5. Das 17. Jahrhundert.

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1 5. Das 17. Jahrhundert

2 Girard Desargues ( ) französischer Ingenieur und Mathematiker 1639: Projektive Geometrie Alle Parallelen streben zu einem Punkt der Unendlichkeitslinie.

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4 Trinity College

5 Pietro Perugino: Fresco at the Sistine Chapel, 1482

6 Zentrale Anlaufstelle für alle Gelehrten seiner Zeit: Minimenpater Marian Mersenne (1588 - 1648)
78 Korrespondenzpartner, viele Reisen Zeitgenossen: Kepler, Galilei : 30-jähriger Krieg 1624 Kardinal Richelieu leitender Minister Ludwigs XIII. Ränke, Intrigen, Absolutismus, Pest.

7 Réné Descartes du Perron
( ) cogito ergo sum Jedes Problem  mathematisches Problem Jedes math. Problem  algebraisches Problem Jedes algebraische Problem  eine Gleichung Der gesunde Verstand ist die bestverteilte Sache von der Welt.

8 Unbekannte: x,y,z, Konstanten: a,b,c,...
Potenzbezeichnung: aa, a3, a4, ... Eulerscher Polyedersatz: E + F = K + 2 Methode der unbestimmten Koeffizienten 3 (cosx + sinx)2 + 5x = Acosxsinx + Bx + C A = 6, B = 5, C = 20

9 Anzahl der Lösungen = Grad des Polynoms
Wahre und falsche Lösungen, beide sind nicht immer reell sondern mitunter nur imaginär Imaginäre Zahlen eingeführt von Rafaello Bombelli Analytische Geometrie, Cartesische Koordinaten. (Fermat schon 1629 bekannt, aber erst später veröffentlicht.) Originalbezeichnung: Fundamentallinien ("Koordinaten" stammt von Leibniz) Meist schiefwinklige Koordinatensysteme verwendet. Geometrie und Algebra sind verschiedene Formen derselben Sache.

10 Tangentenproblem (Normalenbestimmung)
Das allgemeinste und nützlichste Problem,das ich weiß.

11 Pierre de Fermat ( ) Dichtete in Latein, Griechisch, Italienisch, Spanisch Studium der Rechte, vermutlich in Bordeaux leitender Richter in Toulouse Begründer der modernen Zahlentheorie 1652 an Pest erkrankt, totgesagt, wieder genesen Grabsteininschrift (Castres): Starb im Alter von 57 Jahren Mathematisches Reihensummierung, Binomialkoeffizienten, Wahrscheinlichkeitstheorie, Vollständige Induktion, Extremwertaufgaben, Zahlentheorie: Primzahlen, vollkommene Zahlen Löste virtuos Aufgaben wie: Gibt es eine vollkommene Zahl zwischen 1020 und 1022 ?

12 1636: Entdeckung eines zweiten Paares befreundeter Zahlen: 17296 und 18416
Descartes entdeckte das dritte Paar: und Euler entdeckte weitere 22 Paare. Alle übersahen das kleine Paar 1184 und 1210 (Niccolò Paganini 1866 mit 16 Jahren. - Der gleichnamige Geiger starb 1840) p = 32n - 1, q = 32n-1 - 1, r = 3322n-1 - 1 p, q, r, seien ungerade Primzahlen, dann sind A = 2npq, B = 2nr n = 2: p = 11, q = 5, r = 71  (220, 284) 26 ist die einzige Zahl direkt zwischen einer Quadratzahl und einer Kubikzahl: 52 = 25, 33 = 27

13 "wahrhaft wundersamer Beweis" demonstratio mirabilis sane
vermutlich für n = 4 mittels descente infinite bewiesen für n = 3 hatten die Araber um 1000 schon einen Beweis (allerdings einen falschen)

14 2p-1  1 (mod p)

15 2p-1  1 (mod p)

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19 Bestimmung der Tangenten vieler Kurven.
Extremwertaufgaben (1629) B ist in zwei Teile zu zerlegen, welche das größte Produkt ergeben: A und B - A A + E und B - A - E A(B - A) = (A + E)(B - A - E)  0 = E(B - 2A -E)  0 = B - 2A - E (E  0)  0 = B - 2A Im Ergebnis: [{F(A+E) - F(A)} / E]E=0 = 0 oder dF(A)/dA = 0 Erfindung der Differentialrechnung 35 Jahre vor Newton. Bestimmung der Tangenten vieler Kurven.

20 Blaise Pascal ( ) Frühreif, genial: Winkelsumme im Dreieck als Kleinkind gefunden. Euklid gelesen. Rechenmaschine erfunden: Addition von achtstelligen Zahlen mit Zehnerübertragung per Feder und Schwerkrafthebel. Komplementärzahlen zur Subtraktion vollendet. 50 Exemplare verkauft, 10 davon noch erhalten.

21 1648 Torricellis Idee vom Luftdruck nachgewiesen.
Experiment mit Hilfe seines Schwagers Périer auf dem 1465 m hohen Puy de Dome. 85 mm Hg Differenz.

22 1649 Rückkehr nach Paris wüstes Leben, Bekanntschaft mit dem Spieler De Méré kränklich 1654 schwerer Unfall, religiöser Fanatismus, Eiferertum gegen die Jesuiten, Zisterzienserkloster Port Royal bei Versailles, Askese: Stachelgürtel 1662: Idee zur Personenbeförderung in Paris öffentlich Pferdewagen einzuführen. Königliches Patent zur Eröffnung der ersten Omnibuslinie ( ). Tod am

23 Pascalsches Dreieck: unabhängig vorher von Fermat und noch früher von den Arabern entdeckt.
Anwendung auf Wahrscheinlichkeitsrechnung. Wahrscheinlichkeit für Sechserpasch = 1/36 Ein Spiel soll durch dreimaligen Gewinn entschieden werden, muß aber beim Stande von 2:1 für A abgebrochen werden. Wie ist der Einsatz zu teilen? ¾ zu ¼ Gewinnt A, so erhält er alles (1/2 geht an A), gewinnt B, so herrscht Gleichstand (1/2 ist zu teilen). Fermatsche Lösung: AA, AB,BA,BB  ¾ zu ¼ Flächen-, Volumen und Schwerpunktbestimmungen udv = uv - vdu Briefwechsel mit Fermat, 1654 Methode der vollständigen Induktion (auch Euklid, Fermat).

24 Reihensummierung (auch Fermat)
(n + 1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1 ___________________________ = 3*12 + 3*1 + 1 = 3*22 + 3*2 + 1 = 3*32 + 3*3 + 1 ... (n + 1)3 - n3 = 3n2 + 3n + 1 (n + 1) = 3Sk2 + 3Sk + S1  3Sk2 = n3 + 3n2 + 3n Sk - n = n2(n + 1) + 2n(n + 1) - 3n(n+1)/2 = (n2 + n/2)(n + 1) Sk2 = n(2n + 1)(n + 1)/6

25 John Wallis ( ) Wallis' Produkt in: Arithmetica Infinitorum (1655): John Wallis benutzte das Symbol ¥ erstmals 1655 in seiner Arithmetica Infinitorum.

26 Schotten und Iren wehren sich gegen die Einführung der anglikanischen Kirche
Bürgerkrieg zwischen Krone und Parlament. 1649 Karl I. hingerichtet. Diktatur Oliver Cromwells.

27 James Gregory ( ) fand die Taylor-Reihe lange vor Taylor, fand 1671 die Reihe von Leibniz, 3 Jahre vor Leibniz (1674)

28 Vater, Landwirt, kurz vorher gestorben schwächliches Kind
Isaac Newton ( ) Vater, Landwirt, kurz vorher gestorben schwächliches Kind eigenbrötlerisch, verschlossen Mutter wiederverheiratet (mit einem 63 jährigen Prediger) Erziehung (3- bis 11-jährig) durch Großmutter

29 Drohung Mutter und Stiefvater zu verbrennen Grammar School: Latein
Isaac Newton ( ) Drohung Mutter und Stiefvater zu verbrennen Grammar School: Latein einzige Romanze: Puppenhausmöbel gebaut technisch begabt manisches Interesse an Sonnenuhren Mäusemühle Drachen mit Laterne als Hirte gescheitert (Bau von Wasserrädern)

30 1660 Cromwells puritanische Revolution beendet
1660 Cromwells puritanische Revolution beendet. Restauration: Stuartkönig Karl II Eilige politische Anpassung des Trinity College als subsizar (Armer, zu Dienstleistungen verpflichtet) Aristotels, Descartes, Galilei 1664 Studium bei Isaac Barrow ( ) Prüfung zum Stipendiaten: Euklid ./. durch Wohlwollen Barrows bestanden. Aussicht, Fellow zu werden.

31 1665/66 Pest, Univ. geschlossen
annus mirabilis: Teleskop, Prisma, Spiegelteleskop Apfelbaum, Pendelversuche, Mond, 1/r2 Mathematik: Entdeckung der unendlichen Reihen für jede Potenz eines Binoms Newton-Verfahren, Differentiation / Integration, Krümmung, Wendepunkte, keine Produktregel, keine Quotientenregel Die Punkte (x,y) einer Kurve f(x,y) = 0 werden erzeugt aus den Fluenten x(t) und y(t). Die Geschwindigkeiten, mit der diese sich ändern, sind die Fluxionen: Nicht kleinste Teilchen (dx), sondern Wachstum wie in der Natur.

32 Prisma: Lichtzerlegung
Haarnadelexperiment Spiegelteleskop Apfelbaum? 1/r2-Gesetz der Gravitation Mechanik: F = p

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36 1682 Gravitationsgesetz Kopernikus fand, daß die Planeten sich bewegen. Kepler fand, wie die Planeten sich bewegen. Newton fand, warum die Planeten sich bewegen. 1687 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ohne Analysis! (Verwendung später fälschlich behauptet.) 1689 Parlamentsmitglied für Univ. Cambridge konservativ und königstreue, aber noch mehr kirchentreu. Nie das Wort ergriffen. Korrespondenten: Boyle, Gregory, Hooke, Flamsteed, Halley, Wallis, Huygens, Leibniz 1693 schwerer Nervenzusammenbruch 1696 London, Direktor der königlichen Münze 1699 Beginn des Prioritätsstreites mit Leibniz

37 Trinity College in Cambridge

38 Interessen: Nur Studien und Religion
Zeit seines Leben von der fixen Idee besessen, jemand könnte ein Fehler in seiner Argumentation finden. Alles immer wieder nachgerechnet: water-tight pathologisch empfindlich gegen Kritik im Streit mit vielen Kollegen Gegen Hooke Unmöglichkeit achromatischer Refraktoren behauptet. Beugungsexperimente: Hooke in die Falle gelockt. Prioritätsstreit wegen 1/r2-Gesetz. Auch Gleichförmigkeit linearer Bewegung wurde schon vorher von Galilei behauptet. Königlicher Astronom Flamsteed: Monddaten nicht herausgegeben. Raubdruck. Alle Zitate getilgt. Streit mit Leibniz: Plagiatsvorwurf. Ankläger und Richter vor der Royal Soc., tiefe Befriedigung über dessen Tod: Herz gebrochen  unverträglicher Mensch Später nur noch alchimistische, mythologische und theologische Fragen.

39 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Vater: Leibnütz, Notar und Professor der Moral, Familie aus Polen eingewandert in Druckschriften: Leibnuzius, Leibnitius, Unterschrift: Leibniz, selten Leibnitz Geschwür am Hinterkopf zwingt zur Perücke. Studium (mit 15 Jahren begonnen): Rechte, Philosophie, Logik, Mathematik (höchst elementar) in Leipzig und Jena 1664 Magister phil. 1665 Baccalaureus jur. 1667, Altdorf bei Nürnberg: Doktor beider Rechte sofort ergangenes Professurangebot abgelehnt.

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42 Nachlaß von Pascal gesichtet. Ähnliche Dreiecke erkannt.

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47 rechnet bewußt mit der harmonischen Reihe:
"... so kann die Differenz zwischen zwei harmonischen Reihen, mögen sie auch unendlich sein, doch eine endliche Größe bilden."

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49 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716)
Infinitesimalrechnung (Calculus) Sir Isaac Newton ( ) Gottfried Wilhelm Leibniz ( )

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51 Der Prioritätsstreit 1676 Leibniz gelangt zum Infinitesimalkalkül und fragt bei der Royal Society (Oldenburg) nach dem dortigen Stand der Mathematik. Zwei Briefe des damals hochgeschätzten Newton für den damals hochgeschätzten Leibniz: Unendliche Reihen. Leibniz begeistert. Andeutungsweise Newton-Verfahren, weitere Reihen, und unverständliche Anagramme wie: 6a, 2c, d, ... Eine Methode besteht aus der Bestimmung der Fluente aus einer Gleichung, die gleichzeitig ihre Fluxionen enthält. Leibniz erhält den letzten Brief erst neun Monate später, Juni 1677, und antwortet mit der Darstellung seines Kalküls. Begriffsprägung: Differentialgleichung

52 Newton antwortet nicht. Gekränkte Eitelkeit? Oldenburg tot.
1684 Leibniz veröffentlicht seinen Kalkül. Erwähnt Newton nicht. (Nur im Begleitbrief: Newtons Inventa zu Reihen.) 1685 John Craig, Kollege von Newton in Cambridge, veröffentlicht ein Lehrbuch, gestützt auf Leibniz' Kalkül und Bezeichnungsweise. Newton liest das Buch, reagiert nicht. 1687 Principia erscheinen, ohne eine Ableitung, aber mit Hinweis auf Newtons Kalkül (in Briefen an Leibniz verborgen) und auf die unabhängig von dem "sehr gelehrten Mathematiker Leibniz" gefundene (mitgeteilte) Methode. In der 3. Auflage 1726 getilgt. 1693 Wallis veröffentlicht die beiden Newtonschen Briefe mit Auflösung der Anagramme. 1699 Fatio Duillier (in England lebender Schweizer Mathematiker, religiöser Fanatiker, 1706 verrückt geworden) bezichtigt Leibniz des Plagiats. Druckerlaubnis der Roy. Soc.

53 Beschwerde von Leibniz bei Wallis freundlich aufgenommen: Irrtum der Roy. Soc.
1703 Newton Präsident der Roy. Soc. Newton nimmt nicht Stellung, verteidigt aber seine Methode 1704: Wachstum natürlicher als unendlich kleine Größen. 1705 Leibniz (anonym in AE) bespricht Newtons Kalkül sehr wohlwollend, aber vergleicht Newton in einem unscheinbaren Nebensatz mit einem ganz unbedeutenden Mathematiker. Leiniz leugnet seine Autorschaft gegenüber Johann und Niclaus Bernoulli. 1705 Newton als MP nicht wiedergewählt (wollen keinen Fanatiker) Tories einflußarm 1706 Im Nekrolog auf Jakob Bernoulli (AE): "Die große Leibnizische Infinitesimalanalysis ..."

54 1710 John Keill (PT): "Später hat Leibniz die Newtonsche Rechnung unter veränderter Bezeichnungsweise veröffentlicht." 1711: Sitzung der Roy. Soc. Newton ärgerlich über Keills Buch, bis dieser ihm die Besprechung von 1705 zeigte. Keill wird mit Klarstellung beauftragt, er findet: Aus Newtons Briefen hätte selbst ein gewöhnlicher Geist die Methode klar erkennen können. Beschwerde von Leibniz. Ausschuß der Roy. Soc. kommt ohne Anhörung von Leibniz zum selben Urteil.

55 Exemplare der Zusammenfassung (fein, schlau und giftig) mit Briefabdrucken werden kostenlos an alle bekannten Gelehrten geschickt, nicht aber an Leibniz. Sie unterstellen Leibniz geistigen Diebstahl auch in anderen Fällen. Autor: Newton! 1713 Grobes anonymes Flugblatt von Leibniz: Newton habe lange die höhere Diff. nicht verstanden, da in den Principia nicht vorkommend. (Zitat aus Brief Johann Bernoullis) 1715 Schmähschrift, offiziell von Keill, verfaßt von Newton. Nach Leibnizens Tode weitere Schmähungen. Neudruck der Zusammenfassung mit Veränderungen und weiteren bewußten Fälschungen durch den 79-jährigen Newton. Tiefe Befriedigung über Leibnizens Tod.

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60 Holländische Emigranten aus religiösen Gründen
(Holland im 16. Jhd. spanisch regiert) Jakob Bernoulli ( ) Johann Bernoulli ( )

61 1689 Bezeichnung: Integral
1690 Gestalt eines an zwei Punkten aufgehängten Seiles? Kettenlinie: y = cosh x Lösung durch Leibniz, Huygens, Johann B. Diverse Kurven, Kurvenlänge Extrema Wahrscheinlichkeitslehre (Buch: Ars conjectandi) 1713 herausgegeben von Niclaus I. Vollständige Induktion nochmals erfunden. Bezeichnung: Permutation

62 ¥ Jakob Bernoulli (1654 - 1705) ax = x2  x = a Lemniskate
/(1+x) = 1 - x + x2 - x3 + x ½ = Mönch Grandi: so erfolgte die Schöpfung aus dem Nichts: ½ = =

63 xndx =  dx/x = Johann Bernoulli (1667-1748) Partialbruchzerlegung
Trennung der Veränderlichen Herausforderung an alle Mathematiker: Kurve, auf der ein Körper unter dem Einfluß der Schwerkraft gleitend am schnellsten von A nach B gelangt. Brachistochrone (umgekehrte Zykloide) Punkt auf der Peripherie eines rollenden Rades

64 Johann Bernoulli ( ) Lösung durch Jakob B., Leibniz, und ohne Beweis: Newton und de l'Hospital 1718 Funktion = veränderliche Größe 1730 Algebraische und transzendente Funktionen 1727 Schwingende Saite In Paris Kontakt mit de l'Hospital, der später ein Lehrbuch der Diff-rechnung veröffentlicht hat. (l'Hospitalsche Regel) Plagiatsvorwurf Johanns immer lauter, je länger l'Hospital tot war. Vermutlich falsch.

65 Der Streit der Brüder Bernoulli
1692 Johann (in Paris): Jakob ist an der Segelkurve verzweifelt. 1695 Jakob: - Keineswegs verzweifelt, sondern richtige Lösung rechtzeitig an Leibniz abgeschickt. Johanns Lösung war fehlerhaft, obwohl von de l'Hospital verbessert. - Johanns letzter Aufsatz über Isochrone = nach dem Frühstück Eier auftragen. 1696 Johanns Aufgabe: Zykloide 1697 Antwort Jakobs samt 3 Aufgaben mit 50 Imperialen Dukaten Preisgeld für Johann. 6 Monate Zeit. Johann: Lösung innerhalb 3 Minuten, an Leibniz geschickt.

66 1698 Jakob: Eine Aufgabe nicht korrekt
1698 Jakob: Eine Aufgabe nicht korrekt. Man kann aus falschen Annahmen durch falsches Schließen zum richtigen Ergebnis kommen. Johann: Der [unbekannte Kritiker] ist so dumm wie ein Fisch. Nur eine unbedeutende und nicht gefragte Verallgemeine­rung ist fehlerhaft. Jakob: Soll diese Erklärung nun gelten? (Damit später keine Übereilung mehr vorgeschützt werden könne.) ... 1700 Jakobs Lösung 1706 Johanns Gegenlösung 1718 Johanns Eingeständnis eines Irrtums

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