¥ II Gegen Unendlich

Der Grenzwert: potentielle Unendlichkeit Folgen (n) = 1, 2, 3, ... (2n) = 1, 2, 4, 8, ... 1/n wird kleiner als jede vorgegebene Zahl e > 0 aber der Grenzwert wird nicht angenommen 1/n > 0 Der Kehrwert der Folgenglieder strebt gegen Null.

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 + 99 + 98 + ... + 1 101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 = 5050

Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn - (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q = 1 - qn+1 1 + q + q2 + ... + qn = Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner Erdoberfläche: 5*1018 cm2 1 + q + q2 + ... = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:

Nicole von Oresme (1323 - 1382) College de Navarre in Paris: Schüler, Lehrer, Vorsteher Bischof von Lisieux Vorahnung der Analysis Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82  8 = 43/2

100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.

Nicht jede Reihe konvergiert absolut: halbiert und addiert Es sind aber dieselben Glieder!

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) rechnet bewußt mit der harmonischen Reihe: "... so kann die Differenz zwischen zwei harmonischen Reihen, mögen sie auch unendlich sein, doch eine endliche Größe bilden."

Francois Viète (1540 - 1603) = Vieta geboren und gestorben als Katholik, zwischendurch Hugenotte 1572 Bartholomäusnacht: 20000 Hugenotten ermordet Anwalt in Fontenay-le-Comte Parlamentsrat in Rennes und Tours Entschlüsselung des spanischen Geheimcodes (500 Zeichen) größter frz. Mathematiker des 16. Jhds. Wurzelsätze des Vieta sin 2a = 2 sin a cos a und weitere derartige Formeln erste unendliche Faktorenfolge (1593)

John Wallis (1616 - 1703) Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655):

James Gregory (1638 - 1675) konnte alle natürlichen Logarithmen positiver Zahlen berechnen, fand die Taylor-Reihe lange vor Taylor, fand 1671 die Reihe von Leibniz, 3 Jahre vor Leibniz (1674)

Prisma: Lichtzerlegung Haarnadelexperiment Spiegelteleskop Apfelbaum? 1/r2-Gesetz der Gravitation Mechanik: F = p Isaac Newton (1642 - 1727)

Trinity College in Cambridge

¥ Jakob Bernoulli (1654 - 1705) ax = x2  x = a Lemniskate 1696 1/(1+x) = 1 - x + x2 - x3 + x4 -+ ... ½ = 1 - 1 + 1 - 1 + -... Mönch Grandi: so erfolgte die Schöpfung aus dem Nichts: ½ = 1 - 1 + 1 - 1 + -... = 0 + 0 + 0 +...

Leonhard Euler (1707 - 1783) Schüler von Johann Bernoulli Größter Mathematiker des 18. Jhd. Fruchtbarster Mathematiker aller Zeiten Sein Werk füllt 70 große Bände Eulersche Winkel (starrer Körper) Eulersche Kreiselgleichung Eulersche Knickgleichung Eulersche Gleichungen (Hydrodynamik) Mondtheorie, Schiffsbau, Artillerie Bezeichnungen am Dreieck eij = cosj + isinj ln(-1) = ip + ik2p

Friederike von Brandenburg-Schwedt Populäres Buch: Briefe an eine deutsche Prinzessin. In 7 Sprachen übersetzt. Berlin liegt höher als Magdeburg, weil die Spree in die Havel und diese in die Elbe fließt. - Aber weit unterhalb von Magdeburg! Friederike von Brandenburg-Schwedt (1745 - 1808)

Zetafunktion Ausgehend von der Reihe für sin x die Reihe der inversen Quadrate summiert (Leibniz und die Bernoullis hatten es vergeblich versucht) z(2) = 1 + 1/22 + 1/32 + 1/42 + ... = p2/6 z(4) = 1 + 1/24 + 1/34 + 1/44 + ... = p4/90 ... Reihenwerte für ungerade Potenzen: vergeblich gesucht bislang noch nicht gefunden z(-1) = 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

für alle x mit |x| < 1 für x = 1

Die Anzahl der Primzahlen p < N ist ungefähr lnlnN Euler fand die längste Primzahlfolge: n(n+1) + 41 liefert Primzahlen für n = 0 bis n = 39 41, 43, 47, 53, 61, 71, 83, 97 ... Euler hat, wie seine Zeitgenossen, divergente Reihen bedenkenlos eingesetzt, gibt aber erstmals ein Konvergenz-kriterium an: Der Reihenrest nach dem "unendlichsten" Glied muß unendlich klein werden. Euler schreibt immer das letzte Glied mit hin, meist i für numerus infinitus.

= x0 + x1 + x2 + x3 + ... + xi = (-1)0 + (-1)1 + (-1)2 + (-1)3 + ... = 1 - 1 + 1 - 1 + - ... = ½ auch Leibniz und Jakob B. kamen zu diesem Schluß = 1 + 2 + 4 + 8 + ... = -1 mit Wallis angenommen: 1/3 < 1/2 < 1/1 < 1/0 < 1/-1

ln(a/b) = lna - lnb ln2 = ln2 - ln

ln(a/b) = lna - lnb ln2 = ln2 - ln -1 - 1/2 - 1/3 - ... - 1/