Herzlich Willkommen Der goldene Schnitt Vortragsthema: Sebastian Grothe

1 Definition und Grundeigenschaften Inhalt 1 Definition und Grundeigenschaften 1 Definition und Grundeigenschaften 1.1 Definition und Herleitung des Zahlenwertes 1.2 Konstruktion mit Zirkel und Lineal 1.3 Goldener Winkel & Spirale 2 Historisches 2 Historisches 3 Beispiele 3 Beispiele 3.1 Architektur 3.2 Kunst 3.3 Biologie 3.4 Die Fibonacci-Zahlen 4 Zusammenfassung 4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Der goldene Schnitt – Was ist das überhaupt? bestimmtes Verhältnis zweier Zahlen zueinander beispielsweise Längen & Strecken: 2 Historisches 3 Beispiele Doch das reicht uns als angehende Mathematiker nicht aus! 4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Definition Bei dem Goldenen Schnitt (lat. sectio aurea) handelt es sich um ein mathematisches Verhältnis, das von zwei Zahlen erfüllt wird, wenn diese unterschiedlich groß sind und sich die größere Zahl zur kleineren so verhält, wie die Summe beider Zahlen zur größeren. Die größere der beiden Zahlen wird im Folgenden mit dem Buchstaben M (für lat. maior) bezeichnet, die kleinere mit dem Buchstaben m (für lat. minor). 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Wir wollen den „genauen“ Zahlenwert ermitteln: Zahlenwert oft als Konstante Φ (Phi) bezeichnet 2 Historisches 3 Beispiele Φ ist eine irrationale Zahl Goldener Schnitt wird auch als stetige Teilung bezeichnet, denn: subtrahiert man die kürzere der beiden Strecken von der längeren, so erhält man eine Strecke, zu der die kürzere wiederum im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht 4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Herleitung Gegeben sei eine Strecke der Länge m = 1, wobei Einheiten, da es sich um ein Verhältnis handelt, vernachlässigt werden können. Sucht man nun eine Strecke mit der Länge M, die sich zu der Strecke mit der Länge m im Goldenen Schnitt verhält, ergibt sich folgende Gleichung, die sich direkt lösen lässt: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Definition und Herleitung 1 Definition und Grundeigenschaften Herleitung Da negative Streckenlängen nicht existieren, kann zunächst M2 vernachlässigt werden. Relevant ist die Lösung M1, die nämlich exakt die Zahl Φ liefert, was anhand der Ausgangsgleichung belegbar ist: 2 Historisches 3 Beispiele Die Konstante Φ ist also durch einen gewöhnlichen Bruchterm, der jedoch nicht nur natürliche Zahlen enthält, ausdrückbar. Sie zählt daher zu den irrationalen Zahlen. 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Gibt mehrere Möglichkeiten („innere Teilung“): Skizze 2 Historisches 3 Beispiele Strecke AB zeichnen und Strecke BC senkrecht zu AC, wobei AC halb so lang ist wie AB Strecke AC zeichnen, Zirkel in C ansetzen mit Radius BC, Schnittpunkt auf AC mit D bezeichnen 4 Zusammenfassung Zirkel in A ansetzen mit Radius AD, Schnittpunkt auf AB mit S kennzeichnen

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „inneren“ Teilung nach Euklid: - Errichte auf Strecke AB im Punkt A eine Senkrechte der halben Länge von AB mit dem Endpunkt C 2 Historisches Der Kreis um C mit dem Radius CB schneidet die Verlängerung von AC im Punkt D 3 Beispiele Der Kreis um A mit dem Radius AD teilt die Strecke AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „äußeren“ Teilung: Skizze 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Möglichkeit der „äußeren“ Teilung nach Euklid: Errichte auf Strecke AS im Punkt S eine Senkrechte der Länge AS mit dem Endpunkt C - Konstruiere Mitte M der Strecke AS 2 Historisches 3 Beispiele Der Kreis um M mit dem Radius MC schneidet die Verlängerung von AS im Punkt B. S teilt AB im Verhältnis des Goldenen Schnittes 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktionsbeweis 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften Teilt man ein goldenes Rechteck in ein Quadrat und ein weiteres Goldenes Rechteck und wiederholt diesen Vorgang immer wieder ergibt sich folgendes Bild: 2 Historisches 3 Beispiele ergibt sich logarithmische Spirale, deren Radius sich um Φ bei jeder Vierteldrehung ändert 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Die Goldene Spirale 1 Definition und Grundeigenschaften Und nun betrachtet einmal das Kalkgehäuse einer Nautilus (Schneckenart): 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Besonders eindruckvoll tritt der goldene Schnitt bei regulären Fünfecken in Erscheinung. EUKLID führt in seinen Elementen den goldenen Schnitt vor allem aus dem Grund ein, um mit seiner Hilfe, das reguläre Fünfeck mit Zirkel und Lineal konstruieren zu können. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Man nutzt aus, dass die Diagonalen im Fünfeck gleich lang sind und sich im Verhältnis des Goldenen Schnittes teilen. Gegeben sei die Diagonale d=AB des Fünfecks. Man teilt sie im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Siehe Konstruktion Innere Teilung) 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Konstruktion Die Punkte A,B und T sind also gefunden. Trage die Strecke AT von B aus auf AB ab. P1 entsteht. Zeichne um T und P1 Kreise mit dem Radius TB. P2 und P3 entstehen. Zeichne die Geraden P1P2, P2T, AP3 und BP3. Es entsteht ein Stern. Verbinde die Spitzen des Sterns. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Fünfeck und darin enthalten das Pentagramm: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Na und wofür ist das wichtig? 1 Definition und Grundeigenschaften Im Pentagramm lassen sich wieder Strecken finden, die im Verhältnis des Goldenen Schnittes stehen: 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Wie konstruiere ich so eine Strecke? 1 Definition und Grundeigenschaften Das Fünfeck und das Pentagramm Zu jeder Strecke und Teilstrecke im Pentagramm findet sich ein Partner, der mit ihr im Verhältnis des Goldenen Schnitts steht. In der Abbildung sind alle drei möglichen Streckenpaare jeweils blau (längere Strecke) und orange (kürzere Strecke) markiert. Das Pentagramm lässt sich auch als aus fünf Goldenen Dreiecken zusammengesetzt denken. Verbindet man die fünf Schnittpunkte im inneren, so entsteht dort ein weiteres Pentagram. Selbst wenn man in dessen inneres Fünfeck wieder ein Pentagramm einzeichnet und so fort, sind sämtliche in dieser Zeichnung auffindbaren Dreiecke Goldene Dreiecke 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Wann wurde der goldene Schnitt „entdeckt“? Hippasos vom Metapont (ca. 450 v. Chr.) „Verhältnis von Kantenlänge zu Diagonale im Fünfeck lässt sich nicht durch rationale Zahl beschreiben!“ 2 Historisches 3 Beispiele Euklid (325 - 270 v. Chr.) Stieß auf goldenen Schnitt bei seinen Untersuchungen an platonischen Körpern und verfasste Arbeit darüber. 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445 – 1514) Verfasste Buch „De Divina Proportione“ im Jahr 1509 über Goldenen Schnitt Martin Ohm (1792 – 1872) Verwendete 1835 erstmals die Bezeichnung „Goldener Schnitt“ 2 Historisches 3 Beispiele Adolf Zeising (1810 – 1876) Stellte Zusammenhang zwischen Kunst und Goldenem Schnitt her, welchen er als „Naturgesetz der Ästhetik“ sah 4 Zusammenfassung

Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Abbildung 1: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele Abbildung 2: Pantheon Tempel auf der Athener Akropolis (erbaut 447 – 432 v. Chr.) 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften Pantheon-Tempel Sein Aufbau ist nach fünf goldenen Rechtecken angeordnet, in Form eine goldene Spirale. Betrachte man beispielsweise das Verhältnis von Dachspitze/Säulenauflagefläche mit Säulenauflagefläche/Säulenfuss so steht dies im Goldenen Schnitt. (Abbildung 1) Das Verhältnis von breite zu Höhe lässt sich durch ein Goldenes Rechteck beschreiben, steht also ebenfalls im Verhältnis des Goldenen Schnittes. (Abbildung 2) 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Dom von Florenz (1436)

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Architektur 1 Definition und Grundeigenschaften Dom von Florenz Der Dom Santa Maria del Fiore in Florenz wurde von 1296 bis 1436 abschnittsweise erbaut. Wie viele Bauwerke der Renaissance lassen sich zahlreiche Vorkommen des Goldenen Schnitts bei der Vermessung seines Querschnitts und seiner Aufsicht entdecken. In der Darstellung stellen die grünen Strecken erneut die kürzeren und die roten Strecken die längeren Strecken, die zueinander im Verhältnis des Goldenen Schnitts stehen, dar. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Menschliche Proportionen nach Vitruv von Leonardo da Vinci (1492)

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften Menschliche Proportionen nach Vitruv Die Proportionsstudie (1485-1490) von Leonardo da Vinci (* 1452; † 1519) nach Vitruv stellt einen Mann proportionsgerecht dar. An dieser Zeichnung lässt sich gut zeigen, dass sich in der menschlichen Anatomie zahlreiche Strecken messen lassen, die im Verhältnis des Goldenen Schnitts geteilt sind. In der Darstellung der Studie wurden diverse Strecken, die sich im Goldenen Schnitt zueinander verhalten, eingezeichnet. Dabei verdeutlichen die grünen Pfeile die kürzeren und die roten Pfeile die längeren Teile der Strecken. Die Zahlen zeigen die Zusammengehörigkeit zweier Streckenteile an. Ähnliche Verhältnisse finden sich auch in der nachstehenden griechischen Statue wieder, dem Doryphoros von Polyklet. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)

Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Doryphoros von Polyklet (Griechische Statue)

Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)

Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503) Aus der Kunst 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Mona Lisa von Leonardo da Vinci (ca. 1503)

1 Definition und Grundeigenschaften Historisches 1 Definition und Grundeigenschaften Die Mona Lisa Angeblich findet man in der Abmessung der Leinwand ein Goldenes Dreieck. Dieses Goldene Dreieck ergebt sich jedoch näherungsweise automatisch, wenn die Rechtecksseiten des Bildes sich wie 3:2 verhalten. Das Bild selbst soll ebenfalls nach dem Goldenen Schnitt gezeichnet worden sein. So lässt sich auf dem Gemälde ein gleichschenkliges Dreieck einzeichnen, dessen Schenkel sich zur Basis nach dem Goldenen Schnitt verhalten. Der Abstand vom Hüfte/Hals und Hals/Auge steht ebenfalls im Verhältnis des Goldenen Schnittes. 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Sonnenblume

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Efeu

1 Definition und Grundeigenschaften Aus der Biologie 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung Phyllotaxis

1 Definition und Grundeigenschaften Historisches Aus der Natur Das spektakulärste Beispiel für die Realisierung des Goldene Schnitts in der Natur findet sich bei der Anordnung von Blättern (Phyllotaxis) und in Blütenständen mancher Pflanzen. Bei diesen Pflanzen teilt der Winkel zwischen zwei aufeinanderfolgenden Blättern den Vollkreis von 360° im Verhältnis des Goldenen Schnittes, wenn man die beiden Blattwurzeln durch eine Parallelverschiebung eines der Blätter entlang der Pflanzenachse zur Deckung bringt. Es handelt sich um den Goldenen Winkel von etwa 137,5°. Beispiele sind die Sonnenblume, Kohlarten, Kiefernnadel an jungen Ästen, Zapfen, Agaven, viele Palmen- und Yuccaarten und die Blütenblätter der Rose, um nur einige zu nennen. Trotzdem sollten die gegebenen Beispiele aus der Natur nicht als allzu strikt angesehen werden. 1 Definition und Grundeigenschaften 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Der Goldene Schnitt findet sic auch bei den Fibonacci-Zahlen wieder: 2 Historisches Dividiert man nun zwei Aufeinanderfolgende Fibonacci-Zahlen ergibt sich folgendes: 3 Beispiele Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgender Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähert, je weiter man in der Folge geht. 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Zum Beispiel bestehen zwischen Nachbarn der ersten zwölf Glieder 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 … jeweils die Verhältnisse für : 1 0,5 0,67 0,6 0,625 0,6154 … 2 Historisches 3 Beispiele Damit ergibt sich 4 Zusammenfassung

1 Definition und Grundeigenschaften Die Fibonacci-Zahlen 1 Definition und Grundeigenschaften Literatur Loeb, Arthur L: Concepts & Images (Visual Mathematics); Boston: Birkhäuser, 1993 Bühler, W: Das Pentagramm und der Goldene Schnitt als Schöpfungsprinzip; Stuttgart: Verlag Freies Geistesleben GmbH, 1996 Walser, H: Der Goldene Schnitt (2.Auflage); Leipzig: Teubner Verlagsgesellschaft, 1996 2 Historisches 3 Beispiele 4 Zusammenfassung

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