Lineare Funktionen mit der Gleichung y = mx in min s in m 1 1,5 2 3,0 3 4,5 Wenn sich eine Schildkröte mit einer gleich bleibenden Geschwindigkeit von 1,5 m/min fortbewegt, so besteht zwischen zurückgelegtem Weg und verflossener Zeit ein spezieller funktionaler Zusammenhang: Es handelt sich um einen direkte Proportionalität mit dem Proportionalitätsfaktor 1,5 m/min.

Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften: Jeder direkt proportionaler Zusammenhang zwischen zwei Größen y und x kann durch eine spezielle lineare Funktion mit der Gleichung y = f(x) = mx beschrieben werden. Solche Funktionen haben folgende Eigenschaften: Der Definitions- und der Wertebereich ist R. Der Graph von y = f(x) = mx ist stets eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft.

Die Zahl m heißt dabei der Anstieg der Funktion f. Anschaulich betrachtet, kann man sagen: Wenn x um 1 ver-größert wird, so ver-ändert sich y um m. Wir sagen: „1 nach rechts und m nach oben.“

Der Anstieg m Ist dabei m > 0, so wachsen die Funk-tionswerte an, d.h. die Gerade steigt. Ist dagegen m < 0, so fallen die Funktionswerte, d.h. die Gerade fällt.

Um den Graphen einer linearen Funktion mit y = mx zu zeichnen, werden nur zwei Punkte benötigt. Als ein Punkt kann z.B. immer der Koordinaten-ursprung gewählt werden. Einen zweiten Punkt erhält man, indem man den Anstieg m benutzt. (Oder man berechnet die Koordinaten dieses Punktes mithilfe der Funktions-gleichung.)

m ist ein Bruch

m < 0  der Graph fällt

Steigungs- dreieck Steigungsdreiecke kann man in beliebiger Größe und an beliebiger Stelle zeichnen sowie entlang des Graphen verschieben. Steigungs- dreieck

Durch die Gleichung y = f(x) = mx wird eine ganze Schar von Funktionen beschrieben, die sich nur im Anstieg m unterscheiden. Diese Schar von Funktionen verläuft durch den Koordinatenursprung für m > 0 wachsen (oder steigen) und für m < 0 fallen die Geraden.

Sonderfall einer linearen Funktion y = n Eine Funktion der Form y = n, (d.h. y = mx + n mit m = 0), heißt konstante Funktion. Der Graph einer konstanten Funktion mit y = n ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand n.

Für Funktionen mit der Gleichung y = f (x) = mx + n gilt: Die Graphen bestehen aus Punkten, die auf einer Geraden liegen. n heißt absolutes Glied und gibt an, an welcher Stelle die Gerade die y-Achse schneidet. Bei gleichem Anstieg m und unterschiedlichem n sind die Graphen zu-einander parallele Geraden.

Zeichnen der Graphen von Funktionen z. B. y = 0,5 x + 1 Die einfache Möglich-keit, den Graphen einer linearen Funktion zu zeichnen, ist das Ver-wenden von Werten aus einer Werte-tabelle. Dabei sollte man günstige, d.h. leicht errechenbare Werte nutzen. y=0,5x+1 -1 1 2 3 x 0,5 1,5 2,5

Zeichnen der Graphen von Funktionen z. B. y = 0,5 x + 1 Man kann auch ein Steigungsdreieck und den Schnittpunkt mit der y-Achse (0; n) nutzen: n = 1 auf der y-Achse markieren. m = 0,5 bedeutet für das Steigungsdreieck: „1 nach rechts und 0,5 nach oben.“

Der Graph der Funktion n = 1 Der Punkt (0; -1) ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. m = - 3/2 Von diesem Punkt aus wird das Steigungsdreieck (um 2 Einheiten nach rechts und um 3 Einheiten nach unten) angetragen.

Nullstellen von Funktionen Unter der Nullstelle einer Funktion versteht man die Schnittstelle mit der x-Achse (Abzissenachse). Also liegt die Nullstelle hier bei xn = 0,5.

Rechnerische Nullstellenermittlung Um die Nullstelle einer linearen Funktion zu ermitteln, wird in die Funktionsgleichung für y = 0 eingesetzt und die entstehende Bestimmungsgleichung nach x aufgelöst.

Fortsetzung: Nullstellen Funktionsgraphen können keinen, einen oder mehrere Schnitt- bzw. Berührungs-punkt(e) mit der x-Achse haben. Die zugehörigen Funk-tionen haben dann keine, eine oder mehrere Null-stelle(n). xn1= -2 und xn2= 3

keine, eine oder mehrere Nullstellen haben. Eine Funktion kann keine, eine oder mehrere Nullstellen haben.                                                                                                                                           xn = / xn = 0 xn1 = -1 und xn2 = 1