Stochastik I Erwartungswert Eine Aussage über die Zukunft

Beispiel 1 - Gewinnspiel Würfelspiel X: Gewinn in € Gewinnplan: Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn 1 € -2 € 0 € 3 €

10-malige Durchführung 1 2 3 4 5 6 1 € -2 € 0 € 3 € Augenzahl Gewinn Absolute Häufigkeit Relative Häufigkeit

Durchschnittlicher Gewinn pro Spiel Arithmetisches Mittel (durchschnittlicher Gewinn pro Spiel): Verkürzt: Gewinn -2 € 0 € 1 € 3 € Relative Häufigkeit

Vergangenheit -> Zukunft Arithmetisches Mittel macht eine Aussage über die Vergangenheit. Wie lässt sich eine Aussage über die Zukunft machen? ZU ERWARTENDER (DURCHSCHNITTLICHER) GEWINN PRO SPIEL

Erwartungswert E(X) = -2 1 3 Xi in € -2 1 3 P(X=xi) Augenzahl 1 2 3 4 5 6 Gewinn 1 € -2 € 0 € 3 € E(X) = Bei sehr vielen Spielen kann man mit einem durchschnittlichen Gewinn von 0,17€ pro Spiel rechnen.

Erwartungswert E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Statt E(X) schreibt man auch μ. Ein Spiel heißt fair, wenn der Erwartungswert des Gewinns für jeden Spieler 0 ist.

Stochastik II Binomialverteilte Zufalls-variablen Bernoulli-Experimente

Bernoulli-Experiment Was ist das? Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment mit nur zwei Ergebnissen ODER ein Experiment, das als Experiment mit nur zwei Ergebnissen interpretierbar ist.

Bernoulli-Experiment Wie sehen die Wahrscheinlichkeiten aus? Wahrscheinlichkeit für Treffer: p Wahrscheinlichkeit für Niete: 1-p

Bernoulli-Experiment Beispiel: Werfen eines Würfels: Ergebnisse: „6“ (Treffer) oder „Keine 6“ (Niete) Wahrscheinlichkeiten: P(„6“)=1/6 P(„Keine 6“)=1-(1/6)=5/6

Bernoulli-Kette Was ist das? Besteht ein Zufallsexperiment aus einem mehrfach durchgeführten Bernoulli-Experiment, so nennt man es Bernoulli-Kette. Wird es n-mal durchgeführt, heißt es Bernoulli-Kette der Länge n. Darstellung als Baumdiagramm möglich

Bernoulli-Ketten Beispiel: Werbung: Figur in jedem siebten Ü-Ei Wie wahrscheinlich ist es, bei drei Eiern genau eine Figur zu erhalten?

Bernoulli-Ketten Zur Wahrscheinlichkeit für genau eine Figur gehören die folgenden drei Pfade P(FNN)= P(NFN)= P(NNF)= P(„1F“)= Anzahl der Pfade

Bernoulli-Ketten Problem Lösung Für größere n (z.B. n=10) sehr aufwendig und unübersichtlich! Lösung Einführung einer Zufallsvariable Benutzen der Binomialkoeffizienten

Erweitertes Beispiel Kauf von 10 Ü-Eiern Wahrscheinlichkeit für genau 4 Figuren n=10 X: Anzahl der Treffer bzw. der Figuren, X=4 p= , 1-p= P(X=4)=

Bernoulli-Ketten Zufallsvariable Binomialkoeffizienten X: Anzahl der Treffer in n Versuchen Binomialkoeffizienten Anzahl der Möglichkeiten k Treffer in n Versuchen anzuordnen Wahrscheinlichkeiten Trefferwahrscheinlichkeit p Nietenwahrscheinlichkeit 1-p Zufallsvariable: fasst mehrere Ergebnisse zusammen zu einem Ereignis, nämlich 0,1,2 o.ä. Treffer -> Vereinfachung Binomialkoeffizienten: ersparen die Arbeit jeden Weg mit z.B. 1 Treffer erneuet durchzurechnen, denn entlang jedes dieser Wege kommen nur die gleichen Wahrscheinlichkeiten vor -> man erhält also alle Wege, in denen genau ein Treffer vorkommt.

Formel von Bernoulli P(X=k)= n Versuchswiederholungen p Trefferwahrscheinlichkeit 1-p Nietenwahrscheinlichkeit P(X=k) Wahrscheinlichkeit für k Treffer

Beispiel: Tierarzt Ein Tierarzt behandelt 20 kranke Tiere mit einem Medikament, das in 80% zur Heilung führen soll. Wie wahrscheinlich ist es, dass mindestens 19 Tiere geheilt werden? P(X≥19)= Also werden in fast 38% der Fälle mindestens 9 von 10 Tieren geheilt

Erwartungswert Erwartungswert für die Anzahl der geheilten Tiere? Allgemeine Formel: E(X)=x1 - P(X= x1)+x2 - P(X= x2)+... xn - P(X= xn) Hier gilt: E(X)= Einfachere Berechnung: E(X) = 20 - 80% = 16

Erwartungswert bei einer Bernoulli-Kette E(X) = n - p n Länge der Bernoulli-Kette p Trefferwahrscheinlichkeit E(X) Erwartungswert für die Zufallsvariable X