Projektmanagement Graph und Netzplan CPM, Berechnungen MPM, Algorithmen, PM-Software PERT-Methode Stochastische Netzpläne Kosten- und Kapazitätsplanung

Projektmanagement - Charakterisierung Projekt ist charakterisiert durch: relative Neuartigkeit, gewisse Einmaligkeit zeitliche Befristung Komplexität definierter Beginn definiertes Ende Projektmanagement ist die verantwortliche Leitung der Planung, Organisation, Einführung und Kontrolle solcher Vorhaben Einmaligkeit heißt nicht Erstmaligkeit

Bereiche des Projektmanagements Planung: Zielvorstellungen operationalisieren Aufgabenkomplex in Teilaufgaben zerlegen Interdependenzen bestimmen Bedarf an Zeit, Kosten, etc. ermitteln Delegation unter Vorgabe von Sollwerten Steuerung: organisat. Maßnahmen bei Abweichungen Koordination der Arbeitsgruppen Kontrolle: Soll-Ist-Vergleichskontrolle Qualitätskontrolle am Ende Maßnahmen bei Abweichung von Soll-Ist zur Plan- und Zielkorrektur Koordination der Arbeitsgruppen nach innen und außen

Projektmanagement - Techniken Führungsstil Informationsgewinnung Netzplantechnik by objectives by delegation by exception autoritär kooperativ Prognose Aufwandschätzung Zeit-, Kapazitätsplanung Kostenplanung Zeitüberwachung objectives: Ziel-Teilzielvorgabe objectives, delegation: Planungsphase exception: Kontrollphase Prognose: exponentielles Glätten, Deplhi-Methode Aufwandschätzung: z.B. bei SW-Projekten Infosystem: z. B.:Erfahrungsdatenbank Projektplanung: Prioritäten setzen, NPT

Projektzeitplanung - Strukturanalyse Die Aufgabe, die Abhängigkeiten zwischen den einzelnen Teilvorgängen zu untersuchen; d.h. für jeden Vorgang sind folgende Fragen zu beantworten: Ist dieser Vorgang in Teilvorgänge zu unterteilen Welche Vorgänge finden unmittelbar vorher statt? Welche Vorgänge finden unmittelbar nachher statt? Welche Vorgänge können gleichzeitig ablaufen?

Erstellung einer DV-Anlage - Zerlegung Zerlegung in Teilaufgaben A Entwurf B Fertigstellung ZE C Bereitstellung Peripherie D Installation des BS E Prüfung der Anlage F Installation des Anwenderprogramms G Funktionsprüfung H Anschluß externer Geräte I Endabnahme

Erstellen einer DV-Anlage - Interdependenzen zeitliche Interdependenzen bestimmen Vorgang Dauer Vorgänger ---------------------------------------------------------------- A Entwurf 10 - B Fertigstellung ZE 5 A C Bereitstellung Pe 2 A D Installation des B 4 A E Prüfung der Anla 4 D F Installation des A 3 D G Funktionsprüfung 2 B, C, E H Anschluß externe 5 C I Endabnahme 1 F, G, H

Fragestellungen der Netzplantechnik Zeitplanung kürzeste Gesamtprojektdauer Anfangstermine aller Vorgänge Endtermine aller Vorgänge Pufferzeiten aller Vorgänge kritische Vorgänge kritische Wege Kostenplanung wie wird kostengünstig das Projekt verkürzt? Kapazitätsplanung Projektdauer unter Berücksichtigung der Resourcen Kosten einerseits durch Dauer des Gesamtprojekts andereseits durch Beschleunigung der einzelnen Vorgänge Vorgänge, die an sich gleichzeitig ablaufen können, können dies möglicherweise wegen Kapazitätsengpässen nicht

Instrument Netzplantechnik graphisches Modell zur Darstellung der zeitlichen Dependenzen Graphenmodell mit Pfeilen und Knoten entweder durch Vorgangspfeilnetzplan Vorgänge sind durch Pfeile dargestellt (CPM, PERT) oder Vorgangsknotennetzplan Vorgänge sind durch Knoten dargestellt (MPM)

Graph Ein Graph (Digraph) ist ein Tupel [P, E] mit einer nichtleeren, endlichen Menge P von Knoten und einer endlichen Menge E von Kanten (Pfeilen), wobei eine Kante (Pfeil) genau zwei Knoten aus P miteinander verbindet; d.h. P geschnitten mit E ist die leere Menge; d.h. P Ç E= Æ und es existiert eine Abbildung h: E -> P x P

Graph Stückliste P 5 E4 P = Produkt B = Bauteil E = Einzelteil 2 B3 3 1 3 B2 E1 E2 E3 Knoten Pfeile 5 Bewertung

Produzent-Händler-Graph Transportgraph Z1 Z2 Z3 4 5 2 1 P H 10

Graph - Matrix Bewertungsmatrix Vorgängermatrix C = V =

Kostengünstigster Weg Kostenentfernungsmatrix Wegematrix D = W =

Tripel-Algorithmus N J Eingabe C, V, n (= Anzahl Knoten) Ausgabe D, W D = C; W = V k = 1 .. n i = 1 .. n j = 1 .. n J N dik + dkj < dij ? dij = dik + dkj wij = wkj

Graph und Netzplan Vorgängermenge Nachfolgermenge Quelle Senke schlicht Netzplan V(j) = { i Î P | [i,j] Î E } j Î P N(j) = { i Î P | [j,i] Î E } j Î P Knoten q Î P mit V(q) = Æ Knoten s Î P mit N(s) = Æ keine parallelen Pfeile, keine Schlaufen schlichter Graph mit einer Quelle und einer Senke, bei dem jeder Knoten von der Quelle und von jedem Knoten aus die Senke erreichbar ist

Interpretation CPM-Netzplan Vorgang C und D können erst beginnen, wenn Vorgang A und B beendet worden sind A C 5 7 FZ SZ Ereignis D 11 B 10 Vorgang Dauer

FAZ, SAZ, Puffer und kritischer Weg FAZij Frühestmöglicher Anfangszeitpunkt von [i,j] FEZij Frühestmöglicher Endzeitpunkt von [i,j] SAZij Spätestmöglicher Anfangszeitpunkt von [i,j] SEZij Spätestmöglicher Endzeitpunkt von [i,j] Dij Dauer von [i,j] FZi Frühestmöglicher Zeitpunkt des Eintretens von Ereignis i SZi Spätestmöglicher Zeitpunkt des Eintretens von Ereignis i GPij Gesamtpuffer von [i,j] FPij Freier Puffer von [i,j] [i,j] heißt kritisch, wenn GPij = 0 ist. Ein Weg von der Quelle zur Senke bestehend aus lauter kritischen Vorgängen, heißt kritischer Weg.

FAZ, SAZ, Puffer - Beziehungen FAZij = FZi FEZij = FZi + Dij = FAZij + Dij SAZij = SZj - Dij = SEZij - Dij SEZij = SZj FZj = max { FZi + Dij | i Î V(j) } erlaubt ein sukzessives Durchrechnen, aus-gehend von Zeitpunkt des Startereignisses j=1 (z.B. FZ1 = 0), der FZj (j>1) SZi = min { SZj - Dij | j Î N(i) } erlaubt ein sukzessives Durchrechnen, aus-gehend vom errechneten Zeitpunkt des End-ereignisses i=n (SZn = FZn), der SZi (i<n)

EDV-Anlage CPM-Netzplan 3 Aufstellen des Netzplanes D B C 4 5 2 3 F 3 6 E 4 A 10 1 2 I 1 7 G 2 H 5 FZ1 =0 FZ 2=10, 3=14, 4=12, 5=18, 6=20, 7=21 SZ7 =21 SZ 6=20, 5=18, 4=15, 3=14, 2=10, 1=0 GP =0 für A, D, E, G, I GP =3 für B, C, F, H GP =6 für Scheinvorgang 4 Durchrechnen des Netzplanes FZ SZ i [i,j] Dij 5 Interpretation der Ergebnisse

Bewertungsmatrix "EDV-Anlage"

Ergebnis "EDV-Anlage"

Gantt-Diagramm "EDV-Anlage" Zeit Resource 10 20 I H G F E C D B A

Vorgangsknotennetzplan 10 Start-Start-Beziehung 12 B Dauer FAZ SAZ Der Vorgang B kann erst nach 12 Zeiteinheiten nach dem Start von Vorgang A beginnen, die Anzahl der Zeiteinheiten kann hierbei unabhängig von der Dauer des Vorgangs A gewählt werden. Die Bewertung kann auch negativ sein, in diesem Falle wandelt sich die Be- ziehung in eine Beziehung der Form: muß spätestens nach x Zeiteinheiten be- ginnen Vorgangsknotennetzplan ist leichter zu zeichnen und benötigt i.a. weniger Scheinvorgänge

MPM - negativ bewertete Pfeile x A B -y B beginnt frühestens x Zeiteinheiten nach dem Start von A B muß spätestens y Zeiteinheiten nach dem Start von A beginnen x £ y, ansonsten positive Schleife

MPM - Beziehungstypen B beginnt gleichzeitig mit Vorgang A B beginnt gleichzeitig mit Vorgang A A B 6 -6 B beginnt genau 6 Zeiteinheiten nach Start von Vorgang A A B 10 -12 B beginnt 10, 11 oder 12 Zeiteinheiten nach Start von Vorgang A

Yen-Algorithmus FAZ FAZ(1)=0 FAZ(i) = C(1,i) (i = 2,...,n) (= - ¥ , wenn nicht vorhanden) k = 0 solange FAZ verändert und k <= n FAZ(j) = max { FAZ(j), FAZ(i)+C(i,j) | 1 <= i < j } (j = 1,...,n) FAZ verändert ? nein ja FAZ(j) = max {FAZ(j), FAZ(i)+C(i,j) | j < i <= n } (j = n,...,1) k = k+1

Yen-Algorithmus SAZ SAZ(n) = FAZ(n) SAZ(i) = FAZ(n) - C(i,n) (i = 1,...,n-1) (= ¥ , wenn nicht vorhanden) solange SAZ verändert SAZ(j) = min { SAZ(j), SAZ(i)-C(j,i) | j < i <= n } (j = n,...,1) SAZ verändert ? nein ja SAZ(j) = min {SAZ(j), SAZ(i)-C(j,i) | 1 <= i < j} (j = 1,...,n)

Aufgabenstellung "Kranbau" Für den Bau eines Hochhauses muß der Kran vom Werkareal der Baufirma auf den Baugrund transportiert werden. Die einzelnen Kran-Bauteile müssen auf einen LKW verladen werden. Da das Gewicht des LKW die Tragkraft einer auf der Route liegenden Brücke über- steigt, muß diese Brücke für den Transport verstärkt werden. Diese Verstärkung ist nach dem Transport wieder abzubrechen. Der Kran muß auf einem Funda- ment aufgebaut werden, welches zuvor erst noch er- stellt werden muß. Nach dem Zusammenbau des Krans auf dem Baugrund muß dieser von einer öffentlichen In- stanz abgenommen werden. Alle Arbeiten können von der Baufirma selbst übernommen werden, auch die Um- rüstung des LKW für den Transport.

Netzplan "Kranbau" Vorgang C und Vorgang B müssen gleichzeitig enden F 3 G 1 H 1 Vorgang C und Vorgang B müssen gleichzeitig enden S E F H Z D A C G B 5 4 1 2 3 -3

Bewertungsmatrix "Kranbau"

Ergebnis "Kranbau"

EDV-Anlage Beispiel (1)

EDV-Anlage Beispiel (2)

EDV-Anlage Beispiel(3)

EDV-Anlage Kalender

EDV-Anlage Resourcen

EDV-Anlage Resourcenzuteilung

EDV-Anlage Überlast

EDV-Anlage Kapazitätsausgleich

EDV-Anlage Verkürzungsmaßnahmen Überstunden Vorgang A, B, C damit Verkürzung auf 8 Tage, 3 Tage, 1 Tag Verkürzung durch höhere Intensität Vorgang E auf 3 Tage Vorgang G auf 1,5 Tage Projektbeginn vorverlegen (auf 29.5.95) Endtermin 3. Juli (Montag) Endabnahme mit dem Kunden Samstags-, Sonntagsarbeit, spezielle Kalender für spezielle Resourcen

EDV-Anlage Endplanung

Deterministisch - Stochastisch Reihenfolgebeziehungen und Dauern sind fix: CPM, MPM Reihenfolgebeziehungen sind fix, Dauern sind stochastisch: PERT Reihenfolgebeziehungen und Dauern sind stochastisch: GERT, STEO

Beta-Verteilung a b m Dichtefunktion a = OD Optimischtische Dauer m = HD Häufigste (wahrscheinlichste Dauer) b = PD Pessimistischer Schätzwert der Vorgangsdauer Erwartete Dauer MD = (OD + 4 HD + PD)/6 Varianz VD = (PD - OD)² / 28 - (4/63) ((OD + PD)/2 - MD)² (ca. gleich: (PD - OD)² / 36)

PERT - Netzplan Dauern stochastisch Schätzungen: Optimisch (OD), Pessimistisch (PD) und Häufigst (HD) Erwartete Dauer: MD=(OD+4*HD+PD)/6 Varianz: VD=(PD-OD)*(PD-OD)/36 Annahme: Vorgangsdauern voneinander unabhängig => Rechnung wie bei CPM Annahme: Gesamtdauer annähernd normal-verteilt (Zentraler Grenzwertsatz) Beachten von subkritischen Wegen systematische Unterschätzung der Projektdauer

Projektaufgabe - Hausbau

PERT-Netzplanbeispiel Fragestellungen Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß das Projekt, bzw. ein bestimmter Teilabschnitt innerhalb eines vorgegebenen Zeitraums T abgeschlossen ist? Vorgehensweise: P(FZn <= T) = F((T- erw. Dauer)/Standardabw.) P(...) < 1/3 großes Risiko bzgl. Einhaltung 1/3 <= P(...) < 2/3 normales Risiko P(...) >= 2/3 relativ große Sicherheit

Kritik an der PERT-Methode (1) Annahme der Beta-Verteilung: 33,3% für MD, 16,7% für Sqrt(VD) maximale Abweich. bei einer unbekannten Verteilung OD, HD, PD nur sehr ungenau schätzbar Wenn: 0,85 OD < a < 1,15 OD 0,85 HD < m < 1,15 HD 0,70 PD < b < 1,45 PD dann: 12,5% für MD, 7,5% für Sqrt(VD) max. A. In der Praxis: Fehler durch obige Punkte beträgt in der Regel weniger als 10% bei MD und Sqrt(VD)

Kritik an der PERT-Methode (2) Annahme der Unabhängigkeit der Vorgangsdauern PERT unterschätzt die Werte für die erwartete kürzeste Projektdauer, Annahme der Normal-verteilung i. a. nicht gerechtfertigt Definition des kritischen Weges Problematisch bei mehreren subkritischen Wegen, gut bei "seriell" aufgeb. Netzplänen Fazit: Fehler durch obige Punkte beträgt in der Regel weniger als 30%

GERT - Netzpläne Und-Eingang Deterministischer Ausgang Inklusiv-Oder-Eingang Stochastischer Ausgang Exklusiv-Oder-Eingang

STEO - Netzplan Werbung 0.1, 2, 5 1 2 1, 4, 8 Entwickl. 3 1, 3, 3 Q.-Test Markttest 4 0.8, 4, 4 5 0.7, 3, 6 Einführ. 0.2, 2, 5 Produktverb. 6 0.2, 1, 0 keine E. i j p, D, K Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit der Produkteinführung? 78% Wie groß ist die erwartete Dauer der Produkteinführung? 16 ZE (14 ZE) Wie hoch sind die erwarteten Kosten der Produkteinführung? 24,15 E

STEO-Netzplan Berechnungsmethode

Projektaufgabe - Brückenbau

Kosten- und Kapazitätsplanung Crash-Analysis Verkürzungs- und Flußprobleme Kapazitätsplanung: Exakte Verfahren Kapazitätsplanung: Heuristiken

Kostenplanung Crash-Analysis Ziel: kostenminimale Projektdauer in Abhängigkeit der Vorgangsdauern Kostenfaktoren: (1) Vorgangsdauerabhängige Kosten (2) Projektdauerabhängige Kosten t Kosten (2) (1)

Minimierung vorgangsdauerabh. Kosten Kij(Dij)=aij-bijDij Kostenfunktion T Projektdauer Lij Uij Kosten Dauer å aij-bijDij MIN mit: FZj ³ FZi + Dij FZn - FZ1 = T Lij £ Dij £ Uij FZi, Dij ³ 0 å aij-bijDij + g T + f MIN wobei: f Fixkosten g Opportunitätskosten pro Zeiteinheit

Kostenminimierung mit LP - Beispiel (1) Vorg. ND Kosten MIND Crash-K. 1-2 3 3000 2 5000 1-3 4 4000 2 6000 1-4 5 5000 3 8000 2-3 0 0 0 0 2-5 8 5000 6 6000 3-5 3 3000 2 4000 4-5 5 4000 3 8000 Überschreiten von mehr als 10 Wochen Projektdauer Vertrags- strafe von 1000 pro Woche. Bei Unterschreiten Bonus in gleicher Höhe. 1 2 3 4 5 8 6 11 3/2 2000 0/0 8/6 500 1000 4/2 5/3 1500 i j ND/MIND Mehrkosten pro Verkürzungs- einheit

Kostenminimierung mit LP - Beispiel (2) 9000-2000D12 + 8000-1000D13 + 12500-1500D14 + 9000-500D25 + 6000-1000D35 + 14000-2000D45 + 1000 T - 10000 --> MIN 2 £ D12 £ 3; 2 £ D13 £ 4; 3 £ D14 £ 5 6 £ D25 £ 8; 2 £ D35 £ 3; 3 £ D45 £ 5 FZ2 ³ FZ1 + D12 FZ3 ³ FZ1 + D13 FZ3 ³ FZ2 + D23 FZ4 ³ FZ1 + D14 FZ5 ³ FZ2 + D25 FZ5 ³ FZ3 + D35 FZ5 ³ FZ4 + D45 FZ5 - FZ1 = T alle Variablen ³ 0 z.B. 9000-2000D12 (wenn D12=2: Kosten=5000, wenn =3: Kosten=3000) 1000 T -10000 (wenn T=10, keine Kosten und kein Bonus, sonst 1000 Bonus oder Kosten) Lösung: D25 auf 7 statt 8 ==> Kosten = 500 Verbesserung für T von 11 auf 10, macht 1000 Erlös ==> Gewinn = 500

Kostenminimierung durch max. Fluß Maximaler Fluß bei minimalen Kosten von der Quelle zur Senke mit: Rohrdurchmesser = Verkürzungskosten maximaler Fluß = minimale Kosten 1 2 3 4 5 8 6 11 3/2 2000 0/0 8/6 500 1000 4/2 5/3 1500 Engpaß=500 7 6 4 Engpaß=1500 Teilnetzplan der kritischen Wege max. Fluß bei minimalen Kosten bei bisherigem Fluß wenn Fluß unendlich, dann Ende verkürze alle Engpässe soweit möglich und ohne Änderung der kritischen Wege wenn Dij = MINDij, setze Kapazität unendlich kritischer Weg = rot (Dauer = 11 (Normaldauer)) Flußengpaß = 2-5 bei 500 2-5 verkürzt um 1 wg. Subkritischer Weg 1-4-5 mit Dauer = 10 max. Fluß nun 2000 bei 1500 über 1-4-5 und 500 über 1-2-5 Enpässe 1-4 und 2-5: verkürzen um 1 wg. MIND(2-5)=6 Kapazität 2-5 nun unendlich. Verkürzungskosten gesamt = 2000 + 500 =2500 Minimaldauer nun =9 weitere Verkürzung: max. Fluß nun 3500 bei 1500 über 1-4-5 und 2000 über 1-2-5 Engpässe 1-4 und 1-2: verkürzen um 1 Einheit wg. MIND(1-2)=2 und wegen MIND(1-4)=3 Verkürzungskosten gesamt = 3500 + 2500 = 6000 Kapazität 1-4 nun unendlich, 1-2 unendlich Minimaldauer nun =8 max. Fluß = unendlich über 1-2-5, weitere Verkürzung unmöglich

Modelle der Kapazitätsplan. - Einleitung Ziel: optimale Verteilung der Einsatzmittel bei Kostenminimierung oder bei Projektdauerminimierung Maßnahmen: Vorgangsverschiebung innerhalb des Puffers Änderung von Vorgangsterminen mit ev. längerer Projektdauer Änderung der Vorgangsdauern

Modelle der Kapazitätsp. - Notationen T Projektdauer Dm Dauer Vorgang m EMBm Einsatzmittelbedarf Vorgang m GEMBt Gesamter Einsatzmittelbedarf des Projektes zwischen t-1 und t EMKt Einsatzmittelkapazität zw. t-1 u. t GEMB Mittlerer Einsatzmittelbedarf des gesamten Projekts (Mittelwert)

Modelle der Kapazitätsplan. - Übersicht Optimierungsprobleme der Kapazitätsplanung ohne Berücksichtigung von Kapazitätsschranken mit Berücksichtigung von Kapazitätsschranken bei variablen Vorgangsdauern bei gegebenen bei gegebenen Vorgangsdauern bei variablen bei variab. Projektdauer bei gegeb. bei gegeb. Projektdauer bei variab. Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten und Gesamt- projektkosten Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten, direkter Vor- gangskosten Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten, direkter Vor- gangskosten und Gesamt- projektkosten Minimierung der Gesamt- projektdauer Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten und Gesamt- projektkosten Minimierung der Gesamt- projektdauer Minimierung beschäfti- gungsabhän- giger Kosten direkter Vor- gangskosten und Gesamt- projektkosten

Gebräuchliche Zielfunktionen Minimierung von: Varianz GEMBt max. Abweichung von GEMB max { GEMBt | t=1,..., T} Summe der einfachen Abweichungen von GEMB plus der Gesamtprojektdauer T plus den Kosten bzgl. der Dauern der ein- zelnen Vorgänge å K(Dm) Summe (GEMB(t) - GEMB)^2 (Nivellierung) max |GEMB(t) - GEMB| (Spitzen weg) Summe | GEMB(t) - GEMB| +cT +b Summe(K(Dij))

Heuristische Verschiebungsalgorithmen Wähle Vorgang mit geringstem noch zur Verfügung stehenden Gesamtpuffer Bei Gleichheit wähle Vorgang mit dem höchsten Einsatzmittelbedarf Alternative Prioritätsregeln: geringste Vorgangsdauer frühester FAZ, FEZ, SAZ, SEZ geringster Summe aus Gesamtpuffer und Vorgangsdauer extern vorgegebene Priorität

Verschiebungsalgorithmus - Beispiel 2 1 4 6 7 3 Kapazitätsobergrenze = 4 5 6-7 6-7 5-7 5-7 4-6 4-6 Dauer EMB 3-5 3-4 2-4 2-4 Netzplan: schwarze Zahlen=Dauer, rote=EMB (nur 1 Einsatzmittel) rote Pfeile=kritischer Weg, min. Dauer=12 Blaue Linie Kapazität ohne Verschiebung, rote Linie Obergrenze, weiße Linie Kapazität nach Verschiebung. Verschiebungsalgorithmus: 1-3, 1-2 EMB <= EMK: Vorgänge einplanen, t=min {D13, D12} = 2 2-4 EMB > EMK: Vorgang 2-4 um 1 nach hinten verschieben, t=3 3-4 GP=0 einplanen, 2-4 EMB > EMK, 3-5 einplanen, 2-4 um 3 vers., t=7 2-4 GP=-1 einplanen, 4-6 verschieben um 2, t=9 4-6 GP=-2 einplanen, 5-7 einplanen, t=11 6-7 zum Zeitpunkt t=11 noch nicht einplanbar wg. Vorgänger 4-6, um 1 vers. t=12 6-7 einplanen t=14 1-3 1-2