die zum Eigenwert n gehörende Eigenlösung) Damit die Randbedingungen erfüllt sind, muss gelten Für mehrdimensionale Fälle gilt der Produktansatz  (x,y) = n (x) • m (y) Die Formel für die Eigenwerte lautet dann

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Parabolische Differentialgleichungen Parabolische Dglen verbinden mindestens 2 unterschiedliche Unabhängige. Die Gleichungen sind daher häufig instationär und eindimensional Grundform parabolischer Dglen ist die transiente Wärmeleitgleichung Ihre Lösung erfordert eine Anfangsbedingung und zwei Randbedingungen Als Anfangsbedingung wird ein Ausgangszustand vorgegeben. Die Randbedingungen sind formal denen der elliptischen Dglen gleich. Sie lassen sich an diesem Beispiel sehr anschaulich interpretieren

Randbedingungen -1 Allgemeine Form der Randbedingung Interpretation am Beispiel Wärmeleitgleichung

Randbedingungen -2  = 0 Dirichlet‘sche Randbedingung vorgegebene Randtemperatur, z.B. durch Ofen oder Kühlmedium  = 0 Homogene Randbedingung Mit  =  wird aus der Allgemeinen Randbedingung  ist Wärmeübertragungszahl und es gilt Wärmestrom Temperaturdifferenz zu Umgebungstemperatur 0 Vorgabe von Temperatur und Wärmestrom an einem Rand Cauchy-Randbedingung.

Lösungen parabolischer Dglen Lösungen parabolischer Gleichungen lassen sich in der Regel nicht analytisch, wohl aber graphisch oder als Tabellen darstellen. Dies geschieht etwa im Wärmeatlas. Ein einfaches Excel-Programm zur Lösung der Wärmeleitgleichung mit 0  x  1, 0  t T (0, t) = T< T (1, t) = TR und T (x, 0) = 2x für 0  x  0,5 = 2-2x für 0,5  x  1 kann über Excel-Programm aufgerufen werden.

Weitere Beispiele parabolischer Dglen

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Wellengleichung als Beispiel einer hyperbolischen Dgl Die Wellengleichung kann durch eine einfache Substitution in ein System von Gleichungen überführt werden. Wir heißen dies das System der charakteristischen Gleichungen.

Lösungseigenschaften der Transportgleichung Hat der Vektor {u} nur eine Komponente u und gilt [A] {u} = f (u), so erhält man die allgemeine Form der Erhaltungsgleichung: Für f (u) = c u erhält man die lineare Transportgleichung Für Ihre Lösungen gilt Das heißt, längs x + c t = const breitet sich der Anteil u an der Lösung (mit allen eventuell aufgeprägten Störungen) unverändert aus. Dies hat schwerwiegende numerische Konsequenzen. Die Gerade heißt Charakteristik.

Charakteristiken der Wellengleichung Die Wellengleichung hat zwei Charakteristiken mit den Steigungen Sie lassen sich anschaulich interpretieren: a) Längs der Charakteristiken bleiben die Lösungswerte unverändert erhalten. b) Störungen breiten sich längs Charakteristiken unvermindert aus. c) Charakteristiken begrenzen den Raum in dem physikalisch Information zugänglich ist. Dem dürfen Diskretisierungen nicht widersprechen. t Abhängigkeitsbereich Todbereich P (x1, t1) x Todbereich x

Charakteristiken der unterschiedlichen Dglen

Klassifizierung partieller Differentialgleichungen

Beispiele gemischter Dglen

Systeme von Dglen Wellengleichung als System Eulersche Gleichungen

Navier-Stokes-Gleichungen (inkompressibel)

Eigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen

Diese Fragen sollten Sie beantworten können Was ist eine partielle Differentialgleichung Wie unterscheiden sich elliptische, parabolische und hyperbolische Dglen Geben Sie Beispiele für elliptische, parabolische und hyperbolische Dglen Was sind Charakteristiken Was sind Randbedingungen Wie lautet die allgemeine Form der Randbedingung Was ist ein System partieller Dglen