Wahrscheinlichkeitsrechnung Übersicht Gym 13 Nicole Fröhlich, Stephan Baldes

Wahrscheinlich- keitsrechnung Begriffe Stochastik Wahrscheinlich- keitsrechnung Kombinatorik Statistik

Zufallsexperimente Definition: Ergebnis Ergebnismenge wiederholbar, Ergebnis nicht vorhersehbar Ergebnis Möglicher Ausgang eines ZE: Ergebnismenge Mächtigkeit Bsp: Werfen eines Würfels

Mehrstufige Zufallsexperimente Bsp: 3-mal Münze werfen Baumdiagramm Ergebnismenge Ω= {(wIwIw), (wIwIz), (wIzIw), (wIzIz), (zIwIw), (zIwIz), (zIzIw), (zIzIz)} Wahrscheinlichkeit vom Ereignis: A=„2x Wappen oder 2x Zahl“

Ereignisse Mengentheoretische Definition Bsp: ZE: Werfen eines Würfels Jede Teilmenge A von eines Zufallsexperiments nennt man Ereignis. Bsp: ZE: Werfen eines Würfels Ergebnismenge Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} Ereignis A: „Augenzahl gerade“ A = { 2; 4; 6 } Unmögliches Ereignis „Augenzahl größer als 9“ C = { } Sicheres Ereignis D = { 1; 2; 3; 4; 5; 6 } Gegenereignis E = A = { 1; 3;5 } Elementarereignis F = { 3 } Mächtigkeit eines Ereignisses |A|=3 |Ω|=6, Wieviele Ereignisse gibt es? Anzahl der Teilmengen von Ω: |P(Ω)|= 26 =64

Verknüpfung von Ereignissen Ereignissprache und Mengensprache für Das Ereignis tritt nicht ein. Beide Ereignisse treten ein (= A und B treten ein) Mindestens eins von beiden tritt ein. (= A oder B tritt ein). Keines von beiden tritt ein (= Weder A noch B treten ein). Höchstens eins von beiden tritt ein (= Nicht beide treten ein). Das erste tritt ein, das zweite nicht. Genau eins von beiden tritt ein.

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Venn-Diagramm für Vierfelder-Tafel für Gegenereignisregel P(Ā) = 1 - P(A) Additionsregel P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Zerlegungsregel P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B ) Elementarereignisregel (s. Kolmogoroff) P(A) = P(ω1)+ P( ω2)+…+ P( ωn) Regeln von de Morgan

Wahrscheinlichkeitsmaß Am Bsp Gesetz der großen Zahlen: für große n Wahrscheinlichkeitsverteilung am Urnen-Bsp Laplace-Formel

Baumdiagramme und Pfadregeln Bsp ZE: Urne mit 2 schwarze und 3 weiße Kugeln, 2-mal ziehen ohne Zurücklegen

Bedingte Wahrscheinlichkeit Bsp Urne 3 rote 1 weiße, zweimal ziehen ohne zurücklegen Baumdiagramm A=„rot im ersten Zug“ B=„rot im zweiten Zug“ P(B) unter der Bedingung A

Bedingte Wahrscheinlichkeit 2 Bsp 4 S. 21 vorrechnen