Constraint Delaunay Triangulations Geländemodelle Martin Buhlmann Constraint Delaunay Triangulations

Erinnerung

Über Voronoi zu Delaunay Voronoi-Diagramme Delaunay-Triangulation empty-circle-Kriterium Voronoi/Delaunay-Konstruieren

Motivation Beispiel eines DGM mit Constrained Delaunay Triangulation

Ausschnitt

Constrained Delaunay Ziel ist eine dynamische Fortführung eines triangulierten digitalen Geländemodells zB Landkarten müssen aufgrund geomorphologischer Gegebenheiten neu trianguliert werden diese können „Grenzen“, die die Triangulation nicht schneiden sollte, definieren (vgl Bsp letzter Vortrag, Strassenkante) Lösung: Einfügen vordefinierter Kanten mit Bedingungen

Constrained triangulations (bedingte Triangulation) Triangulation erfolgt nicht mehr allein über eine Punktmenge, sondern zusätzlich über vordefinierte Kanten! Anwendung in digitalen Geländemodellen: - geologische Verwerfungen - Entwässerungskanäle - Strassenkanten - ...

Einfaches Beispiel: Bergkamm - Talkante wegen Delaunay-Eigenschaft immer Bergkamm für Talkante muss eine vordefinierte Kante festgelegt werden

Eigenschaften annähernde Gleichwinkligkeit der Dreiecke nicht mehr garantiert ist die Menge der vordefinierten Kanten leer, entspricht die bedingte Delaunay-Triangulation der „einfachen“ visibility (Sichtbarkeit) positive Eigenschaften der Delaunay-Triangulation bleiben erhalten, werden nur an vordefinierten Kanten abgeschwächt

Sichtbarkeit Def.: ein Punkt heisst sichtbar zu einem anderen Punkt, falls das geschlossene Liniensegment zwischen diesen beiden Punkten keine vordefinierte Kante schneidet Vordefinierte Kanten sind also „Sichthindernisse“ wichtig für empty-circle-Kriterium erfüllt, auch wenn nicht sichtbarer Punkt im Umkreis sichtbar nicht sichtbar

Constrained Delaunay Beispiel bedingte Delaunay-Triangulation aus einem Planaren Graph

Beispiele Auch Polygone mit bedingten Kanten als Grenzen möglich Triangulation innerhalb der Polygone nicht dargestellt Bsp Flurstück

Zusammenhang beschränkte Voronoi-Diagramme und Constrained-Delaunay Konstruktion: 2 Punkte werden genau dann durch eine Kante miteinander verbunden, wenn die beschränkten Voronoi-Regionen dieser Punkte eine gemeinsame Kante teilen. Ausgenommen sind die vordefinierten Kanten (sowohl für das Voronoi-Diagramm als auch für die Triangulation vorgegeben)

Beschränkte Voronoi-Diagramme Problem: die rot dargestellten Kanten der Triangulation werden darüber aber nicht erfasst! => das beschränkte Voronoi-Diagramm definiert damit lediglich eine Teilmenge der Constrained Delaunay-Triangulation

Bedingte Voronoi-Diagramme eindeutige Konstruktion nicht möglich Lösung: bedingte Voronoi-Diagramme dazu Erweiterung der Definition der Nachbarschafts-regionen nötig dadurch Überschneidung der Regionen möglich

Retriangulierung bei Einfügen eines Punktes Das durch den einzufügenden Punkt beeinflußte Gebiet wird hier über das lokale empty-circle-Kriterium unter Berücksichtigung der Sichtbarkeit bestimmt.

Einfügen bedingter Kanten Einfügen von geländeorientierten oder benutzerdefinierten Kanten Beeinflußt alle Dreiecke, die von der bedingten Kante geschnitten werden Das lokale empty-circle-Kriterium anderer Dreiecke wird nicht verletzt einfaches Beispiel mit Methoden zum Einfügen und retriangulieren:

Einfügen einer bedingten Kante 1. Insert-Constraint 2. First-Intersected-Triangle 3. Next-Intersected-Triangle

Einfügen einer bedingten Kante 4. Nicht konvexes Viereck! 5. Retriangulation trotz Schneidens der bedingten Kante 6. Auch hier noch mehrere Schritte nötig

Einfügen einer bedingten Kante 7. - 9. Weitere Retriangulationsschritte 10. Methode Optimize stellt die Delaunay-Eigenschaft wieder her

Löschen bedingter Kanten In der Literatur nicht erwähnt warum auch vordefinierte Kanten löschen? Aber zur konsistenten Fortführung nötig Problem: bedingte Kanten haben kein Bezug zum lokalen Delaunay-Kriterium! Daher keine rekursive Retriangulation möglich

Nachteile der CDT Vordefinierte Kanten können zu nicht tragbaren Qualitätsverlusten führen! treten z.B. bei einer als politische Grenze vordefinierten Kante auf! Grenzen repräsentieren selten morphologische Kanten, => schnell unscharfe oder gar falsche Darstellungen komplexere Modellierungen führen zu grösseren Ungenauigkeiten

Beispiel Man erkennt in der 3-D-Darstellung, dass die bedingte Kante ein Tal offenbart (d) wo in der Natur keines ist (c)

Lösungsansatz (konforme Delaunay-Triangulation) Zerlegung der vordefinierten Kante in kleinere Segmente dadurch Einfügen zusätzlicher Punkte nötig allgemein als Steiner-Punkte bezeichnet