20. Reihen
Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855) 1 + 2 + 3 + ... + 100 100 + 99 + 98 + ... + 1 101 + 101 + 101 + ...+ 101 = 10100 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 = 5050
Geometrische Reihe: 1 + q + q2 + q3 + ... + qn - (1 + q + q2 + ... + qn-1 + qn)q = 1 - qn+1 1 + q + q2 + ... + qn = Schach: 264 - 1 = 2*1019 Reiskörner Erdoberfläche: 5*1018 cm2 1 + q + q2 + ... = für IqI < 1 unendlich viele Zahlen, endliche Summe:
1/2
1/2 + 1/4 = 3/4
1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 = 15/16
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1 unendlich viele Zahlen endliches Ergebnis 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = 1
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 2 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + ... = 10/9 1 + 2/3 + 4/9 + 8/27 + ... = 3 1 - 1/3 + 1/9 - 1/27 + ... = 3/4
0,123123123... = 0,123(1 + 1/1000 + 1/1000000 + ...) = 0,123/(1 - 1/1000) = 123/999 Alle periodischen Dezimalzahlen Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen Alle irrationalen Zahlen sind nicht periodisch. 2, e, p, ln2 Sei 2 = p/q, teilerfremd 2q2 = p2 p ist gerade q ist gerade
1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) Nicole von Oresme (1323 - 1382) Vorahnung der Analysis und des heliozentrischen Systems Gebrochene Potenzen: 43 = 64 = 82 8 = 43/2 1 + 1/2 + (1/3 + 1/4) + (1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8) + (1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13+ 1/14 + 1/15 + 1/16) + (1/17 + 1/18 + 1/19 + 1/20 + 1/21 + ... + 1/30 + 1/31 + 1/32) + ... unendlich viele Zahlen unendliches Ergebnis
100.000.000.000.000.000.000 mal das Alter des Universums.
(sk) s
(sk) s
Nur Nullfolgen können konvergente Reihen ergeben.
Übung: Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:
Nicht jede Reihe konvergiert unbedingt: halbiert und addiert Es sind aber dieselben Glieder!