Dynamik komplexer Systeme Fraktale

Dimensionen 0-dimensionale Menge 1-dimensionale Menge Punkt endliche Punktwolke 1-dimensionale Menge Linie Gerade, Strecke, Kreisumfang, Gesamtkantenlänge eines Würfels 2-dimensionale Menge Fläche Ebene, Kreisfläche, Kugeloberfläche 3-dimensionale Menge Volumen Raum, Kugelvolumen

Topologische Dimension Wenn man zur Beschreibung eines Punktes einer Menge mindestens D reelle Zahlen braucht, dann ist die topologische Dimension dieser Menge D. Die topologische Dimension einer Menge ist immer eine ganze Zahl.

Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius: N(R)  1 / R

Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Strecke zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch eins: N(R)  1 / R1

Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine Fläche zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius zum Quadrat: N(R)  1 / R2

Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um einen Raum zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch drei: N(R)  1 / R3

Hausdorff Dimension Die Zahl N der Kugeln mit Radius R, die mindestens benötigt wird, um eine D-dimensionale Menge zu überdecken, ist umgekehrt proportional zum Radius hoch D: N(R)  1 / RD = RD Die Dimension D ist nicht immer ganzzahlig.

How Long Is the West Coast of Britain How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D R [km] N(R) L(R) [km] 986,48 0,79 778,30 548,64 1,45 792,80 209,90 4,81 1009,30 101,89 12,85 1309,00 29,95 59,91 1794,90 10,43 251,80 2626,30

N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D Potenzförmige Zusammenhänge werden leicht erkennbar in der doppeltlogarithmischen Darstellung (log-log-Plot) L(R) =   R1D log(L(R)) = log() + (1D)  log(R)

How Long Is the West Coast of Britain How Long Is the West Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension Benoît B. Mandelbrot (1967), Science 156, 636-638 N(R)  RD (R bedeutet hier: Zirkelschritte) gemessene Länge L(R)  R  N(R) = R1D

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. Ausgangskonfiguration

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 1 Iteration

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 2 Iterationen

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 3 Iterationen

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 4 Iterationen

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 5 Iterationen

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 6 Iterationen

Die Koch-Kurve Konstruktion durch Iteration: Jeder Streckenabschnitt wird in drei gleiche Teile geteilt. Das mittlere Stück wird durch zwei Stücke gleicher Länge ersetzt. 7 Iterationen

Wie lang ist eine Koch-Kurve? Ausgangssituation: z.B. 1 m nach 1 Iteration: 4/3 m nach 2 Iterationen: 16/9 m nach n Iterationen: (4/3)n m nach  Iterationen...  m 2 Iterationen

Selbstähnlichkeit Eine Menge ist streng selbstähnlich, wenn eine Vergrößerung einer Teilmenge zu derselben Struktur führt wie die Struktur der gesamten Menge. Die Koch-Kurve ist streng selbstähnlich. Die Mandelbrot-Menge (s. Chaos) ist quasi selbstähnlich: ähnliche Struktur Die Westküste Britanniens ist statistisch selbstähnlich: ähnliche statistische Eigenschaften

Selbstähnlichkeit und Hausdorff-Dimension Eine selbstähnliche Menge sei aus k Teilmengen zusammengesetzt, die der Gesamtmenge im Maßstab 1 : m entsprechen. Für die Gesamtmenge benötigt man N(R) Kugeln des Radius R zur Überdeckung. Für eine der k Teilmengen benötigt man dieselbe Zahl von Kugeln mit Radius R/m. Die Gesamtmenge kann man auch überdecken mit k  N(R) Kugeln des Radius R/m. N(R/m) N(R/m) = k  N(R)  N(R)  RD N(R) =   RD  (R/m)D = k  RD  mD = k  D = log(k) / log(m)