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Fraktale II
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Der Star des Abends:
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Fraktale: Der Plan Großer Rückblick auf Fraktale I
Iteration: Feigenbaum Mandelbrot und Juliamengen Newtonfraktale Stellenwert der fraktalen Geometrie
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Geometrie, eine kurze Geschichte
Vom Geraden zum Krummen, Vom Einfachen zum Komplizierten
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Euklid 325 – 265 v.Chr. Geometrie der Punkte, Geraden, Dreiecke,
Kreise,… Links: Raphael, die Schule von Athen
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Desargues 1591 – 1661 Projektive Geometrie
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Mantegna, um 1500
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Descartes Analytische Geometrie
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Gauss 1777 – 1855 Geometrie der gekümmten Flächen
Nichteuklidische Geometrien
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Riemann 1826 – 1866 Riemannsche Geometrie
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Poincaré 1854 - 1912 Topologie, Geometrie der Verformungen
Mit vielen Mitstreitern
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Hilbert 1862 – 1943 Grundlagen der Geometrie (1899)
Axiomatische Theorie
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Mandelbrot Geb. 1924 Fraktale, Geometrie des Verfransten
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Ein Problem Unterschiedliche Geometrien
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Ein weiteres Beispiel Farn: Verfranst, selbstähnlich Tulpe: Glatt
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Das Problem: Was unterscheidet einen Blumenkohl von einer Kugel?
Was unterscheidet einen Farn von einer Tulpe?
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Warhol: Pollock:
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Salvatore Dali
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Was sind Fraktale? Cantormenge
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Cantormenge
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Sierpinski-Korb
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Mengers Schwamm
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Pythagorasfraktal
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Keine Fraktale
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Fraktale in C
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Barnsleys Farn
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Ein Farn aus dem Saarland
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Was sind Fraktale?
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Was sind Fraktale? Fraktale sind geometrische Objekte: Selbstähnlich,
verfranst, mit komplizierten Rändern
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Selbstähnlichkeit Vergrößerungen von Teilen sehen aus wie das Ganze
Zwei Beispiele: Das Schmidt-Fraktal Der Farn von Barnsley
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Schmidt-Fraktal 1
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Schmidt-Fraktal 2, 3
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Barnsleys Farn
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Verfranstheit Schwierig, lange diskutiert. Lösung: Fraktale Dimension
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Dimensionsbegriffe Vektorraumdimension Topologische Dimension
Hausdorffdimension
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Topologische Dimension (Brouwer)
Punkt: 0-dimensional Kurve: 1-dimensional Fläche: 2-dimensional Körper: 3-dimensional
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Hausdorff 1868 – 1942 Grundzüge der Mengenlehre
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Hausdorffs Überdeckungsdimension:
Überdeckungen bei Maßstabsänderungen. Hier Flächenmaße, 2-dimensional 1 m2 = 102 dm2 = cm2
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Eindimensional p=5 kleine Längeneinheiten N=5 Überdeckungen
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Zweidimensional p = 4 kleine LE N = 16 = 42 ÜD
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Zweidimensional p = 2 kleine LE N = 4 = 22 ÜD
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Dreidimensional p = 3 LE N = 27 = 33 ÜD
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Beliebige Dimension Dim p N 1 5 51 2 4 42 22 3 33 d pd N = Anzahl der
Überdeckungen p = Teile der Einheit N = pd (näherungsweise für alle p)
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Dimensionsbestimmung
Wähle p, zähle N
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Fraktale Dimension
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Ein klassisches Monster
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Klassisches Cantormonster
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Koch-Kurve (1905)
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Sierpinski-Dreieck
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Mengers Schwamm (1926)
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Wie entstehen Fraktale? (Kochkurve)
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Methode I: Ersetzen
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Methode 2: Multikopieren
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Methode 3: Ausschneiden
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Ein Riesenproblem Die Endprodukte sehen gleich aus.
Sind sie auch gleich?
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Wo leben die Fraktale? Man braucht einen vollständigen
metrischen Raum. Die kompakten Teilmengen werden mit der Hausdorff-Metrik versehen. In dem entstehenden vollständigen metrischen Raum fühlen sich die Fraktale pudelwohl.
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Fraktale und Iteration
Reelle quadratische Funktionen: Verhuelst, Feigenbaum Komplexe quadratische Funktionen: Mandelbrot, Julia, Fatou
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Verhuelst/Feigenbaum: Das logistische System
Einfaches Bevölkerungsmodell Feigenbaum: Untersuchung mit Computern
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Das Modell Wachstum einer Bevölkerung xn = Population im n-ten Jahr
Maximum der Population = 1
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Logistisches Modell Annahmen: xn+1 xn xn+1 1 – xn Also:
xi+1 = r • xi • (1 – xi) r = Fruchtbarkeitsparameter
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Einfache Mathematik: xn+1 = f(xn), f(x) = rx(1-x), 0<r< 4
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 1
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 2
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,3
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,5
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,6
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Verhuelst: Start: 0,25, r = 3,9
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Verhuelst: Start: 0,25001, r = 3,9
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Das Feigenbaumdiagramm
Wie entwickelt sich die Population nach langer Zeit für verschiedene Fruchtbarkeiten r?
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Nach tausend Perioden 0 < r< 4
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Nach tausend Perioden 3 < r< 4
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Nach 2000 Perioden: r > 3,5
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Nach 2000 Perioden: r > 3,8
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Ähnlich im Komplexen: f(z) = z2 + c zi+1 = f(zn)
Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?
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Die Zahl z = 3 + 2i
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Die Gausssche Zahlenebene
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Rechnen in C Addition, Subtraktion, Multiplikation: Ohne Probleme.
Division leicht schwieriger. Geometrisch interpretierbar. Beispiel: Addition
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Geometrische Addition
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Eigenschaften von C C ist Körper: Man kann ungeniert rechnen.
C ist vollständig: Die Ebene ist ohne Löcher. x2+1 = 0 ist in C lösbar. C ist nicht angeordnet! C ist „bewertet“, dies sind bestimmte Eigenschaften des Abstandes der Zahlen zum Nullpunkt. C ist dadurch einzigartig.
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Quadratische Iteration in C
f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn) Startwert: z0 (häufig 0), c komplexe Zahl Wie entwickelt sich zn für verschiedene c?
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Was kann passieren? f(z) = z2 + c zn+1 = f(zn), Startwert z0 gegeben
(zn) kann konvergieren gegen Unendlich gehen periodisch sein chaotisch sein
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Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2 +1/8
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Beispiel: z0 = 0, f(z) = z2+1 n zn 0 1 1 2 2 5
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Mandelbrotmenge M f(z) = z2+c, abhängig von z0
Mideal (z0)= {c|zn hat einen Grenzwert} Mreal (z0) = {c| |z1000| < 2} (vereinfacht)
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M(0) (nach Zeitler u.a.)
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Farben: Farbwert abhängig von der Anzahl der Iterationen, bis |zn|≥2:
„Ballistische Fraktale“ Einige Beispiele:
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M, z0 = 0
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M, z0 = 0,5
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M, z0 = -0,5
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M, z0 = -0,5i und z0 = 0,5i
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Eigenschaften von M(0) Symmetrie bzgl. der reellen Achse
Schnitt mit R = [-2,1/4] M(0) ist einfach zusammenhängend (keine Inseln, keine Löcher) Der Rand ist fraktal, fraktale Dimension 2
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Andere Farben:
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Andere Farben:
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Julia 1893 – 1978 Arbeiten über Iteration reeller Funktionen
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Juliamenge J f(z) = z2 + c, abhängig von c
Jideal(c) = {Startwerte| zn hat einen Grenzwert} Jreal(c) = {Startwerte| |z1000| < 2}
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J(0,3+i0,6)
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J(1)
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J(-1)
102
J(i)
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J-Mengen (Wikipedia)
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Eigenschaften von J-Mengen
Jede J-Menge ist nicht leer, kompakt , perfekt (gleich der Menge ihrer Häufungspunkte). Die Ränder sind fraktal.
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J und M-Mengen Starker innerer Zusammenhang
M(0) enthält einen Katalog aller J-Mengen
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M- und J-Mengen (Zeitler)
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Eine Verallgemeinerung
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Newtonfraktale
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Newton
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Newton-Verfahren Näherungsweise Bestimmung von Nullstellen einer
Funktion Klappt auch in C
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Aus dem FS: Es gibt drei dritte Wurzeln von 1
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N-Verfahren für z3 – 1 =0 Farbgebung nach Divergenz- Geschwindigkeit
Die Ränder der Newtonmenge sind fraktal
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N(z3-1)
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N(z3-1) (Zoom)
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Anwendung I: Bildkompression
Aus 10 MB Tiff werden 3 MB BMP 500 KB GIF 100 KB JPG 70 KB FIF, beliebig skalierbar
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Anwendung II: Virtuelle Welten
Beispiel: Krieg der Sterne Anbieter: George Lucas
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Weitere Anwendungen Druckersteuerung Wie überstehen Bäume Stürme?
Fraktale Unternehmen? (Warnecke) Vorhersagen (Börsenkurse) Lindenmayer-Systeme
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Lindenmayer-Systeme
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Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie:
Gut zum Beschreiben, schlecht zum Erklären. Fraktale und Chaos (dynamische Systeme): Fraktale: Der geometrische Aspekt Chaos: Der dynamische Aspekt
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Versuch einer Wertung Fraktale Geometrie: Chaos: Nicht mehr in,
kaum neue Literatur, kaum neue Anwendungen. Chaos: Äußerst lebendig, hochkarätige Forschung.
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Versuch einer Wertung Fraktale auf dem Computer: Sehr aktive Szene,
Wettbewerbe, Ausstellungen im Internet. Auch fraktale Musik, Videos (Reisen durch Fraktale)
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Literaturtipps Zeitler/Pagon: Fraktale Geometrie Vieweg 24,90 €
Peitgen u.a.: The Beauty of Fractals Springer ,34 € Peitgen u.a: Bausteine des Chaos Fraktale Mandelbrot: Die fraktale Geometrie der Natur Birkhäuser 28,00 €
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Wenn Sie mehr wissen wollen
Da werden Sie geholfen. Spanky-Homepage Clifford Pickover Computergrafik an der TU Wien
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Windowsprogramme Fractint (DOS-Version) Winfract Fdesign Ultrafract
Xfract
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Noch einige Fraktale
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Oder
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Zum Ende: Herzlichen Dank, auf fraktalisch, im Dialekt der IFS
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Herzlichen Dank (auf fraktalisch)
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