HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Klaus Volbert

2 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Einführung Mobiles Ad Hoc Netzwerk (MANET) Autonomes System aus beweglichen Teilnehmern (Knoten), die untereinander über drahtlose Verbindungen (Kanten) kommunizieren können. Drahtlose Kommunikation:  Omnidirektional (Funk)  Unidirektional (Richtfunk, Infrarot) Jeweils mit fester oder variabler Sendestärke

3 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Sektorengraphen I Idealisierte Modellierung: Nächste-Nachbar-Anbindung liefert Sektorengraph (Yao,  -Graph, etc.)

4 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Sektorengraphen II Yao/  -Graph: (Yao) –Punktemenge V  IR 2 gegeben –Raum um einen Punkt p wird in k gleichgroße Sektoren unterteilt –Ausrichtung der Sektoren ist nicht festgelegt –In jedem Sektor wird eine Kante zum nächsten Nachbarn erzeugt –Vereinigung aller dieser Kanten liefert E k und somit G k =(V,E k )

5 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapheigenschaften von Yao I Jeder Knoten unterhält maximal k ausgehende Kanten, d.h. |E k |  k  n=O(n) Yao approximiert den vollständigen Graph mit O(1), d.h. Yao ist zusammenhängend und der kürzeste Weg zwischen zwei beliebigen Knoten ist höchstens um einen konstanten Faktor länger als der direkte euklidische Abstand (Kante im vollständigen Graphen) Yao ist nahezu Energie-optimal

6 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Spanner Sei G=(V,E) ein Graph. –G ist ein c-Spanner, falls für alle u,v  V ein Weg p von u nach v existiert: ||p|| 2  c  ||u,v|| 2 –G ist ein weak c-Spanner, falls für alle u,v  V ein Weg p von u nach v existiert, der den Kreis mit Radius c  ||u,v|| 2 um u nie verläßt (die Länge des Weges wird hier nicht berücksichtigt!) –G ist ein (c,d)-Power-Spanner, falls für alle u,v  V ein Weg p=(u=u 1,..., u m =v) von u nach v existiert: –G ist ein Power-Spanner, falls für alle d > 1 eine Konstante c  1 existiert, für die G ein (c,d)-Power Spanner ist.

7 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Zusammenhänge Sei G=(V,E) ein c-Spanner, dann ist G auch ein weak c- Spanner. Sei G=(V,E) ein (c,d)-Power-Spanner, dann ist G eine konstante Approximation des Energie-optimalen Netzwerks Jeder c-Spanner ist ein (c d,d)-Power-Spanner d.h. ein c-Spanner liefert eine „gute“ Approximation eines optimalen Netzwerks für Energie!

8 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapheigenschaften von Yao II Yao ist -ein c-Spanner für k > 6 mit -ein weak c-Spanner für k  6 mit -ein weak c-Spanner für k = 4 mit

9 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Kommunikations- eigenschaften Gerichtete Interferenz: Die Kommunikation von u nach v stört die Kommunikation von r nach s. (u,v) interferiert mit (r,s). Es liegt eine gerichtete Interferenz vor. u v r s

10 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Nachteil von Yao Der Eingangsgrad von Yao ist unbeschränkt! Eingangsgrad Yao: n-1=O(n), d.h. allgemein können O(n) gerichtete Interferenzen vorkommen s

11 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapherweiterungen Sparsified Yao-Graph: (SparsY) –Wie Yao, allerdings wird nur die kürzeste eingehende Kante in einem Sektor erzeugt. Alle anderen werden verworfen. Yao SparsY

12 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapherweiterungen Symmetrischer Yao-Graph: (SymmY) –Wie Yao/SparsY, allerdings werden nur symmetrische Kanten angelegt. Yao SparsYSymmY  SparsY  Yao

13 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapheigenschaften von SparsY Eingangsgrad: k, Ausgangsgrad: k, Grad: 2k SparsY ist ein weak c-Spanner für k > 6 mit Beweisidee: uv

14 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Offenes Problem Eine unbeantwortete Frage: SparsY ist ein (c,d)-Power-Spanner für k > (2  ) d/(d-1) mit Ist SparsY ein Spanner?

15 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Grapheigenschaften von SymmY Grad: k SymmY ist zusammenhängend für k > 6 –Beweis durch Induktion nach Knotenabstand SymmY ist kein weak c-Spanner für jede Konstante c und auch kein (c,d)-Power-Spanner für alle Konstanten c, d uv w

16 Klaus Volbert HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken XIII Überblick: Grapheigenschaften TopologieAnzahl gerichteter Interferenzen SpannerEnergie- Approx. Congestion- Approx. Yao n-1JaO(1)O(n log n) SparsY 1weak und PowerO(1)O(log n) SymmY 1 (unger.!) Nein, aber zusammenhängend ——