Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008 Magnetooszillationen Shubnikov-de-Haas Oszillation Vera Gramich und Caroline Clement, 20.11.2008

Gliederung: 1. Motivation 2. Einführung Voraussetzungen Oszillation der Gesamtenergie Shubnikov-de-Haas Effekt (SdH) De-Haas-van-Alphen Effekt (dHvA) Ausblick QHE Zusammenfassung

1. Motivation SdH-Oszillation

2. Einführung Magnetooszillationen: z.B. SdH: Widerstand rxx oszilliert mit dHvA: magnetisches Moment m oszilliert mit QHE: keine Oszillationen, sondern Peaks im Widerstand rxx Wichtig: Oszillation nicht mit B, sondern mit !!!

Grund: Gesamtenergie (Fermi-Energie) oszilliert mit  jede aus der Energie ableitbare Größe oszilliert ebenfalls !! Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen aus diesen Effekten

3. Voraussetzungen e- Elektron muss mindestens eine Kreisbahn vollenden (klassisch)  wct >> 1 dazu benötigt man: - hohes B-Feld - lange Stoßzeit t - tiefe Temperaturen T QM: scharfe Besetzung der Energieniveaus  B

4. Oszillation der Gesamtenergie 4.1 Bahnquantisierung im Ortsraum Klassisch: e- im B-Feld auf Kreisbahn QM : e- durch Wellenfunktion beschrieben  „Enden“ der Wellenfunktion müssen „aufeinander“ passen  Semiklassísche Behandlung: Fläche und Radius der Bahn müssen quantisiert werden !!

Hamiltonoperator:  Lösen der stationären Schrödingergleichung  Energieeigenwerte En Weg motiviert: von 2 Seiten aus gesehen 2-dim harmonischer Oszillator in x-y Ebene Energieeigenwerte bekannt: Quantisierte Energieeigenwerte: . e- . Beobachter Beobachter Landau-Niveaus

B = 0: B ≠ 0: Umordnung der Zustände Zustände bleiben aber erhalten !!

4.2 Semiklassischer Ansatz von Onsager & Lifschitz Wie sehen die Elektronenbahnen aus? kanon. Impuls: Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: Kinetischer Term integriert: Phasenkorrektur

Feldimpuls-Term integriert: Insgesamt erhalten wir: Quantisierung des magnetischen Flusses: Flußquantum Resultat: Fluß in Einheiten von f0~ 4,14*10-15 Tm2 quantisiert !!

Zwischenergebnis: Im Ortsraum quantisierte Bahnen Bahn hat diskrete Fläche Quantisierung des Flusses Wie sieht quantisierte Bahn im k-Raum aus ?

4.3 Bahnquantisierung im k-Raum Experimenteller Befund: - Bahn in Ortsraum ~ B - Bahn in k-Raum ~ Transformationsvorschrift: Integration Vorschrift für die Transformation der Länge eines Vektors vom Ortsraum in den k-Raum

Im k-Raum überstrichene Fläche: Um welchen Betrag muss B zunehmen, dass 2 benachbarte Bahnen Sn-1 und Sn gleiche Flächen im k-Raum umschließen? Fläche im k-Raum Fläche im Ortsraum Gleiche Zunahmen von D Identische Bahnen im k-Raum

Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B Im k-Raum quantisierte Bahnen ~ Merke: Im Ortsraum quantisierte Bahnen ~ B Im k-Raum quantisierte Bahnen ~ Physikalische Eigenschaften oszillieren mit Wie wirkt sich das auf die Gesamtenergie des Systems aus?

4.4 Umverteilung der Zustände im k-Raum B = 0: diskrete Punkte Energieeigenwerte: 1 Zustand hat Fläche : Dichte der Punkte: durch 2 Quantenzahlen bestimmt!

diskrete Landau-Zylinder (3-dim) diskrete Landau-Kreise (2-dim) B ≠ 0: (hohes B-Feld) diskrete Landau-Zylinder (3-dim) diskrete Landau-Kreise (2-dim) Energieeigenwerte: nur noch durch eine Quantenzahl bestimmt!

Umverteilung:  Zustände bleiben erhalten zu festem n: kx2 + ky2 = const  Zahl der Zustände pro Quantenzahl n = Entartung: mit

4.5 Oszillation der Gesamtenergie (qualitativ) B = 0 B = B1 ≠ 0 Zustände bis EF besetzt Energie erniedrigt um ins Niveau zu kommen Energie erhöht um ins Niveau zu kommen = Gesamtenergie bleibt gleich !! EF(B = 0) EF(B = B1)

< B-Feld steigt an  Abstand der Landau-Niveaus wird größer B = 0 B ≠ 0 = B2 > B1 Keine Zustände, die Energie erniedrigt haben !!! < EF( B = 0) Gesamtenergie erhöht !!! EF( B = B2)

= B = 0 B ≠ 0 = B3 > B2 Nur noch 2 Landau-Niveaus besetzt EF( B = 0) Gesamtenergie bleibt gleich !!! EF( B = B3)

 Gesamtenergie oszilliert als Funktion von B !! Teilweise besetzte Niveaus vollständig besetzte Niveaus

4.6 Oszillation der Gesamtenergie (quantitativ) Feld B0: s Landau-Niveaus besetzt; Niveau s+1 teilweise besetzt  EF liegt in Niveau s+1 B > B0: Entartung nimmt in den Niveaus s zu  aus Niveau s+1 wandern Zustände in niedrigere Niveaus s  wenn Niveau s+1 leer  EF springt ins Niveau s !  bei bestimmten kritischen Feldern springt EF ins niedrigere Niveau !

- „kritische“ Felder, an denen EF springt: - Gesamtenergie für Feld B: Gesamtzahl der e- Entartung Zahl der besetzten Niveaus

Gesamtenergie oszilliert mit Nur voll besetzte Niveaus  Minimum der Gesamtenergie teilweise besetzte LN Voll besetzte LN Gesamtenergie oszilliert mit damit oszilliert jede aus der Energie ableitbare thermodyn. Größe auch mit

5. Shubnikov-de-Haas Effekt Gesamtenergie oszilliert mit Zustandsdichte oszilliert ebenfalls elektrische Leitfähigkeit hängt ab von Zustandsdichte an Fermienergie bzw. Widerstand r hängt ab von Streuprozessen nahe Fermienergie Streuprozesse finden statt, falls Fermienergie in Landau-Niveau liegt Widerstand r oszilliert mit : mit

Starke Näherung: nur (s = 1)-Term Oszillation des Widerstandes rxx ~1/B Dämpfungsterm Die Oszillationen sind demnach periodisch mit 1/B, ihre Amplitude wird für kleiner werdendes B-Feld exponentiell gedämpft !!!

Experimentelle Bestimmung der Fermiflächen: aus Messungen der Oszillationen des Widerstandes mit (1/B) kann man die Extremalfläche S (Fermifläche) bestimmen: Rekonstruktion der Fermiflächen möglich !

6. De-Haas-van-Alphen Effekt Gesamtenergie oszilliert mit 1/B magnetisches Moment m oszilliert ebenfalls mit 1/B, da:

7. Ausblick QHE

8. Zusammenfassung semiklassische Betrachtung: Bahn-Quantisierung im Ortsraum (2-dim. harmonischer Oszillator) - Landau-Niveaus Fluss hat quantisierte Einheit (hc/e) entsprechende Bahn-Quantisierung im k-Raum, d.h. Umordnung der Zustände auf Landau-Zylinder mit steigendem B-Feld wird die Entartung größer Gesamtenergie oszilliert mit 1/B - dann oszilliert auch jede aus der Energie ableitbare Größe mit 1/B z.B. SDH-Effekt: Widerstand oszilliert mit 1/B dHvA-Effekt. Magnetische Moment oszilliert mit 1/B

Danke für eure Aufmerksamkeit !