Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil

Präsentation zum Thema: "Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil"—  Präsentation transkript:

1 Schrecken der Unendlichkeit, der zweite Teil
Analysis

2 Übersicht Das erste Auftauchen: Zenon Grenzwerte von Zahlenfolgen
Die Eulersche Zahl e Kann man unendlich viele Zahlen addieren? Unendliche Reihen Die geometrische Reihe Die alten Regeln gelten nicht mehr

3 Heraclit (etwa 535 – 475 v.Chr.) Lebte in Ephesos
Der Philosoph der Bewegung Das einzig Stete ist der Wandel Alles fließt Enormer Einfluss in der Moderne

4 Die Geographie der Mathematik

5 Zenon (490 – 430 v.Chr.) Vorsokratiker Schüler des Parmenides
Lebte in Elea (Italien) Berühmt durch Paradoxa

6 Die Geographie der Mathematik

7 Zenon: Achill und die Schildkröte
Ein Paradoxon, das die Alten nicht lösen konnten Problem: Ein Wettlauf zwischen Achill, schnellster Läufer der Antike, und einer Schildkröte

8 Zenon: Achill und die Schildkröte

9 Der mathematische Kern: Die Gesamtzeit
Vachill = 10m/s Vschildkröte = 1m/s Gesamtzeit =

10 Zenons Paradoxon Zenon: Achill kann die Schildkröte nicht einholen
Begründung: Man muss unendlich viele Zeiten addieren und dabei kann nach Zenon nur unendlich herauskommen

11 Eine moderne Lösung

12 Eine andere Argumentation:
Gesamtzeit =

13 Der Kern des Problems Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren? (mit einem plausiblen Ergebnis) Die antiken Mathematiker fanden keine allgemeine Lösung

14 Die moderne Lösung Grenzwerte (von Zahlenfolgen, Funktionen,…..)
Der Begriff der reellen Zahl Viele Überraschungen, auch manche Holzwege! Einige Protagonisten:

15 Newton (1643 – 1727) Begründer der modernen Physik
Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

16 Leibniz (1646 – 1716) Letzter Universalgelehrter
Einer der Väter der Differential- und Integralrechnung

17 Euler (1707 – 1783) Wichtigster Mathematiker seiner Zeit
Erforschte unter anderem die Zahl e

18 Cauchy (1789 – 1857) Schuf die Grundlagen der modernen Grenz-werttheorie, mit vielen Irrungen und Wirrungen

19 Dedekind (1831 – 1916) Brachte den Begriff „reelle Zahl“ zu einem vorläufigen Abschluss

20 Eine einfache Zahlenfolge:

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23 Eine weitere einfache Zahlenfolge:

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25 Der Limesbegriff

26 Der Knackpunkt: Es gibt keine unendlich kleinen Zahlen auf der Zahlengeraden (in R). Andere Zahlmodelle sind möglich 0-Punkt

27 Historisches Die Entwicklung einer allgemeinen Definition benötigte weit mehr als Jahre. Die allgemeine Definition wirkt sehr abstrakt, auf den ersten Blick schwer verständlich.

28 Die genial einfache Idee:
Einsperren der Zahlenfolge beim Grenzwert ε a

29 Die exakte Definition des Grenzwerts einer Folge an

30 Ein berühmter Grenzwert: Die Zahl e
History Fiction: Wie e hätte entdeckt werden können, aus niederen Motiven, aus Geldgier. So ist es nicht geschehen.

31 Die Geburt der Zahl e aus dem Geist des Kapitalismus
Zinsen, immer mehr Zinsen Die Ausgangssituation: 1 € wird ein Jahr lang zu 100% angelegt. Nach einem Jahr hat man K1 = (1 + 1) € Wie kann man mehr erlangen?

32 Unterjährliche Verzinsung
Halbjährlich: K2 = (1 + ½) (1 + ½) = (1 + ½)2 = 2,25 Dritteljährlich: K3 = (1 + 1/3) (1 + 1/3) (1 + 1/3) = (1 + 1/3)3 = 2, ….

33 Die Entwicklung der Zinsen

34 Die allgemeine Situation
Bei n Verzinsungsperioden pro Jahr: Kn = (1+1/n)n.

35 Einige Werte, mit EXCEL berechnet
k n = 10k Kn 1 10 2, 2 100 2, 3 1000 2, 4 10000 2, 5 100000 2, 6 2, 7 2, 8 2, 9 2, 2, 11 1E+11 12 1E+12 2, 13 1E+13 2, 14 1E+14 15 1E+15 3, 16 1E+16

36 Analyse: EXCEL rechnet falsch:
K3 = (1+1/3)3 = (1+1/3)(1+1/3) (1+1/3) > 2 Kn = (1+1/n)n = (1+1/n)(1+1/n)…(1+1/n) > 2 Was kommt wirklich heraus?

37 Eulers Ergebnis

38 Einige Eigenschaften von e
e ist kein Bruch, e ist transzendent

39 Berechnung von e

40 Beispiel: n = 5

41 Die Bedeutung der Zahl e: f(x) = ex
Anwendungen: Wachstumsprozesse Zerfallsprozesse Hintergrund: (ex)´ = ex

42 Eine Bemerkung zu den Zinsen
So wachsen die Bäume nicht in den Himmel Aber: Geldgier macht erfinderisch. Man kann mit Zinsen mehr rausholen. „Vorschüssige Zinsen“

43 Unendliche Summationen Beispiele
…… 1 – – – ….. 1 + ½ + 1/3 + ¼ + 1/5 + 1/6 + …. 9/10 + 9/ / ….. 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

44 Wie kann man unendlich viele Zahlen addieren?
Eigentlich gar nicht. Vorschlag: Addiere bis zur n-ten Zahl: S1, S2, S3, ´… Sn, … („Partialsummen“) S = lim Sn

45 Entwicklung von S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + (½)4 + …..

46 S = 1 + ½ + (½)2 + (½)3 + ….. S1 = 2 – 1 < 2 S2 = 2 – ½ < 2
Sn = 2 – (½)n-1 < 2 Der Unterschied zu 2 geht gegen 0! lim Sn = 2

47 Das 0,9999..-Problem 0,99999…. = 9(1/10 + 1/100 + 1/1000 + ….)
0,99999…. = 9(1/10 + 1/ / ….) S1 = 9/10 S1 = 1 – 1/10 S2 = 99/100 S2 = 1 – 1/100 Sn = …. Sn = 1 – 1/10n 0,999… = lim Sn = 1

48 Die berühmte Leibnizreihe
Die Reihe: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … Die Reihe hat einen Wert („konvergiert“):

49 Die Entwicklung der Summe

50 Welchen Wert hat die Reihe?
Eulers Ergebnis: S = 1 – ½ + 1/3 – ¼ + 1/5 – 1/6 + 1/7 - + … = ln 2 = 0,6931……..

51 Schrecken der Unendlichkeit

52 Ein unmögliches Ergebnis

53 Wo liegt der Trugschluss?
Die Reihenfolge der Summanden ist relevant! Es gilt nicht die Verallgemeinerung von a +b + c = b + c + a = b + a + c = …..

54 Es kommt noch schlimmer: Der Satz von Riemann
Man kann durch geschicktes Umsortieren jedes Ergebnis erzeugen. Dies geht allerdings nicht bei allen unendlichen Summen.

55 Bernhard Riemann (1826 – 1866) Nachfolger von Gauß in Göttingen
Mathematisches Genie Ohne ihn keine allgemeine Relativitäts- theorie

56 Die Idee von Riemann

57 Die Idee von Riemann

58 Die Idee von Riemann

59 Die Entwicklung der Summe

60 Die Entwicklung der Summe

61 Warum nicht 42 als Beispiel?
Man muss im ersten Schritt zwischen 1035 und 1036 Summanden addieren!

62 Entschlüsselte Geheimnisse
Mehr Mathe in Tholey: Es geht weiter im März 2004. Entschlüsselte Geheimnisse