Normalverteilte Zufallsvariablen

Beispiele für (approximativ) normalverteilte Zufallsvariable: - Körpergröße (-gewicht, IQ) eines zufällig ausgewählten erwachsenen Bundesbürgers über 18 - Rendite einer Aktie an einem zufällig ausgewählten Börsentag - Anzahl Autos, die in einer Stunde eine Kreuzung passieren - Anzahl Leser des Leitartikels in der FAZ

Eigenschaften der Normalverteilung Außerdem sind Linearkombinationen von normalverteilten ZVen i.a. wieder normalverteilt (konkret: wenn sie eine gemeinsame Normalverteilung haben).

Zentraler Grenzwertsatz: Seien X₁, … Xn unabhängige Zufallsvariablen mit endlichen und beschränkten Varianzen. Dann nähert sich die Verteilungsfunktion von Zn := X1 + …+ Xn mit wachsendem n immer mehr der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen mit Parametern μ= E(Zn ) und σ²= Var(Zn)

5.3 Unabhängige Ereignisse und bedingte Wahrscheinlichkeiten   Wiso-Skript Kap. 8.4

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Aufgabe: Betrachten sie folgenden beiden Ereignisse beim einfachen Poker (jeder erhält verdeckt fünf Karten): A: Ich habe mindestens drei Asse B. Ich habe mindesten drei Könige Sind A und B unabhängig? Wenn ja, warum. Wenn nein, warum nicht.

4 häufige Fehler bei bedingten Wahrscheinlichkeiten: 1. Mentale Kurzschlüsse in der Interpretation des bedingenden Ereignisses 2. Verwechseln von P(A|B) mit P(B|A) 3. Verwechseln von P(A|B) mit P(A|B und C) 4. Reinfallen auf das Simpson-Paradox

Vier gleich wahrscheinliche Möglichkeiten für ein Geschwisterpaar: (M,M), (M,J), (J, M), (J, J)

Ich wähle zunächst die linke Tür

3. Fehlertyp. Verwechseln von P(A|B) mit P(A|B und C)

P(Ehemann ist Mörder| Ehemann hat Frau geschlagen) = 1/2500 P(Ehemann ist Mörder | Ehemann hat Frau geschlagen und Frau ist ermordet worden) = 8/9 Siehe I. Good: „When batterer becomes murderer,“ Nature 391, 1969, S. 481

P(A|B) < P(A| nicht B) Simpson-Paradox (nach E. H. Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 1951, S. 238–241): Es ist möglich, dass P(A|B und Ci) > P( A| nicht B und Ci) für alle i, und trotzdem P(A|B) < P(A| nicht B) >/

Number of women (among 100.000 in the respective age groups) who died from cancer in Germany 0-4 7 3 5-9 6 2 10-14 4 2 15-19 6 2 20-24 8 4 25-29 12 6 30-34 21 13 35-39 45 25 40-44 84 51 45-49 144 98 50-54 214 161 55-59 305 240 60-64 415 321 65-69 601 468 70-74 850 656 75-79 1183 924 80-84 1644 1587 Aus: W. Krämer und G. Gigerenzer: “How to confuse with statistics“, Statistical Science 2005

Diskriminierung bei der Studienplatzvergabe? Verteilung der Bewerber auf die Fächer: Journalistik Mathematik insgesamt Männer 100 (10=10%) 400 (200=50%) 500 (210=42%) Frauen (80=20%) (60=60%) (140=28%) rot: akzeptierte Bewerber