HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Christian Schindelhauer

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1 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fachbereich Mathematik/Informatik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Christian Schindelhauer schindel@upb.de

2 2 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Radio Broadcasting Broadcasting –Ein Sender möchte eine Nachricht an alle n Stationen übermitteln Radio Broadcasting –Ungerichteter Graph G=(V,E) beschreibt mögliche Verbindungen Wenn Kante {u,v} existiert, kann u nach v senden und umgekehrt Wenn keine Kante, dann kein Empfang und keine Störung –Eine Frequenz, Funkstationen sind gleichgetaktet –Senden zwei benachbarte Stationen gleichzeitig, wird kein Signal empfangen (noch nicht einmal ein Störungssignal) Hauptproblem: –Graph G=(V,E) ist den Teilnehmern unbekannt –Verteilter Algorithmus zur Vermeidung von Konflikten

3 3 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Radio Broadcasting ohne ID Theorem Es gibt keinen deterministischen Broadcasting-Algorithmus für das Radio-Broadcasting-Problem (ohne ID) Beweis: Betrachte folgenden Graphen: 1.Blauer Knoten sendet (irgendwann) Nachricht an die Nachbarknoten 2.Sobald sie informiert sind, verhalten sie sich synchron (weil sie den gleichen Algorithmus abarbeiten) und senden (oder senden nicht) immer gleichzeitig 3.Roter Knoten erhält keine Nachricht.

4 4 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Simple-Random (I) Jede Station führt folgenden Algorithmus aus: Simple-Random(t) begin if Nachricht m vorhanden then for i ← 1 to t do r ← Ergebnis fairer Münzwurf (0/1 mit jeweils W‘keit 1/2) if r = 1 then Sende m an alle Nachbarn fi od fi end

5 5 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Simple-Random (II) D: Durchmesser des Graphen Δ: Grad Lemma Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit ≥ Δ 2  Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. Beweis: 1.Die Wahrscheinlichkeit, dass genau einer von m ≤ Δ informierten Nachbarknoten ungestört sendet, ist: W‘keit, dass m  1 Nachbarn nicht senden W‘keit, dass ein Nachbarn sendet # Möglich- keiten Sender

6 6 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Ein probabilistisches Verfahren Ein Nachbarknoten wird in einer Runde mit Wahrscheinlichkeit p ≥ Δ 2  Δ informiert, falls mindestens ein Nachbar informiert ist. –Betrachte bel. Knoten mit Abstand D zur Quelle –Sei (u,u 1,u 2,..,u D ) ein Pfad von der Quelle u zu diesem Knoten –Wir unterschätzen den wirklichen Informationsfluß und betrachten nur den Informationsfluß auf diesen Pfad p 1p1p p p p p 1p1p1p1p 1p1p 1 1p1p

7 7 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Der Markov-Prozess der Informationsausbreitung Zeit p 1p1p p 1p1p p 1p1p p 1p1p p 1p1p 1 1 p 1p1p p 1p1p Weg Lemma Für jedes α>1 und β ≥ 0 gilt: Wenn auf einem Pfad der Länge D eine Nachricht mit unabhängiger W‘keit p voranschreitet und mit W‘keit 1  p stehen bleibt, dann ist die W‘keit, dass die Information nach spätestens t Schritten mit nicht durchgelaufen ist, höchstens

8 8 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Laufzeit von Simple- Random Lemma Für geeignetes c>1 gilt: Simple-Random informiert das gesamte Netzwerk mit Wahrscheinlichkeit von mindestens 1-n  k in Zeit c 2 Δ / Δ ( D+ log n), wenn alle Stationen bis zum Ende aktiv bleiben. Beweis: –Betrachte Knoten und Pfad der Länge ≤ D –Betrachte Informationsfluss auf den Pfad: p ≥ Δ 2  Δ –Setze α=2 und β = (k+1) log n –Damit folgt das Lemma

9 9 Christian Schindelhauer 04.12.2002 HEINZ NIXDORF INSTITUT Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Algorithmische Probleme in Funknetzwerken VIII Modellerweiterung Modell bis jetzt zu restriktiv Deterministisches Modell: –Jeder der n Spieler kennt seine eindeutige Identifikationsnummer (ID) aus dem Bereich {1,..,n} –Der Inhalt der Nachricht darf verwendet werden Probabilistisches Modell: –Die Anzahl n der Spieler ist bekannt –Der maximale Grad Δ ist bekannt –Aber keine ID vorhanden