Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 1 Klausuraufgaben.

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1 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 1 Klausuraufgaben

2 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 2 Aufgabe 1 –Welcher Algorithmus ist besser geeignet, um für das Routing in einem Netzwerk kürzeste Wege zu bestimmen? Breitensuche Tiefensuche –Eigennütziges Routing: Ändert sich im nachfolgend abgebildeten Netzwerk durch das Einfügen der Kante (B,A) mit Kosten 0 die optimale Lösung? ja nein X X

3 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 3 Aufgabe 1 –Zu welcher Art des Routings zählt das Link-State-Routing? Oblivious Routing Adaptives Routing –Welche Größe versucht man im Mehrfach-Fluss-Modell zu minimieren? Congestion Dilation Durchsatz Routingzeit –Bandbreitenallokation im statischen Fall: Welcher Algorithmus benötigt die wenigsten Schritte, um die korrekte Bandbreite zu ermitteln? Binäre Suche AIMD Shrink-Algorithmus X X X

4 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 4 Aufgabe 2 Zeichnen Sie zu den angegebenen Tabellen das zugehörige Netzwerk und berechnen Sie die Folgetabellen. Tritt das Count-to-Infinity- Problem auf? (ja) ABC ZielEntf.via B1B C2B ZielEntf.via A1A CC X ZielEntf.via AB BB Router ARouter BRouter C ZielEntf.via B1B C2B ZielEntf.via A1A CC ZielEntf.via AB CB update 4 3A ------update

5 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 5 Aufgabe 3 Simulieren Sie AIMD versus AIAD. Verfügbare Bandbreite u=100, Startpunkt (20,50). Zeichnen Sie Fairness- und Effizienzlinie ein. (vgl. Übungsblatt 4) das Diagramm wurde mit sim 0 1 20 50 21 erzeugt (siehe Materialien zu Übung 4)

6 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 6 Aufgabe 3 Beweisen Sie die Fairness-Funktion F(x,y) := (x+y) / (2x 2 +2y 2 ) für x,y 0 höchstens 1 werden kann. Lösungshinweis: (x-y) 2 0 (vgl. Übungsblatt 4)

7 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 7 Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von (n) besitzt bezüglich der gain-Funktion.

8 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 8 Kompetitive Analyse Analyse von Online-Algorithmen Vergleich Online-Algorithmus mit Offline-Algorithmus Kompetitives Verhältnis (competitive ratio) für randomisierte/probabilistische Online-Algorithmen: Finde Probleminstanz x, für die das Verhältnis maximal ist: Spiel Adversary gegen Online-Algorithmus

9 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 9 Bandweitenzuteilung im dynamischen Fall Adversary legt für jedem Zeitschritt t eine verfügbare Bandbreite u t fest Online-Algorithmus wählt eine Datenrate x t Gewinn: Anzahl übertragener Pakete... entspricht strengen Kosten: S(x,u) = u – gain(x,u)

10 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 10 Bandbweitenzuteilung im dynamischen Fall t utut xtxt

11 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 11 Lösungshinweise zu Aufgabe 4 Zeigen Sie, dass AIMD bei dynamischer Bandbreite u [1..n] ein kompetitives Verhältnis von (n) besitzt bezüglich der gain-Funktion. Wir betrachten die Gain-Funktion Das kompetitive Verhältnis ist (hier steht opt T im Zähler, da wir Gewinn und nicht Kosten betrachten) Wir versuchen nun, das Verhältnis zwischen opt T und gain T zu maximieren.

12 Algorithmen des Internets 2005 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Algorithmen und Komplexität 12 Lösungshinweise zu Aufgabe 4 Beobachtung: 1.AIMD wächst langsam (additive increase), obwohl u t groß ist 2.Beim Überschreiten von u t ist gain(x t, u t )=0. Außerdem wird die Bandbreite im nächsten Schritt halbiert (multiplicative decrease) Wir setzen u t abwechselnd auf 1 oder n (u t = 1 falls t gerade, sonst u t = n) Wenn u t = n, dann ist x t = 1 und gain(x t, u t )=1 Wenn u t = 1, dann ist x t = 2 und gain(x t, u t )=0 (u t = 1 zwingt AIMD zur Halbierung der Bandbreite von 2 auf 1) Bei T Zeitschritten ist opt T = T(n/2+1) und gain T = T/2 utut xtxt utut xtxt additive increase multiplicative decrease