Genetische Algorithmen für die Variogrammanpassung Inhalt: Einleitung: zufälliges Feld, Isotropie,... Motivation: Variogramm-Anpassung Genetische (Such-)Algorithmen: Zielstellung Beschreibung des Algorithmus anhand eines Beispiels Anwendung: Variogramm-Anpassung

Einleitung Ein Zufallsfeld Z(x, ) ist eine zufällige Funktion, die sowohl von den Elementarereignissen  als auch von einem Vektor x abhängt. Z(x, ) ist also eine Zufallsvariable. Ein stationäres Zufallsfeld heißt isotrop, falls Z(x, ) seine Eigenschaften bei Verschiebungen und Drehungen nicht ändert; dies wird bei diesem Vortrag stets vorausgesetzt.

Einleitung Als empirisches Variogramm bezeichnet man die Funktion Diese Funktion soll durch x(h) approximiert werden Nimmt man als Funktionenklasse für x(h) exponentielle Funktionen mit Nugget-Effekt, so ergibt sich mit x = (a, b, c)

exponentiell mit Nuggeteffekt: x = (a, b, c) empirisches Variogramm: (mit im Bild: theoretisches Variogramm: sphärisch mit Nugget-Effekt)

Motivation: Variogrammanpassung gegeben: -empirisches Variogramm -parametrisches isotropes Variogramm-Modell x(h) z.B. exponentiell mit Nugget-Effekt: mit x = (a, b, c); a, b, c gesucht: -möglichst gute Parameter für das theoretische Variogramm-Modell

Parameteranpassung z. B. mittels GAen Bewertungsfunktion soll minimiert werden mit oder

GAen: Grundidee Nachbau der genetischen Selektion: -Überleben der Stärksten -Kreuzung / Paarung -Mutation (selten)

Problem- und Zielstellung des Algorithmus Gegeben: -diskreter Parameterraum P; meist: P={0,1}b -Bewertungsfunktion f: P  R+ -Populationen Popk: m-Tupel mit Elementen aus P, Pop1 zufällig Zielstellung: -Bewertungsfunktion f maximieren

Beispiel: Blackbox Blackbox mit 5 Schaltern Schalter entsprechen Bits - Bewertungsfkt: f(x) = x² Bild: x = (10110)2 = 22 => f(x) = 22² = 484 Die Eigenschaften (z.B. lokale Minima o. ä.) sind dem GA unbekannt!

Vorab: 1. Population m=Populationsgröße; Popk=(xk,1,...,xk,m); xk,i=(xk,i,1,...,xk,i,b) hier: m=4; b=5 => Pop1 = (x1,1,...,x1,4) und - zufällig gewählt: x1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 13; x1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) = 24; x1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) = 8; x1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) = 19

Grundmuster der GAen 1. Reproduktion 2. Kreuzung 3. Mutation Ein GA besteht aus 3 Teilen: 1. Reproduktion 2. Kreuzung 3. Mutation

1. Teil: Reproduktion -Population Popk bewertet mit f(xk,i) (i=1,...,m) -xk,i erhält Reproduktionswkt. pi: -neue Population Popk+1: xk+1,i = xk,j mit Wkt. pj (i,j=1,...,m)

Bsp: Berechnung der Wkten pi x1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) => f(x1,1) = 169 => p1 = 0,14 x1,2 = (1, 1, 0, 0, 0) => f(x1,2) = 576 => p2 = 0,49 x1,3 = (0, 1, 0, 0, 0) => f(x1,3) = 64 => p3 = 0,06 x1,4 = (1, 0, 0, 1, 1) => f(x1,4) = 361 => p4 = 0,31 =>

Bsp: Reproduktion x1,1 = (0, 1, 1, 0, 0) => p1 = 0,14 => 1 => Pop2 = (x1,1, x1,2, x1,2, x1,4) - vorerst!

2. Teil: Kreuzung -Paare werden zufällig gebildet -Eigenschaften (xk,i,j) , k fest werden zufällig gekreuzt -mit zufälliger Wkt. pc (meist pc  0,9) -angepasst an Problem

Bsp: Kreuzung x2,1 = (0, 1, 1, 0, 1) => (0, 1, 1, 0, 0) Kreuzungen: -nach zufälliger Stelle -mit zufälliger Wkt. pc = 0,9

3. Teil: Mutation -zufällige Änderung jedes Parameters xk,i,j mit Wkt. pm  0,001 -Ziel: „ungewöhnliche“ Maxima finden (Sprungstelle o. ä.)

Bsp: Mutation x2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) bleibt

Endpopulation nach 1. Schritt x2,1 = (0, 1, 1, 0, 0) = 12 => f(x2,1) = 144 x2,2 = (1, 1, 0, 0, 1) = 25 => f(x2,2) = 625 x2,3 = (1, 1, 0, 1, 0) = 26 => f(x2,3) = 676 x2,4 = (1, 0, 0, 0, 0) = 16 => f(x2,4) = 256 Ergebnis nach 1. Durchlauf: x2,2 (=26).

Abbruchbedingung Z. B.: Verbesserung der Bewertung gering (~0,1%) feste Anzahl von Durchläufen

Besonderheiten von GAen mehrere Elemente gleichzeitig (im Gegensatz zum Newton-Verfahren o. ä.) direkte Bewertungsfunktion probabilistischer Ansatz

Vor- und Nachteile von GAen + finden globale Maxima + Unempfindlichkeit gegenüber Störungen und Rauschen + universelle Einsetzbarkeit keine Verwendung von Zusatzinformationen => gut geeignet für Variogrammanpassung

Anwendung: exponentielles Variogramm mit Nuggeteffekt Gegeben: -Messdaten z(x1),...,z(xn) => zu approximierendes empirisches Variogramm -Parameterraum P=R+³ mit: -Nugget-Effekt-Parameter: Sill a -exponentielle Parameter: Sill b & Range c x=(a, b, c)

Anpassung des Algorithmus diskreter Parameterraum Anfangspopulation Bewertungsfunktion Reproduktion Kreuzung Mutation Abbruchbedingung

1. Parameterraum 3 Parameter: Nugget-Sill a, exp. Sill b, exp. Range c sinnvollen Parameterbereich definieren Abbildung vom 2b in den jeweiligen Parameterbereich

2. Anfangspopulation Pop1=(x1,1,..., x1,m); x1,i = (a1,i, b1,i, c1,i) zufällig gewählt aus der Erfahrung ergibt sich: mindestens m=100 (je nach Rechenzeit)

3. Bewertungsfunktion Es gilt: wobei f(x) minimiert werden soll!! : Wert der Modellfunktion bei hi : Wert der empirischen Funktion bei hi

4. Reproduktion Wegen Minimierung anders: mit

5. Kreuzung findet mit pc statt (pc  0,9) Möglichkeit 1: Parameter vertauschen Möglichkeit 2: innerhalb der Parameter kreuzen jeweils an Stelle j mit Wahrscheinlichkeit qj

Beispiel zu Möglichkeit 1: vorher vorher nachher nachher

6. Mutation an jeder Stelle mit Wkt. rj  0,001

7. Abbruchbedingung nur minimale Verbesserung des besten theoretischen Variogramms (~0,1%) feste Anzahl von Durchläufen