Pareto, Zipf, Mandelbrot: Selbstähnlichkeit in Natur und Gesellschaft 1848-1923 1902-1950 1924-

Literatur Vilfredo Pareto: Cours d’Economie Politique (Genf, 1896) George Kingsley Zipf: Human Behavior and the Principle of Least Effort (Reading, MA, 1949) Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature (New York, 1977) Mark E.J. Newman: Power laws, Pareto distributions and Zipf’s law Contemporary Physics 46 (2005) 323-351.

Häufigkeitsverteilungen I Körpergröße Geschwindigkeit von Autos M.E.J. Newman (2005)

Die Normalverteilung Carl Friedrich Gauß, 1777-1855

Häufigkeitsverteilungen II Städte mit mehr als 10000 Einwohnern nach: Auerbach (1913); Lotka (1925); Zipf (1949)

→ Gerade mit Steigung -(α+1) Potenzgesetze Häufigkeit von “Ereignissen” der Größe X: Doppellogarithmische Auftragung: → Gerade mit Steigung -(α+1) Kumulative Verteilung:

Zipf-Plot Ordne N Ereignisse X1,…,XN ihrer Größe nach: Trage dann Xr gegen den Rang r auf, so gilt für große N Für die Größenverteilung von Städten ist der Exponent

Zipf’sches Gesetz für Worthäufigkeiten aus: Per Bak, How Nature Works (New York, 1996)

Pareto-Verteilung von grossen Vermögen Forbes 400, nach Klass et al. (2007)

Verteilung von Einkommen Chatterjee et al., 2007

Große und kleine Einkommen A.C. Silva, V.M. Yakovenko 2005

aus: Capital 26/2007

Was haben Potenzgesetze mit Selbstähnlichkeit zu tun? aus: Capital 26/2007

Selbstähnlichkeit und Skaleninvarianz Bei einer Potenzverteilung sind relative Häufigkeiten unabhängig vom Maßstab (=skaleninvariant): für jedes X, b Die Potenzverteilung ist die einzige Funktion mit dieser Eigenschaft Skaleninvarianz als (statistische) Symmetrie komplexer Systeme

Gutenberg-Richter Gesetz für Erdbeben B. Gutenberg, R.F. Richter 1944 Richter-Skala: E: freigesetzte Energie E0=63 kJ

Aussterben biologischer Arten Aussterbeereignisse für Familien mariner Spezies M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

Häufigkeitsverteilung der Aussterbeereignisse M.E.J. Newman & R.G. Palmer (1999), nach J.J. Sepkoski Jr. (1993)

Zahl von Kriegsopfern L.F. Richardson (1960); N.F. Johnson et al. (2006)

1/f-Rauschen Frequenzspektrum der Spannungsschwankungen in einem Widerstand: M.A. Caloyannides (1974)

1/f-Rauschen in der Musik „Music mimics the way the world changes in time.“ (R.F. Voss)

Geometrische Skaleninvarianz/Fraktale Geometrie “Wolken sind keine Kugeln, Berge keine Kegel, Küsten- linien keine Kreise. Die Rinde ist nicht glatt – und auch der Blitz bahnt sich seinen Weg nicht gerade.” Benoit B. Mandelbrot

How long is the coast of Britain? B. B. Mandelbrot, 1967 Maßstabsabhängige Länge: fraktale Dimension

Deterministische Fraktale “Vicsek-Schneeflocke” Dimension:

Statistische Skaleninvarianz Simulation der ballistischen Abscheidung unter schrägem Einfall JK, P. Meakin (1989)

Diffusion-limited aggregation (DLA) T.A. Witten, L.M. Sander 1981

Statistische Skaleninvarianz von DLA P. Meakin, Fractals, scaling and growth far from equilibrium

Selbstähnlichkeit in der Geologie Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

Selbstähnlichkeit in der Geologie Aus: D. Sornette, Critical Phenomena in Natural Sciences (2000)

Further progress in this field depends upon establishing a more substantial theoretical base in which geometrical form is deduced from the mechanisms that produce it…Without that underpinning much of the work on fractals seems somewhat superficial and even slightly pointless. Physics Today 1986

Exploring the consequences of self-similarity was proving full of extraordinary surprises, helping me to understand the fabric of Nature. By contrast, the muddled discussion of the causes of scaling had few charms.

Der kritische Punkt T. Andrews: “On the continuity of the gaseous and liquid states of matter” Proc. Roy. Soc. (1869)

Skaleninvarianz nur am kritischen Punkt T < Tc T = Tc T > Tc aus: H.W. Diehl, Essener Unikate 1999

Skaleninvarianz am kritischen Punkt Kenneth G. Wilson: Nobelpreis 1982 “for his theory of critical phenomena in connection with phase transitions”

Self-organized criticality

Self-organized criticality Per Bak (1948-2002)

Das Sandhaufen-Modell Elaine Wiesenfeld

Das Sandhaufen-Modell Klötzchen rutscht abwärts wenn Höhendifferenz > 1 Dadurch können weitere Klötzchen instabil werden → es entsteht eine Lawine

Das Sandhaufen-Modell Lawinenverteilung ist ein Potenzgesetz

Experimente mit Langkornreis Frette et al., Nature 379, 49 (1996)

Schlusswort „The sandpile theory – self-organized criticality – is irresistible as a metaphor.” Al Gore, Earth in the Balance (1992)