Vorlesung Prozessidentifikation Systeme 2. Ordnung / Semesterabschluß 10. Juli 2002 Hochschule für Technik und Wirtschaft des Saarlandes Fachbereich Elektrotechnik Goebenstr. 40 66117 Saarbrücken Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.1

Parameterschätzung Identifikationsaufgabe e(t) Modell Störeinflüsse y(t) u(t) System Nicht bekannt um(t) ym(t) e(t) Modell Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.2

Ergebnis Rekursive Parameterschätzung ^Bk+1 = ^Bk + Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1 {yk+1T - xk+1T ^Bk} Pk+1 = Pk - Pkxk+1(xk+1TPkxk+1+1)-1xk+1T Pk Damit kann ^Bk+1 kann damit aus ^Bk Pk xk+1 und yk+1 ermittelt werden. ^Bk+1 = f(^Bk, Pk,xk+1, yk+1) Ergebnis beinhaltet: Pk = (XkTXk)-1 für Auswertung von k-Messwertpaaren xk+1T zusätzliche Zeile des X-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (x-Werte und Operationen) yk+1 zusätzliche Zeile des Y-Vektors unter Berücksichtigung eines weiteren Messwertes (y-Wert) ^Bk Schätzvektor unter Auswertung von k-Messwertpaaren Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.3

Anwendung der rekursiven Regressionsformel ^B1 = (X1TX1)-1X1TY1 = P1X1TY1 Start für k=1 ^B2 = ^B1 + P1x2(x2TP1x2+1)-1 {y2T – x2T ^B1} Iteration P2 = P1 – P1x2(x2TP1x2+1)-1x2T P1 ^B3 = ^B2 + P2x3(x3TP2x3+1)-1 {y3T – x3T ^B2} P3 = P2 – P2x3(x3TP2x3+1)-1x3T P2 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.4

Beispiel für rekursive Rekursion Gegeben: Datensatz: (1,1) (1,0) (2,0) Gesucht: Math. Modell / Funktion mit Abstand der Punkte zur Kurve nach minimalem Fehlerquadrat optimiert. Lösung: Parameterschätzung nach Regressionsformel unter Berücksichtigung aller Messwerte (One-Shot) Parameterschätzung nach rekursiver Regressionsformel mit Start k=1. Modellansatz y(k) = ax(k) Lösung Tafel Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.5

Systeme 2. Ordnung Zusammenhang Pol- Nullstellenverteilung / Bodediagramm Fallunterscheidungen D > 1 D = 1 0 < D < 1 D = 0 Untersuchung für Fall 0 < D < 1: Betragsbildung für G(j ) Phasenbestimmung Wert für  = 0 Wert für  = 0(1-D2) Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.6

Bodediagramm System 2. Ordnung Quelle: ISS, Meyr, Aachen Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.7

NYQUIST-Kriterium Beurteilung der Stabilität des Regelkreise im Frequenzgang oder Orts- Kurve des offenen Regelkreis G0. Vorteile: Messkurve liegt oft vor Anwendung auch für totzeitbehaftete Regelkreise Die Stabilität des Regelkreises: Eigenschaft des Kreises selber Keine Eigenschaft der Eingangs- oder Störgrößen Bild 7.9 Walter, S.152 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.8

Übertragungsfunktion G0 Stabilitätsgrenze Charakteristisches Polynom ist 1+Go P(s) = 1+Go(s) = 0 -> Go(s) = -1 Stabilitätsgrenze ist dann gegeben wenn Go(s) = -1 wird Präziser: Re{Go(s)} = -1 und Im{Go(s)} = 0 Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.9

Stabilitätsgrenze Re{Go(j)} = -1 und Im{Go(j)} = 0 Diese graphische Darstellung stellt die Ortskurve von Go(j) dar. Aus der Lage der Ortskurve zum Punkt (–1, j0) kann die Systemstabilität des geschlossenen Regelkreises beurteilt werden. Regel (vereinfachtes Nyquist-Kriterium): Ein Regelkreis ist dann stabil, wenn der kritische Punkt (-1, j0) beim Durchlaufen der Ortskurve mit steigendem  links liegt. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.10

Stabilitätsgrenze Weitere Aussagen & Größen: Amplitudenreserve AR Phasenreserve R Phasendurchtrittsfrequenz D Interpretation der Größen: Amplitudenreserve Faktor um den man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreis vergrößern kann, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Phasenreserve positiv für stabile Systeme Entspricht der Phase mit dem ein Totzeit- glied die Phase bis zur Stabilitätsgrenze weiterdrehen kann. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.11

Interpretation Für stabile Systeme gilt: AR > 1 und |Go(j)| < 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt links hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises vergrößern, bis die Stabilitätsgrenze erreicht wird. Für instabilie Systeme gilt: AR < 1 und |Go(j)| > 1 Der kritische Punkt (-1, j0) liegt rechts hiervon. Die Amplitudenreverse ist der Faktor mit dem man die Verstärkung des geschlossenen Regelkreises verkleinern (absenken) muß, um wieder die Stabilitätsgrenze zu erreichen. Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.12

Vereinfachtes Nyquist-Kriterium im Bodediagramm Zusammenhang Ortskurve und Bodediagramm Der Punkt (–1, j0) bedeutet betragsmäßig 1 und Phase von –180° Betrag 1 bedeutet A = 0 dB Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.13

Fälle Stabilitätsgrenze / Instabil und Stabil Wendt S. 233 Bild 7.3-1 Wendt S. 233 Bild 7.3-2 Wendt S.234 Bild 7.3-3 Juli 2002 / Prozessidentifikation Blatt 13.14