Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Frank Hauser 2010

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik In der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist die Grundgesamtheit bekannt sowie deren stochastische Eigenschaften. Dadurch lassen sich Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen bestimmen... In der (beurteilenden) Statistik möchte man von ausgehenden Stichproben auf Eigenschaften und Größe einer unbekannten Grundgesamtheit oder Wahrscheinlichkeit schließen Wo beginnt die Statistik...? Klare Abgrenzung von der Wahrscheinlichkeitsrechnung:

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Grundgedanken des Hypothesentests Die Schüler können anhand ihnen zugänglicher Problemfelder selbst die Grundgedanken des Hypothesentests erarbeiten und aufgrund nachprüfbarer Eigenschaften der Grundgesamtheit ihre Ergebnisse validieren: Dabei spielen folgende Problemfelder eine Rolle: Grundgesamtheit / Stichprobenumfang Annahme / Ablehnungsbereich Irrtumswahrscheinlichkeiten bei Tests Signifikanzproblematik

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Alle Hypothesentests lassen sich auf das Grundmodell der Wahrscheinlichkeitsrechnung übertragen: dem Urnenmodell Zurückführung auf das Urnenmodell Grundgesamtheit: N Gesamtheit der Testgröße:S Stichprobenumfang:n Testgröße innerhalb der Stichprobe: s

Problemfeld Schule als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik Geschlechterfrage Die Schulleitung behauptet, der Mädchenanteil der Schule liegt bei mind. 60%... Wie könnten wir das überprüfen, ohne alle Mädchen der Schule zählen zu müssen... Oder wie ginge das, wenn der weibl. Anteil einer noch größeren Gruppe - etwa eines ganzen Landes - erfasst werden soll...?

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Idee einer Stichprobe: z.B. der eigene Mathematikkurs mit 24 S.: 14 Jungen, 10 Mädchen... Ist damit schon sicher, dass die Aussage nicht stimmt oder stimmen kann...? Wie aussagekräftig ist eigentlich eine Stichprobe...? Grundgesamtheit Stichprobenumfang Übersetzen ins Urnenmodell: z.B. N = 1000 Schüler (Gesamt)S = ? n = 24s = 10

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Welche Fehler kann man bei vorschnellem Reagieren machen und mit welcher Wahrscheinlichkeit werden diese dann gemacht...? Irrtumswahrscheinlichkeiten Fehler Erster mögliche Fehler: Angenommen, ich glaube nicht an die Aussage (mind. 60% Mädchenanteil), mit welcher W. irre ich mich? binompdf(24,0.6,10) = 0,032 = 3,2% Bzw. wenn man bedenkt, dass auch weniger als 10 Mädchen zu meiner gleichen Haltung geführt hätten: binomcdf(24,0.6,10) = 0,053 = 5,3%

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Zweiter mögliche Fehler: Angenommen, die Aussage (mind. 60% Mädchenanteil), stimmt gar nicht, ich glaube aber dennoch an die Aussage...): p = 1 - binomcdf(24,?,9) wobei ? der tatsächliche prozentuale Mädchenanteil ist. Nimmt man als W. näherungsweise wieder 0,6 so erhält man p = 1 - binomcdf(24,0.6,9) = 97,8% (!) Oder etwa nur 0,5 (50% Mädchenanteil) so erhält man immer noch p = 1 - binomcdf(24,0.5,9) = 84,6% (!)...

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Hieraus folgt sofort eine Diskussion über Annahme- und Ablehnungsbereiche... und deren Auswirkungen auf die eben besprochenen Wahrscheinlichkeiten... Annahmebereich Ablehnungsbereich Ebenso schließen sich hier Fragen an, wie die beiden Fehler miteinander korrelieren und von weiteren Parametern abhängen... Fehler 1. Art Fehler 2. Art

Problemfeld Schule als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik JA-NEIN-Ratetest Der Lehrer prüft bei einem Abfragetest mit 20 Fragen Euer Wissen. Jede Frage ist nur mit JA oder NEIN zu beantworten. (Ankreuztest) Führt im Kurs einen solchen Test durch. Ein Teil des Kurses kreuzt nach Wissen, ein anderer durch Raten an. (z.B. Ankreuzen ohne durchzulesen...) Erarbeiten Sie eine Strategie um herauszufinden, bei wie vielen richtigen Antworten der Lehrer über Wissen oder Raten entscheiden kann, wenn dieser eine bestimmte Irrtumswahrscheinlichkeit nicht überschreiten will...

Problemfeld Schule als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik Abizeitung Um Kosten für die Abizeitung zu sparen bietet eine Druckerei einen Sonderpreis für den Druckauftrag an. Um dennoch eine gute Qualität zu gewährleisten (insbesondere der Bindung) wird ein Preisnachlass gewährt, sollte der Druckauftrag mehr als 10% unzureichend gebundene Exemplare enthalten. Man einigt sich auf eine Stichprobe von 20 Exemplaren. Ab welcher Anzahl defekter Exemplare sollte man auf dem Preisnachlass bestehen, wenn man auf eine Irrtumswahrscheinlichkeit von höchstens 5% setzt?

Problemfeld Schule als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik Mensa Die Mensa ging bisher davon aus, dass neben den fest vorbestellten Essen im Schnitt maximal 10% zusätzliche spontane Essensbestellungen anfallen... Planen Sie hierzu einen möglichen Test und legen Sie vor Entnahme der Stichprobe (Befragung) den Bereich fest, bei dem Sie die obige These verwerfen werden. Wie hoch sind die Fehlerwahrscheinlichkeiten? Aus wessen Sicht ist Ihr Annahme- bzw. Verwerfungsbereich sinnvoll? Weitere einführende Fragen, die die Schüler an das Hypothesentesten heranführen könnten...:

Gesellschaftliches Umfeld als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik: Theoretische Führerscheinprüfung Das Straßenverkehrsamt geht von ca. 600 Standardverkehrssituationen aus, von denen ein Proband mindestens 550 beherrschen sollte. Da innerhalb eines Tests nicht alle Situationen abgefragt werden können, beschränkt man sich auf 50 zufällig ausgewählte Fragen. Um den Test zu bestehen, müssen mindestens 45 Fragen richtig beantwortet werden... Übertragen Sie dies in das Urnenmodell und diskutieren Sie, welche Fehler ein Test dieser Art birgt... Welcher dieser Fehler ist problematischer?

Gesellschaftliches Umfeld als Experimentierfeld: Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Problematik: Bürgerentscheid (z.B. zu Bauvorhaben) Die Stadtverwaltung plant ein Bauvorhaben und behauptet, dass mindestens etwa 70% der Einwohner das Projekt ebenfalls befürworten. Eine Bürgerinitiative dagegen ist davon überzeugt, dass der tatsächliche Prozentsatz deutlich geringer ist. Sowohl die Stadtverwaltung als auch die Bürgerinitiative möchten ihre These mit Hilfe eines Tests belegen. Diskutiert nach welchen unterschiedlichen Kriterien der Test jeweils bewertet werden könnte...

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Ausgangsfrage: Wie gut kann man den Zufall simulieren...? ODER: Kann ein Mensch glaubwürdig den Zufall hervorbringen...? Selbständiges Entdecken des Grundprinzips des Hypothesentest anhand von Vermutungen über Abweichungen ihrer generierten Zufallszahlen vom echten Zufall Artikel von Timo Leuders: PM - Praxis d. Mathematik i.d. Schule, Heft 4/2005 Mathematisches Umfeld als Experimentierfeld:

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Kompetenzorientierter Gedanke Die Schüler erstellen aus einem Ihrer überprüfbaren Experimentierfelder ein statistisches Problem und formulieren hieraus eine Nullhypothese. Die Schüler planen einen Test, indem sie vor der Durchführung von Stichproben aufgrund ihres sinnvoll gewählten Signifikanzniveaus einen Ablehnungsbereich festlegen. Die Schüler lernen, dass ihre Entscheidung aufgrund des Stichprobenergebnisses mit Wahrscheinlichkeiten und möglichen Fehlern behaftet ist, die sich gegenseitig bedingen Durch Übersetzen in das Urnenmodell können die Schüler diese Wahrscheinlichkeiten berechnen

... Zum Abschluss ein Vergleich zur Vorgehensweise...

Modellierung und Kompetenzorientierung in der Statistik Otto M. Kaiser: Testen von Hypothesen ETH Hochschule Zürich Timo Leuders: Den Zufall im Griff Stochastische Vorstellungen entwickeln PM Praxis d. Mathematik i.d. Schule August 2005 Heft 4 Artur Engel: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Klett Studienbücher, Band 1, 1976 Quellen