¥ III Alogos

Die transfiniten Zahlen stehen oder fallen mit den endlichen Irrationalzahlen. Georg Cantor (1845 - 1918)

Griechische Aufklärung 600 - 500 v. Chr. Griechische Aufklärung parallel China: Konfuzius Indien: Buddha Kleinstaaten (Republik oder Tyrannis)  Gedankenfreiheit Seefahrendes Volk, Verbindung zwischen Asien und Europa Keine privilegierte Priesterkaste, die neue Ideen bekämpft Neuer Gedanke: Die Welt kann verstanden werden!

Thales von Milet (624 - 545) Höhenmessung (Pyramide): Messung der Schattenlänge, zu der Zeit, wo der Körperschatten der Körpergröße gleich ist. Alle Materie als belebt angenommen. Kenntnis von Magneteisenstein und Elektron (Bernstein) Vorhersage der Sonnenfinsternis vom 28. 5. 585

Mutter: Parthenis (= Jungfrau) wurde vom Sonnengott Apollon geschwängert und von da ab zu dessen Ehren Pythais genannt Pythagoras (570 - 500) = Mund des Apollon Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

Eudemos Schüler des Aristoteles schrieb das erste Mathematikerverzeichnis: Pythagoras war der erste Mathematiker. Satz und Beweis! Pythagoras (570 - 500) Samos Ägypten Kreta Persien Babylon Sizilien

Gründer einer bis 370 v. Chr. existierenden "Schule" (Geheimbund) Erkennungszeichen: Reguläres Fünfeck Grundsatz: Alles ist Zahl Pythagoras wurde nicht beim Namen genannt: "jener Mann" "Er hat es selbst gesagt" beendete jede Debatte Äußerste Verschwiegenheit gegenüber Außenstehenden Pythagoras Marmorbüste 4. Jhdt v. Chr.

Sehet ! c2 = 4 * ab/2 + (a - b)2 = a2 + b2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2 a b c

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

a2 + b2 = c2 ma2 + mb2 = mc2

Vegetarier (glaubte an Seelenwanderung) Keine direkte Überlieferung Keine hinterlassenen Schriften Kein Grabmal Alles ist Zahl 2, 3, 4,... und Proportion

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 Hippasos von Metapont: Erste Erkenntnis des Irrationalen (ca. 450 v. Chr.) An den Ort der Entstehung versetzt, ersäuft, lebendig begraben (in Abwesenheit ), ... Entdeckung der Irrationalität am gleichschenkligen Dreieck 2a2 = c2 oder am Goldenen Schnitt. c p D p 2a2 = c2  2 = = = a q D q Inkommensurabilität von Seite und Diagonale: Es gibt keinen noch so kleinen gemeinsamen Maßstab D!

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2   2 = p/q, teilerfremd 2 = p2/q2 2q2 = p2 p2 gerade  p gerade  p = 2z  p2 = 4z2 2q2 = 4z2 q2 = 2z2 q2 gerade  q gerade  p,q nicht teilerfremd 

Theorie des Irrationalen, Inkommensurabilität, 2 Euklid (325 - 275) Elemente, Buch 10: Lehre von den Inkommensurablen Die Summe zweier Inkommesurablen ist zu den Summanden inkommensurabel (Bsp: 1 + 2). Irrationale Zahlen: alogos = unaussprechlich Nach Platon (427 - 348) besaß Theodoros von Kyrene Irrationalitätsbeweise für die nicht ganzen Wurzeln aller Zahlen bis 17. Dessen Schüler Theaitetos (410 - 368) bewies dies für alle natürlichen Zahlen. Frühe Behandlung des Irrationalen durch Eudoxos (408 - 355), Erfinder des Exhaustionsverfahrens.

Alle Brüche sind periodische Dezimalzahlen. Division durch 3: Höchstens 2 verschiedene Reste  0 möglich. Periodenlänge höchstens 2. Alle periodischen Dezimalzahlen sind Brüche. Bsp.: 0,123123123... = 0,123 123 = 123,123 - 0,123 = (1000 - 1)* 0,123  0,123 = 123/999  Irrationale Zahlen können nicht periodisch sein. Sie besitzen eine unendliche Folge unperiodischer Dezimalstellen. Auch alle abbrechenden Dezimalzahlen sind eindeutig als periodische Dezimalzahlen darstellbar: 10*0,999 - 1*0,999 = 9,999 - 0,999 (10 - 1)*0,999 = 9 0,999 = 1,000 = 1

Alle Wurzeln aus natürlichen Zahlen sind ganz oder irrational: Quadrate von Brüchen sind wieder Brüche: (3/4)2 = 3*3 / 4*4 (Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung) 7 = p/q mit p,q teilerfremd  7qq = pp  9 = p/q  3q3q = pp  p = 3q und da p,q teilerfremd  q = 1, p = 3 Theodoros von Kyrene besaß Beweise für alle Zahlen bis 17.

Der Fundamentalsatz der Zahlentheorie Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung ist nicht trivial, da z. B. in den geraden Zahlen 60 = 30 * 2 = 10 * 6 Beweis der Eindeutigkeit für die ganzen Zahlen 4 = 2*2, 6 = 3*2,... sind eindeutig. Sei p*P = q*Q die kleinste mehrdeutige Zerlegung oBdA sei p > q und keine gleichen Faktoren vorhanden (p-q)*P = p*P - q*P = q*Q - q*P = q*(Q-P) < q*Q (p-q) enthält nicht den Faktor q, da p und q prim.

n  z

Stetige Teilung a/b = b/(a-b)  f > 0 f = 1/(f - 1)  f - 1 = 1/f = (1 + 5)/2 = 1,618...    f2 = 1 + f  f = 1 + 1/f

Stetige Teilung Luca Pacioli (1445 - 1517) ital. Mathematiker Leonardo da Vinci (1452 - 1519) ital. Maler, Zeichner, Bildhauer, Architekt, Musiker, Naturforscher und Ingenieur Devina proportione (1509) Martin Ohm (1792 - 1872): Bruder von Georg Simon Ohm Goldener Schnitt (1835)

Stetige Teilung Johannes Campanus von Novarra (1220 -1296) Kaplan von Papst Urban IV. (1261-1264) Kanonikus in Paris, Euklid-Übersetzer Irrationalitätsbeweis für die stetige Teilung durch descente infinie Seien x1, x2   erzeuge durch Multiplikation mit dem Hauptnenner n1, n2   (n1 + n2)/n1 = n1/n2 mit n2 < n1 1 + n2/n1 = n1/n2 n1/n2 = n2/(n1 - n2) (n1 - n2)  n3   mit n3 < n2 < n1 (n2 + n3)/n2 = n2/n3 usw. ad infinitum

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Stetige Teilung auch am Pentagon! Armer Pythagoras.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Tätigkeit als Ingenieur ab 1816 Professor in Frankreich und Italien Mit etwa 800 Abhandlungen ungewöhnlich produktiver und vielseitiger Mathematiker Cauchy-Kriterium Quotientenkriterium Wurzelkriterium Reihenverdichtung Konvergenzradius Diagonalverfahren Ableitung und Integral als Grenzwert Theorie komplexer Funktionen Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) n |Sak| < e k = m

Potentielles Verständnis des Grenzwertes: Wenn die Werte, die eine Variable annimmt, unbeschränkt einem festem Wert zustreben, so dass sie schließlich von ihm so wenig abweichen wie man will, so wird derselbe der Grenzwert aller anderen genannt. Irrationale Zahlen lassen sich als Grenzwerte von Folgen rationaler Zahlen definieren. x = a x2 = a 2x2 = x2 + a

Dedekindscher Schnitt Richard Dedekind (1831 - 1916) promovierte 1852 in Göttingen bei C.F. Gauß 1862 bis zu seiner Emeritierung 1894 Professor am Polytechnikum in Braunschweig (heutige TU) war aufgrund eines regen Briefwechsels mit G. Cantor direkt an dessen Formulierung der Mengenlehre beteiligt Dedekindscher Schnitt Drei Fälle sind möglich: A enthält eine größte Zahl: A = {aa  2}, B = {bb > 2} B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb  2} A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < p}, B = {bb > p} A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl  Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.

"... so sind die negativen und die gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen" Dedekindscher Schnitt Drei Fälle sind möglich: A enthält eine größte Zahl: A = {aa  2}, B = {bb > 2} B enthält eine kleinste Zahl: A = {aa < 2}, B = {bb  2} A enthält keine größte und B keine kleinste Zahl: A = {aa < p}, B = {bb > p} A enthält eine größte und B eine kleinste Zahl  Alle Schnittzahlen der dritten Art bilden die Irrationalen Zahlen.

"... so sind die negativen und die gebrochenen Zahlen durch den menschlichen Geist erschaffen" "Jedesmal nun, wenn ein Schnitt vorliegt, welcher nicht durch eine rationale Zahl hervorgebracht wird, so erschaffen wir eine neue, eine irrationale Zahl." "In Rücksicht auf diese Befreiung der Elemente von jedem andern Inhalt (Abstraktion) kann man die Zahlen mit Recht eine freie Schöpfung des menschlichen Geistes nennen." Was sind und was sollen die Zahlen? (1887): "Meine Hauptantwort auf die im Titel dieser Schrift gestellte Frage lautet: die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen."

Johann Heinrich Lambert (1728 - 1777) Sohn eines Schneiders Autodidakt, Universalgelehrter: Mathematiker, Physiker, Astronom und Philosoph zunächst Buchhalter, Schreiber bei einem Prof. in Basel, Hauslehrer in Chur, Redakteur ab 1759 Mitglied der Bayerischen Akademie d. Wiss. ab 1765 Mitglied der Preuß. Akademie d. Wiss. 1027 Manuskripte, davon 190 publiziert Beweis der Irrationalität von e und p (Kettenbruchentwicklung von tanx) „Vorläufige Kenntnis für die, so die Quadratur des Circuls suchen“ (1770)

Kettenbrüche für a < 1: Beispiele: Endliche Kettenbrüche sind rationale Zahlen. Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.

Kettenbrüche Lord Brouncker (1620 - 1684) Leonhard Euler (1707 - 1783) Unendliche Kettenbrüche sind irrationale Zahlen.

p = 3,1415926... U A = r * 2

Geometrische Kreisquadraturversuche Anaxagoras (im Gefängnis) und Hippokrates von Chios gehörten zu den ersten, die das Problem bedachten. (5. Jhd. v. Chr.) Schon 414 v. Chr. war das Problem so populär, daß Aristophanes (445 - 385) in "Die Vögel" von Kreisquadratoren als von Leuten spricht, die das Unmögliche versuchen. Zulässige Hilfsmittel für geometrische Konstruktionen nach Platon (427 - 348): Zirkel und Lineal (ohne Markierung)

Ägypter: Ahmosis, 2. Jtd. v.Chr.: p/4 = (8/9)2  p = 3,16... Babylonier: 2. Jtd. v.Chr.: p = 3 + 1/8 = 3,125 Juden: 5. Jhd. v.Chr.: p = 3 Die Zierde von Salomons Tempel (1000 v.Chr) war ein "gegossenes Meer, ruhend auf 12 Rindern" 10 Ellen weit, 5 Ellen hoch, mit einer Schnur ringsum 30 Ellen lang. [Bibel, 1. Könige 7,23 und II. Chronik 4,2] Griechen: Archimedes (287 - 212): p = 22/7 = 3,1428... Chinesen: Tsu Ch’ung-Chih (430 - 501) fand den erstaunlich genauen Wert: p = 355/113 = 3,1415929... den aber Liu hwuy (im 7. Jhd.) schon wieder vergessen hatte: p = 157/50 = 3,14 Inder: Brahmagupta (7. Jhd.): p = 10 = 3,16... Mittelalter: Rückfall in die Barbarei Michael Psellus, Byzanz, 11. Jhd. p = 8 = 2,828... Franco von Lüttich, 11. Jhd. p = (9/5)2 = 3,24 Adrian Metius (1585): p = 355/113 = 3,1415929... wiederentdeckt

Quadratur des Kreises durch Dinostratus (400 v. Chr.) mit der Quadratrix des Hippias von Elis (420 v. Chr.)

Rechenleistungen Ludolph van Ceulen (Köln) hatte 1596 p auf 20 Stellen berechnet, gegen Ende seines Lebens: 35 Stellen  Ludolphs Zahl Isaac Newton (1642 - 1727) berechnete 15 Stellen 1665 zum Zeitvertreib Abraham Sharp, Anfang 18 Jhd. 71 Stellen Sherwin 72 Stellen Machin (1680 - 1752), berechnete 100 Stellen in 1706 Leonhard Euler (1707 – 1783) berechnete in wenigen Stunden 20 Stellen Lamy: 127 Stellen John Dase (1824 - 1861), Rechengenie, multiplizierte innerhalb von Stunden hundertstellige Zahlen im Kopf, berechnete 205 Stellen William Shanks (1812 - 1882) produzierte 607 Stellen, davon 527 richtige, später (1853) 707 Stellen, aber falsch jenseits der 527. Der Fehler wurde erst 1945 erkannt, als D.F. Ferguson 530 Stellen berechnete. Letzte Berechnung mit Papier und Bleistift. 1947 berechnete Ferguson 808 Stellen mit einem Tischrechner. 1949 ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer): 2037 Stellen in 70 Stunden 1957 10000 Stellen, von denen aber wegen Maschinenfehlers nur 7480 richtig waren 1958 IBM 704: 10.000 Stellen in 100 Minuten 1961 IBM 7090: 100.000 Stellen in 9 Stunden 1973 CDC 7600: 1 Mio. Stellen in weniger als 1 Tag 1985 Symbolics 3670: 17 Mio. Stellen 1986 CRAY-2: 29 Mio Stellen in weniger als 28 Stunden 1987 100 Mio. 1995 6.442.450.000 Stellen, Yasumasa Kanada, Univ. Tokyo, in 116 Stunden 1999 206.158.430.000 Stellen, Takahashi und Kanada auf Hitachi SR8000, Univ. Tokyo Die Ziffern scheinen normal verteilt, p scheint eine normale Zahl zu sein.

Modulare Identitäten (unendliche Reihen) S. Ramanujan (1914) D.V. Chudnovsky und G.V. Chudnovsky (1989)

Borwein (1989)

Bailey (1996)

Pkanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach p := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981 in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p. WORLD RECORD HOLDER : 04 Jun 1979 - 11 Jul 1979 (15,151) 02 Oct 1979 - 26 Jun 1980 (20,000) 10 Mar 1987 - 17 Feb 1995 (40,000)

Pkanterien 1897 passierte die Gesetzesvorlage Bill 246 das Parlament im US-Bundesstaat Indiana wonach p := 3 scheiterte erst im Senat auf Intervention von Prof. C. Waldo. Rajan Mahadevan, sagte am 5. 7. 1981 in 3 h 49 min 31812 Stellen der Zahl p aus dem Gedächtnis auf. Hideaki Tomoyori, erinnerte 1987 in 17 h 21 min 40000 Stellen der Zahl p. Die Näherungsformel des Japaners Arima = 3.141592653589793238462643383275 Liefert p auf 30 Stellen genau. Univ. Tokio: ca. 200 Mia Stellen berechnet.

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867831652712019091456485669234603486104543266482133936072602491412737245870066063155881748815209209628292540917153643678925903600113305305488204665213841469519415116094330572703657595919530921861173819326117931051185480744623799627495673518857527248912279381830119491298336733624406566430860213949463952247371907021798609437027705392171762931767523846748184676694051320005681271452635608277857713427577896091736371787214684409012249534301465495853710507922796892589235420199561121290219608640344181598136297747713099605187072113499999983729780499510597317328160963185950244594553469083026425223082533446850352619311881710100031378387528865875332083814206171776691473035982534904287554687311595628638823537875937519577818577805321712268066130019278766111959092164201989

in den ersten 1000 Dezimalstellen enthalten sind 116 mal die 1 103 mal die 2 103 mal die 3 93 mal die 4 97 mal die 5 94 mal die 6 95 mal die 7 100 mal die 8 106 mal die 9 93 mal die 0