CASStandards eine interessante Herausforderung Dr. Helmut Heugl und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version Mai 2004 Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur in Zusammenarbeit mit der Zukunftskommission

Wozu Standards? – Wir haben doch Lehrpläne! Wozu Standards? – Wir haben doch unsere Leistungsbeurteilung! Heugl

Standards Teil 1: Heugl

Begriffsklärung II Inhaltsbezogene Standards sind Vorgaben über Inhalte und zugeordnete Ziele. Diese Rolle erfüllen überwiegend die Lehrpläne/Rahmenpläne. Produktorientierte Standards Leistungsstandards beschreiben wesentliche Kompetenzen, über die die Schüler zu einem bestimmten Zeitpunkt verfügen sollen. Standards für den Unterrichtsprozess sind Vorgaben zum Prozess, also Maßnahmen zur Erreichung der geforderten Schülerkompetenz. Heugl

Begriffsklärung III Minimalstandards möglichst alle Lernenden sollen sie erreichen Regelstandards sollen für durchschnittliche Schüler erreichbar sein Maximalstandards drücken einen Idealzustand aus Heugl

Arten von Standards Vorgaben bezogen auf langfristig Verfügbares Minimales ErwartetesIdeales Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandar ds Standards für den Unterrichtsprozes s Arten von Standards Vorgaben bezogen auf Minimales - langfristig Verfügbares ErwartetesIdeales Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandar ds Standards für den Unterrichtsprozes s Arten von Standards Vorgaben bezogen auf Minimales -langfristig Verfügbares Minimalstandards Erwartetes Regelstandards Ideales Idealstandards Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandards produktorientierte Standards Standards für den Unterrichtsprozess prozessorientierte Standards Kerncurriculum PISA-Studie NCTM-Standards Heugl

Arten von Standards Vorgaben bezogen auf langfristig Verfügbares Minimales ErwartetesIdeales Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandar ds Standards für den Unterrichtsprozes s Arten von Standards Vorgaben bezogen auf Minimales - langfristig Verfügbares ErwartetesIdeales Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandar ds Standards für den Unterrichtsprozes s Derzeitiger Stand in Österreich Vorgaben bezogen auf Minimales -langfristig Verfügbares Minimalstandards Erwartetes Regelstandards Ideales Idealstandards Inhaltsbezogene Standards Leistungsstandards produktorientierte Standards Standards für den Unterrichtsprozess prozessorientierte Standards Bildungsstandards Regelstandards Heugl

Eigenschaften eines Kompetenzmodells I Grundlage ist ein bestimmtes Bild, eine bestimmte Rolle der Mathematik: Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließen 3 Phasen des Problemlöseprozesses: Modellieren – Operieren - Interpretieren Mathematik als Sprache Die Schüler sollen 3 Arten von Sprachen lernen: die Muttersprache – Fremdsprachen - Mathematik Mathematik als Denktechnologie Experimentieren, Analogisieren, Generalisieren, Spezialisieren; logisches Schließen; Argumentieren, Begründen; Dokumentieren, Präsentieren, usw. Heugl

Eigenschaften eines Kompetenzmodells Teildimensionen innerhalb des Fachbereiches und unterschiedliche Niveaustufen Inhaltliche mathematische Kompetenzen Allgemeine mathematische Kompetenzen Die Komplexität Heugl

Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen A1 Modellbilden, Darstellen A2 Operieren, Rechnen A3 Interpretieren und Dokumentieren A4 Argumentieren und Begründen Heugl

Dimension 2: Inhaltliche mathematische Kompetenzen Arbeiten mit Zahlen und Maßen Arbeiten mit Variablen und funktionalen Abhängigkeiten Arbeiten mit Figuren und Körpern Arbeiten mit statistische Kenngrößen und Darstellungen Heugl

Dimension 3: Die Komplexitätsdimension (complexity) Niveau I - geringe Komplexität Grundkompetenzen, einfache Grundbausteine Niveau II – mittlere Komplexität einfache Verknüpfung von Grundkompetenzen Niveau III – höhere Komplexität komplexe Verknüpfung von Grundkompetenzen Heugl

Mathematische Grundbildung zeigt sich erst dann, wenn Schülerinnen und Schüler in wechselnden Zusammenhängen und Situationen prozessbezogene (d.h. handlungsbezogene) Kompetenzen aktivieren und dabei auf inhaltliche Kompetenzen zurückgreifen können. [siehe: Kernlehrplan Mathematikunterricht, Sek I, Nordrhein-Westfalen] Prozessbezogene (handlungsbezogene) Kompetenzen Inhaltsbezogene Kompetenzen Heugl

content performance complexity Level I Level II Level III A1: Modellieren A2: Operieren A3: Interpretieren A4: Argumentieren Zahlen und Maße: B1 Variablen und funkt. Abh: B2. Figuren und Körper: B3 Statistische Kenngr. u. Darst.: B4 (A2,B2) (A3,B2) (A4,B2) (A1,B2) Heugl

Standards – formuliert als ich kann…-Statements A allgemeine mathematische Kompetenzen B inhaltliche mathematische Kompetenzen A4: Argumentieren und Begründen A4.1Ich kann die Entscheidung für eine bestimmte Lösung begründen. A4.2Ich kann begründen, warum etwas falsch ist. A4.3Ich kann durch Probieren zu einer Vermutung kommen und diese begründen. B1: Arbeiten mit Zahlen und Maßen B1.1Ich kann Zahlen den verschiedenen Zahlenbereichen zuordnen. B1.6Ich kann Prozentrechnen. B1.8Ich kann Maßeinheiten umwandeln. Heugl

ModellierenOperierenArgumentierenInterpretieren Niveau I Niveau II Niveau III Anforderungsstufen so, dass man über schwächer Schüler auch positive Aussage machen kann Heugl

Bandbreite innerhalb der Komplexitätsbereiche Aufgabe: Bevölkerungsstatistik Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer mit einem Balkendiagramm dar: BundeslandEinwohnerzahl Burgenland Wien Oberösterreich Steiermark Niederösterreich Aufgabe: Bevölkerungsstatistik Stelle die Einwohnerzahlen folgender österreichischer Bundesländer grafisch dar: BundeslandEinwohnerzahl Burgenland Wien Oberösterreich Steiermark Niederösterreich Heugl

Standards Kompetenzen Weinert: Unter Kompetenzen versteht man kognitive Fähigkeiten und Fertigkeiten, um bestimmte Probleme zu lösen, sowie die damit verbundenen motivationalen, volitionalen und sozialen Bereitschaften und Fähigkeiten…. Bildungsstandards sind fachbezogen Sie sollen die Kernideen des Faches herausarbeiten, um Lehren und Lernen zu fokussieren. Zu den Kernideen gehören: grundlegende Begriffsvorstellungen, die damit verbundenen Denkoperationen und Verfahren, das ihnen zuzuordnende Grundlagenwissen Bildungsstandards für allgemeinere, fächerübergreifende Kompetenzen: Methodenkompetenz Sozialkompetenz Personalkompetenz Fachliches Lernen ist nur Mittel zum Zweck der allgemeinen Schlüsselqualifikationen. Kompetenz Disposition, die Personen befähigt, bestimmte Arten von Problemen zu erfolgreich lösen

Überfachliche Kompetenzen (C) Standards C1: Autonomes Lernen C1.1 Ich lerne regelmäßig mit (auch wenn keine Schularbeiten angesetzt sind). C1.3 Ich überlege mir, wie der neue Stoff mit dem zusammenhängt, was ich bereits weiß. C1.5 Wenn ich etwas nicht kann oder nicht verstanden habe, suche ich zusätzlich Informationen, um das Problem zu lösen. Standards C2: Kooperatives Handeln C2.1 Ich arbeite bei Gruppenarbeiten aktiv mit. C2.3 Ich bin bereit in einer Gruppe Verantwortung zu übernehmen. C2.7 Ich vertrete meine Meinung in der Gruppe. Standards C3: Kritisches Denken und Reflektieren C3.1 Bevor ich ich mir eine Meinung bilde, hole ich Informationen ein. C3.3 Ich unterscheide zwischen Meinungen und Fakten. Standards C4: Arbeitstechniken, Methodenkompetenzen C4.2 Ich kann mir gezielt Informationen aus Bibliotheken beschaffen. C4.3 Ich kann mir gezielt Informationen aus dem Internet beschaffen. C4.5 Ich kann die ausgewählten Informationen mit eigenen Worten zusammenfassen. Heugl

Aufgabe als Beispiel für überfachliche Standards: Zeit für Schule Aufgabenstellung: Setzt Euch mit den Äußerungen der Schülerinnen und Schüler auseinander! Standards für den mittleren Bildungsabschluss Deutschland, Dezember 2003 Heugl

Ein Vergleich mit Deutschland Bildungsstandards für den mittleren Schulabschluss (Jahrgangsstufe 10) in Deutschland Bildungsauftrag des Faches Kompetenzmodell mit verschiedenen Anspruchsniveaus Kompetenzen beziehen sich auf den Kernbereich des jeweiligen Faches und weisen ein mittleres Anforderungsniveau aus Konkretisierung durch Aufgabenbeispiele Heugl

Mathematik: Zwei fachliche Dimensionen – drei Anforderungsniveaus Fachliche Dimensionen: Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen Mathematisch argumentieren (K1) Probleme mathematisch lösen (K2) Mathematisch modellieren (K3) Mathematische Darstellungen verwenden (K4) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen können (K5) Kommunizieren (K6) Dimension 2: Inhaltsbezogene Kompetenzen geordnet nach mathematischen Leitideen Zahl (L1) Messen (L2) Raum und Form (L3) Funktionaler Zusammenhang (L4) Daten und Zufall (L5) Heugl

NCTM Standards The Standards for school mathematics describe the mathematical understanding, knowledge, and skills that students should acquire from prekindergarten through grade 12. Realizing the Vision Principles and Standards for School Mathematics acknowledges that there are significant challenges in realizing the vision for improving mathematics education. For example …. 2 subject oriented Dimensions Content standards Process standards Heugl

Content standards Number and Operations Algebra Geometry Measurement Data Analysis and Probability Heugl

Process standards Problem Solving Reasoning and Proof Communication Connections Representation Heugl

CAS und Standards Teil 2: Veränderungen bei der Rolle der Mathematik Veränderungen beim Kompetenzmodell und bei den Standards Veränderungen bei den Aufgaben Heugl

Der Einfluss von CAS auf das Lehren und Lernen Der Unterricht wird schülerzentrierter und experimenteller Wir beobachten eine Schwerpunktsverschiebung vom Operieren hin zum Modellbilden und Interpretieren Es kommt zu einer Verschiebung der Tätigkeit vom Ausführen zum Planen Der Unterricht wird anwendungsorientierter Das Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition, es wird zu einem Teil der Kognition Heugl

Mathematik Technik des Problemlösens durch Schließen siehe Dimension 1: Mathematische Handlungskompetenzen Mathematik als Sprache -Direktere Übersetzung von der Muttersprache in die Sprache der Mathematik -Neue Sprachelemente Mathematik als Denktechnologie Das Werkzeug CAS unterstützt nicht nur Kognition, es wird zu einem Teil der Kognition -Modulares Denken -Window-Shuttle-Prinzip Heugl Veränderungen bei der Rolle der Mathematik

Dimension 1: Allgemeine mathematische Kompetenzen - mathematische Handlungskompetenzen A1 Modellbilden, Darstellen A2 Operieren, Rechnen A3 Interpretieren und Dokumentieren A4 Argumentieren und Begründen Veränderungen beim Kompetenzmodell und bei den Standards Heugl

A1 Modellbilden, Darstellen (1) Ein größeres Angebot an Modellen und Darstellungen (2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik (4) Eine besondere Stärkung der Visualisierungskompetenz (5) Eine erhöhte modulare Kompetenz (3) Parallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells Heugl

Übersetzung Phase 1: Wortformel was passiert jedes Jahr? Das Kapital wird verzinst und die Rate wird abgezogen K neu = K alt.(1+p/100) - R Übersetzung Phase 2: Mathem. Sprache Rekursives Modell Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung Zu (2) Eine direktere Übersetzung von der Alltagssprache in die Sprache der Mathematik Heugl

Problem: Schuldentilgung durch Ratenzahlung Heugl

Tabelle Wortformel Graph Term Rekursives Modell Programm Zu (1) und (3) Ein größeres Angebot an Modellen und Darstellungen Parallele Verfügbarkeit verschiedener Prototypen eines Modells Heugl

Tabelle Wortformel Graph Term Rekursives Modell Programm Prototypen von Funktionen Heugl

Operieren A2.1 Strukturerkennungskompetenz A2.2 (Hand)kalkülkompetenz A2.3 Werkzeugkompetenz A2.4 Testkompetenz Die Handlungsdimension des Operierens beinhaltet die Fähigkeit eines Individuums, einen gegebenen Kalkül in konkreten Situationen zielgerichtet anwenden zu können [Hischer, 1995]. A2 Operieren, Rechnen Heugl

A2.1 Strukturerkennungskompetenz CAS und Standards Strukurerkennung ist nötig: bei der Eingabe eines Ausdrucks bei der Auswahl der passenden Operation bei der Überprüfung und Interpretation von Ergebnissen beim Vergleich verschiedener Ergebnisse einer Aufgabe Heugl

A2.2 (Hand)kalkülkompetenz Instrumental Understanding: Die Nutzung von mathematischen Regeln ohne notwendigerweise zu wissen, warum die Regel gilt. 2 Arten von Verstehen (nach Skemp) : Relational Understanding: Die Fähigkeit, Regeln herzuleiten, zu begründen und anzuwenden. Regeln als Teil eines Netzwerks von Begriffen und Beziehungen zwischen Begriffen zu verstehen. Wissen, WIE es geht und WARUM CAS Kalkülkompetenz Schwerpunktsverschiebung: Instrumental Understanding Relational Understanding Werkzeugkompetenz Heugl

-T (ohne Technolgie)?T+T (mit Technologie) a – (b+3) (5+p) 2 3a 2 (5a-2b) (3+a)(b-7) (a 2 -3b)(-3a+5b 2 ) (a+b) 2 (5+p) 2 (3x-5y) 2 3ab+6ac3x 3 y+6x 2 y 2 x 2 -4x 2 +4x+4x 2 -x-6 Handkalkülkompetenz Herget: Wieviel Termumformungen braucht der Mensch? Herget, Heugl, Kutzler, Lehmann Heugl

A3 Interpretieren und Dokumentieren A3.1Ich kann mathematische Begriffe und mathematische Darstellungen eines Sachverhalts im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren. A3.2Ich kann (Rechen-)Ergebnisse im jeweiligen inner- oder außermathematischen Kontext interpretieren. A3.3Ich kann die Angemessenheit und Brauchbarkeit eines mathematischen Modells oder einer mathematischen Darstellung im Hinblick auf die vorgegebene Problemstellung beurteilen. A3.4Ich kann die Korrektheit mathematischer Darstellungen und Lösungswege einschätzen bzw. Fehler erkennen. A3.5 Ich kann den Lösungsweg einer Aufgabe beschreiben. A3.6Ich kann eine zur Problemstellung und zum verwendeten Lösungsmodell passende Antwort formulieren. A3.7 Ich kann Darstellungen des technischen Hilfsmittels interpretieren Heugl

A4.1 Ich kenne die mathematische Fachsprache und kann sie korrekt verwenden. A4.2 Ich kenne mathematische Begriffe, Zusammenhänge (Sätze, Formeln) und Verfahren und kann sie erklären. A4.3 Ich kann meine Entscheidung für die Verwendung eines bestimmten mathematischen Modells bzw. eines bestimmten Lösungsweges, für eine bestimmte Darstellung oder auch für die Auswahl einer bestimmten Lösung begründen. A4.4 Ich kann einzelne Rechenschritte begründen wie auch begründen, warum ein Rechenschritt bzw. eine bestimmte mathematische Argumentation falsch ist. A4.5 Ich kann mathematische Zusammenhänge plausibel begründen, herleiten oder auch beweisen. A4.6 Ich kann Annahmen und Voraussetzungen, die meiner Argumentation zugrunde liegen, benennen, erklären und begründen. A4.6 Ich kann Darstellungen und Ergebnisse des technischen Hilfsmittels begründen A4 Argumentieren und Begründen CAS und Standards Heugl

(1) Derzeitige ACDCA –Aktivitäten Analysieren der derzeitigen Standardaufgaben -Aufgaben CAS-neutral -Aufgaben mit Vorteilen für CAS-Schüler -Aufgaben mit Nacheilen für CAS-Schüler Entwickeln CAS-spezifischer Standardaufgaben Veränderungen bei den Aufgaben Heugl

(2) Klassifikation von Aufgaben durch eine internationale Expertengruppe (Belgien, Dänemark, Schottland, Schweiz, Österreich) C0Aufgaben, bei denen CAS keine wesentliche Hilfe darstellen C1Aufgaben, die mit Hilfe von CAS wesentlich schneller gelöst werden können oder trivialisiert werden C2Aufgaben, welche die Werkzeugkompetenz testen C3Traditionelle Aufgaben, die durch die Nutzung von CAS ausgeweitet werden (Verallgemeinerung, Einfluss von Parametern usw. C4Aufgaben, die nur mit Hilfe von CAS gelöst werden können Heugl

Aufgabe 1 traditionell (C0): Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!) Weltbevölkerung in Millionen JahreErhobener WertExponentielle Näherung Lineare Näherung 1950 (0) (10) (20) (30) (40) 5321 Heugl

Teil 1: Unter Annahme eines exponentiellen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel: N(t) = 2515,64. 1,019 t ( t in Jahren, 1950 entspricht t = 0) (a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein! (b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein? (c) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt? (d) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben? Teil 2: Unter Annahme eines linearen Wachstums ermittelte man die Näherungsformel: N(t) = 70,4 t ,6 (a) Errechne mit Hilfe der angegebenen Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein! (b) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein? (c) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt? (d) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben? Heugl

Lösungen und Bemerkungenallg.Komp.fachl.Komp.Kompl. Level Teil 1: a)OL1 b)OL1 c)M, OL2 d)M, OL3 Teil 2: a)OL1 b)OL1 c)M, OL2 d)M, OL3 Klassifikation Heugl

Aufgabe 1 für CAS-SchülerInnen (C4): Die folgende Tabelle gibt Aufschluss über das Wachstum der Weltbevölkerungbeginnend bei 1950 (Zeitpunkt 0) bis 1990 (Zeitpunkt 40). (Die freien Spalten sollen im Zuge der Rechnung von Dir ausgefüllt und das Ergebnis interpretiert werden!) Weltbevölkerung in Millionen JahreErhobener WertExponentielle Näherung Lineare Näherung 1950 (0) (10) (20) (30) (40) 5321

Teil 1: (a) Ermittle unter Annahme eines exponentiellen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel. (b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis 1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein! (c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein? (d) Wann hätte sich die Weltbevölkerung verdoppelt? (e) Welche jährliche Wachstumsrate lässt sich angeben? Teil 2: (a) Ermittle unter Annahme eines linearen Wachstums eine möglichst gute Näherungsformel. (b) Errechne mit Hilfe der ermittelten Formel die Bevölkerungszahlen für 1950 bis1990 und trage diese in die vorgegebene Tabelle ein! (c) Wie viele Menschen müssten nach diesem Modell im Jahr 2010 zu erwarten sein? (d) Wann hätte sich nach diesem Modell die Weltbevölkerung bezogen auf 1990 verdoppelt? (e) Welcher jährliche Zuwachs lässt sich angeben? Heugl

Lösungen und Bemerkungenallg.Komp.fachl.K.Kompl. Level Teil 1: a)A2_WL2 b)A2_KL1 c)A2_KL1 d)A1, A2_KL2 e)A1, A2_KL3 Teil 2: a)A2_WL2 b)A2_KL1 c)A2_KL1 d)A1, A2_KL2 e)A1, A2_KL3 Klassifikation Heugl

Aufgabe 2 traditionell (C2): Gegeben ist die Hyperbel 9x 2 – 16y 2 = 144. (a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf! (b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!) (c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!) (d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies! Aufgabe 2 für CAS-SchülerInnen (C3): Gegeben ist die Hyperbel b²x 2 – a²y 2 = a²b². (a) Stelle die Gleichungen der Asymptoten auf! (b) Zeige: Die Asymptoten haben keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!) (c) Jede zu einer Asymptoten parallele Gerade hat genau einen Schnittpunkt. (Es genügt, dies für eine Asymptote zu zeigen!) (d) Erkläre allgemein, wie viele Punkte eine Gerade mit einer Hyperbel gemeinsam haben kann, und begründe dies! Heugl

(3) Klassenarbeiten mit Computeralgebra in der Sekundarstufe 1 Eberhard Lehmann Aufgabe 3 (C1): 3.1 In der Abbildung sind drei Geraden zu sehen. Rekonstruiere die Abbildung mit deinem CAS und dokumentiere den Arbeitsweg 3.2 Was hat diese Abbildung mit Thema Lösen linearer Gleichungssysteme zu tun? A1, A2_W, A3 A4 Heugl

Aufgabe 4 (C1): (Lehmann) Erkläre die drei Rechnungen, die der voyage2000 automatisch durchgeführt hat, indem du die Zwischenschritte aufschreibst. A2_W, A2_K, A4 Heugl

Aufgabe 5 (C1): (Lehmann) Der folgende Graph ist mit dem voyage2000 aus 6 verschiedenen Funktionen erstellt worden (a)Gib die Funktionsgleichungen an und ordne jedem Teil des Graphen die entsprechende Funktion zu. (b) Warum kann dieses Bild nicht nur aus 4 Funktionsgraphen erzeugt werden? A1, A2_W A4 Heugl

Aufgabe 6 (C4): (Lehmann) Erkläre den Bildschirmausdruck (Hinweis: Es ist günstig, eine Zeile nach der anderen genau zu erklären) A1_modK, A4 Heugl

Variante 1: Ohne Technologie (C1) Consider the real function f defined by Determine the zeros of f Determine the intervals where f is increasing / decreasing. Draw the graph of f, and determine the range. A region M in the fourth quadrant is bounded by the graph of the function f and the x-axis. Calculate, using anti-derivatives, the area of M. Use integration to calculate the volume of the solid of revolution generated by the rotation of M around the x-axis. Aufgabe 8: Dänische Abituraufgaben Variante 2: Mit CAS (C3) Consider a family of real functions where the parameter a is a positive number. Determine the zeros of f 2 and the intervals where f 2 is decreasing / increasing. Draw the graph of the function f 2 and determine the range of the function. A region M a in the fourth quadrant is bounded by the graph of f a and the x-axis. Given that the area of Ma is A a, and the volume of the solid of revolution generated by the rotation of M a around the x-axis is V a. Calculate Aa and Va. Calculate a, such that V a = π.A a

Aufgabe 9 (C4): J. Böhm Kosten und Erlös bestimmen den Gewinn [Böhm, J.; 1998] Die Analyse der Produktionskosten K für ein bestimmtes Produkt ergab für unterschiedliche Produktionsmengen x die folgenden Gesamtkosten: Menge Kosten Der Produzent hat fast ein Monopol auf dieses Produkt, so stehen Verkaufspreis und abgesetzte Menge bzw. angebotene Menge in einem Zusammenhang, der durch die Nachfragefunktion p(x) beschrieben wird. Durch Marktforschung versucht man die Verkaufspreise p zu bestimmen, zu denen bestimmte Mengen x abgesetzt werden können. Menge x Preis p ,5 A1, A2_W

CASStandards eine interessante Herausforderung und Standards für Mathematik am Ende der Sekundarstufe I Version Mai 2004 Bundesministerium für Bildung, Wissenschaft und Kultur in Zusammenarbeit mit der Zukunftskommission Heugl