Didaktik der Algebra (1) Algebra in der Schule und ihre historische Entwicklung

Die Wurzeln „Vollständige Anleitung zur Algebra“ Leonhard Euler (1707-1783) Aufbau: Zahlen, Terme, Gleichungen Dieses Buch prägte den Algebra-unterricht an Gymnasien und die entsprechenden Lehrbücher

„Vollständige Anleitung zur Algebra“ Zahlen Grundlegung des Zahlenrechnens von den Grundrechenarten bis zu den Logarithmen Terme Termumformungen bis zu Potenzen mit negativen Exponenten Gleichungen Verhältnisse, Verhältnisgleichungen bis zu biquadratischen Gleichungen

„Vollständige Anleitung zur Algebra“ „Der Hauptzweck der Algebra sowie aller Theile der Mathematik besteht darin, den Werth solcher Größen zu bestimmen, die bisher unbekannt gewesen, was aus genauer Erwägung der Bedingungen geschieht. Daher wird die Algebra auch als die Wissenschaft definirt, welche zeigt, wie man aus bekannten Größen unbekannte findet.“

Wechsel der Schwerpunkte an den Universitäten im 19. Jahrhundert Gleichungen Auflösbarkeit von Gleichungen (Galoistheorie) Fundamentalsatz der Algebra (Existenz von Wurzeln ganzrationaler Funktionen) Näherungsverfahren zur Lösung von Gleichungen (z.B. Newton-Verfahren)

Felix Klein (1849 - 1925) Eine wesentliche Änderung des Algebraunterrichts ergab sich zu Beginn des 20. Jahrhunderts. Auf Grundlage der „Meraner Vorschläge“ zum mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht von 1905 sollte den vielfältigen Gebieten in der Schule eine einheitliche Leitidee zu Grunde gelegt werden. Die „Meraner Vorschläge“ bestimmten die Schulbücher und Lehrpläne bis in die 50er Jahre hinein.

Grundidee: Der Funktionsbegriff Der Funktionsbegriff ist ein Leitbegriff, der Problemstellungen und Lösungsverfahren liefert. Der Funktionsbegriff ist ein Bindeglied zwischen Algebra und Geometrie.

Algebra in der universitären Mathematik Die Algebra an den Universitäten hatte sich inzwischen allerdings grundlegend gewandelt. Aus der Theorie der Gleichungen war die Theorie der algebraischen Strukturen geworden, Gegenstände des Interesses waren u.a. Gruppen, Ringe, Körper, Vektorräume. Auf die Schule hatte die neue Sicht der Algebra keine Auswirkungen (z.B. Gruppen nur zur Klassifizierung von Abbildungen).

Bourbaki und die „Eléments de Mathématique“ (1951), Wandel des Mathematikunterrichts Erst in den 60er Jahren setzte sich die Erkenntnis durch, dass der Mathematikunter-richt weit hinter der Entwicklung der Mathematik zurückgeblieben war. Auslöser waren u.a. Bourbaki und die „Eléments de Mathématique“ (1951), der Sputnik-Schock (1957). Konsequenz: Rahmenrichtlinien der KMK 1968.

Konkrete Auswirkungen waren eine stärkere Betonung grundlegender Regeln in den einzelnen Zahlbereichen (Axiomatik), die Betrachtung neuer Verknüpfungen in den Zahlbereichen, die Erarbeitung von Strukturbegriffen wie z.B. Gruppe, Ring, Körper, Vektorraum, die Neugestaltung der Lehre von Termen, Gleichungen, Ungleichungen auf Grundlage der Mengenlehre und Logik, eine Präzisierung des Funktionsbegriffs auf Grundlage des Relationsbegriffs.

Kritik Es macht nur Sinn neue Begriffe und Methoden einzuführen, wenn man ihren Sinn versteht und wenn sie etwas leisten (Wittenberg, 1963)

Im Laufe der Zeit wurde vieles zurückgenommen: die Strukturbegriffe wurden in die Oberstufe verlagert, die Gleichungslehre begrifflich vereinfacht, der Funktionsbegriff stärker anschaulich und intuitiv verankert. Die Änderung der Reform basierte u.a. auf Unterrichtserfahrungen und neuen Ergebnissen der Mathematikdidaktik.

Erforschung von Denkprozessen In den 80er Jahren gewinnt diese Forschung größeren Einfluss in der Mathematikdidaktik. Schwerpunkte sind Studien über Fehler von Lernenden und deren Regelhaftigkeit, Vorstellungen von Lehrenden und Lernenden über die Mathematik und das Mathematiklernen.

TIMSS und die Folgen Ende der 90er Jahren löste die TIMS-Studie einen „Schock“ in der Mathematik- und Naturwissenschaftsdidaktik aus. Untersuchungen zur Klärung der Ergebnisse der TIMS-Studie wurden begonnen: Worauf lässt sich die „Überlegenheit“ der Schüler einiger Länder im problemlösenden Denken zurückführen? Welche Ursachen hat das schlechte Abschneiden der Bundesrepublik?

Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“. PISA 2000 „Mathematische Grundbildung“ Mathematische Begriffe sind Werkzeuge zur Erschließung der „Welt“. Ziele mathematischer Grundbildung sind begriffliches Verstehen und funktionales Verwenden von Mathematik, nicht nur „technische“ Fertigkeiten und Kenntnisse. Zur Lösung einer typischen PISA-Aufgabe gehört vor allem das Modellieren außer- und innermathematischer Problemsituationen.

Der Prozess des Mathematisierens verarbeiten Modell Konsequenzen interpretieren Mathematik Welt mathematisieren Situation Ergebnisse validieren Problem Lösung

Elementare Modellierungen Glasfabrik Eine Glasfabrik stellt Flaschen her. 2% der Flaschen sind fehlerhaft; dies sind 160 Flaschen. Wie viele Flaschen wurden insgesamt hergestellt? ◊ 320 Flaschen ◊ 3200 Flaschen ◊ 12500 Flaschen ◊ 800 Flaschen ◊ 8000 Flaschen

Modellierungen und begriffliches Verknüpfen Glasfabrik Eine Glasfabrik stellt am Tag 8000 Flaschen her. Erfahrungsgemäß sind ca. 160 Flaschen fehlerhaft. Wie viel Prozent sind das?  0,02 %  1,28 %  5 %  0,5 %  2 %

Modellieren auf der Basis anspruchsvoller Begriffe Miete In einer Großstadt kostete 1985 eine 70m2-Wohnung 1000 DM Miete pro Monat. Seit 1985 stieg der Mietpreis alle 5 Jahre um 20%. Welche Monatsmiete musste dann 1995 für diese Wohnung gezahlt werden? Schreibe auf, wie du rechnest.

Komplexes Modellieren Wie kannst du einen Geldbetrag von genau 31 Pfennigen hinlegen, wenn du nur 10 Pfennig-, 5 Pfennig- und 2 Pfennig-Münzen zur Verfügung hast? Gib alle Möglichkeiten an!

Quellen: Vollrath, H.J. (1994).Algebra in der Sekundarstufe. Mannheim: BI. Deutsches PISA-Konsortium (Hrsg.) (2001). PISA 2000. Basiskompetenzen von Schülerinnen und Schülern im internationalen Vergleich. Opladen: Leske + Budrich.